Преобразование Гильберта

В математике и в обработке сигналов , то преобразование Гильберта является специфическим линейным оператором , который принимает функцию, у ( т ) вещественного переменного и производит другую функцию вещественной переменной H ( ¯u ) ( т ) . Этот линейный оператор задается сверткой с функцией (см. § Определение ). Преобразование Гильберта имеет особенно простое представление в частотной области : Это придает фазовый сдвиг на ± 90 ° ( ^π / ₂${\ Displaystyle 1 / (\ пи т)}$ радиан) к каждой частотной составляющей функции, знак сдвига зависит от знака частоты. (см. § Связь с преобразованием Фурье ) Преобразование Гильберта важно при обработке сигналов, поскольку оно является компонентом аналитического представления действительного сигнала u ( t ) . Преобразование Гильберта было впервые введено Дэвидом Гильбертом в этой ситуации, чтобы решить частный случай проблемы Римана – Гильберта для аналитических функций.

Определение [ править ]

Преобразование Гильберта U можно рассматривать как свертки из U ( т ) с функцией ч ( т ) =1/ π t , известное как ядро Коши . Поскольку ¹ / _т не интегрируем по т = 0 , то интеграл , определяющий свертке не всегда сходится. Вместо этого преобразование Гильберта определяется с использованием главного значения Коши (обозначенного здесь pv ). Явно преобразование Гильберта функции (или сигнала) u ( t ) задается формулой

${\ displaystyle \ operatorname {H} (u) (t) = {\ frac {1} {\, \ pi \,}} \, \ operatorname {pv} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty } {\ frac {u (\ tau)} {\; t- \ tau \;}} \; \ mathrm {d} \ tau ~,}$

при условии, что этот интеграл существует как главное значение. Это в точности свертка u с умеренным распределением p.v.1/π t. ^{[1] В} качестве альтернативы, путем замены переменных интеграл главного значения может быть записан явно ^[2] как

${\ displaystyle \ operatorname {H} (u) (t) = - {\ frac {1} {\, \ pi \,}} \, \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \, \ int _ {\ varepsilon} ^ {\ infty} {\ frac {\, u (t + \ tau) -u (t- \ tau) \,} {\ tau}} \; \ mathrm {d} \ tau ~.}$

Когда применяется дважды последовательно к функции преобразования Гильберта ˙U , результат отрицательный U :

${\ displaystyle \ operatorname {H} {\ bigl (} \, \ operatorname {H} (u) \, {\ bigr)} (t) = - u (t) ~,}$

при условии, что интегралы, определяющие обе итерации, сходятся в подходящем смысле. В частности, обратное преобразование равно −H . Этот факт легче всего увидеть, рассмотрев влияние преобразования Гильберта на преобразование Фурье функции u ( t ) (см. Раздел «Связь с преобразованием Фурье» ниже).

Для аналитической функции в верхней полуплоскости преобразование Гильберта описывает соотношение между действительной и мнимой частью граничных значений. То есть, если F ( г ) является аналитической в верхней полуплоскости комплексной плоскости { г  : ℐ _м г > 0} , и у ( т ) = ℛ _е е ( т + 0 · я ) , то ℐ _м п ( т + 0 · i ) = H ( u ) ( t) с точностью до аддитивной константы, если существует это преобразование Гильберта.

Обозначение [ править ]

При обработке сигналов преобразование Гильберта u ( t ) обычно обозначается как . ^[3] Однако в математике это обозначение уже широко используется для обозначения преобразования Фурье функции u ( t ) . ^[4] Иногда преобразование Гильберта можно обозначать как . Кроме того, многие источники определяют преобразование Гильберта как отрицательное по сравнению с определенным здесь. ^[5]${\ displaystyle {\ hat {u}} (т)}$${\ Displaystyle {\ тильда {и}} (т)}$

История [ править ]

Преобразование Гильберта возникло в 1905 году в работе Гильберта по проблеме, поставленной Риманом относительно аналитических функций ^{[6] [7],} которая стала известна как проблема Римана – Гильберта . Работа Гильберта в основном была связана с преобразованием Гильберта для функций, определенных на окружности. ^{[8] [9]} Некоторые из его более ранних работ, связанных с дискретным преобразованием Гильберта, восходят к лекциям, которые он читал в Геттингене . Результаты были позже опубликованы Германом Вейлем в его диссертации. ^[10] Шур улучшил результаты Гильберта о дискретном преобразовании Гильберта и распространил их на интегральный случай. ^[11] Эти результаты были ограничены пространствами L 2и ℓ 2 . В 1928 году Марсель Рис доказал, что преобразование Гильберта может быть определено для u в ( пространстве L p ) для 1 < p <∞ , что преобразование Гильберта является ограниченным оператором на для 1 < p <∞ , и что аналогичные результаты верны для преобразование Гильберта на окружности, а также дискретное преобразование Гильберта. ^[12] . Преобразование Гильберта было мотивирующим примером для Антони Зигмунда и Альберто Кальдерона во время их изучения${\ Displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}$сингулярные интегралы . ^[13] Их исследования сыграли фундаментальную роль в современном гармоническом анализе. Различные обобщения преобразования Гильберта, такие как билинейные и трилинейные преобразования Гильберта, все еще являются активными областями исследований сегодня.

Связь с преобразованием Фурье [ править ]

Преобразование Гильберта - это оператор умножения . ^[14] Мультипликатор H является σ _H ( ω ) = - я SGN ( ω ) , где SGN является функцией сигнум . Следовательно:

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(\omega )=-i\operatorname {sgn}(\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega )~,}$

где обозначает преобразование Фурье . Поскольку sgn ( x ) = sgn (2 π x ) , отсюда следует, что этот результат применим к трем общим определениям .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

По формуле Эйлера ,

${\displaystyle \sigma _{\operatorname {H} }(\omega )={\begin{cases}~~i=e^{+{\frac {i\pi }{2}}},&{\text{for }}\omega <0,\\~~0,&{\text{for }}\omega =0,\\-i=e^{-{\frac {i\pi }{2}}},&{\text{for }}\omega >0.\end{cases}}}$

Следовательно, Н ( у ) ( т ) имеет эффект сдвига фазы на отрицательной частоты компонентов U ( т ) на + 90 ° ( ^π / ₂  радиан) и фазы положительных частотных компонентов на -90 °. И i · H ( u ) ( t ) имеет эффект восстановления положительных частотных составляющих при сдвиге отрицательных частотных составляющих еще на + 90 °, что приводит к их отрицанию (т. Е. Умножению на -1).

Когда преобразование Гильберта применяется дважды, фазы отрицательной и положительной частотных составляющих u ( t ) соответственно сдвигаются на + 180 ° и -180 °, которые являются эквивалентными величинами. Сигнал отменен; т.е. H (H ( u )) = - u , поскольку

${\displaystyle {\bigl (}\sigma _{\operatorname {H} }(\omega ){\bigr )}^{2}=e^{\pm i\pi }=-1\quad {\text{for }}\omega \neq 0~.}$

Таблица избранных преобразований Гильберта [ править ]

В следующей таблице параметр частоты является действительным.${\displaystyle \omega }$

Сигнал ${\displaystyle \,u(t)\,}$	Преобразование Гильберта [fn 1] ${\displaystyle \,\operatorname {H} (u)(t)\,}$
${\displaystyle \sin(\omega t)}$ [fn 2]	${\displaystyle {\begin{array}{lll}\sin \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right),\quad \omega >0\\\sin \left(\omega t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\quad \omega <0\end{array}}}$
${\displaystyle \cos(\omega t)}$ [fn 2]	${\displaystyle {\begin{array}{lll}\cos \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right),\quad \omega >0\\\cos \left(\omega t+{\tfrac {\pi }{2}}\right),\quad \omega <0\end{array}}}$
${\displaystyle e^{i\omega t}}$	${\displaystyle {\begin{array}{lll}e^{i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega >0\\e^{i\left(\omega t+{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega <0\end{array}}}$
${\displaystyle e^{-i\omega t}}$	${\displaystyle {\begin{array}{lll}e^{-i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega >0\\e^{-i\left(\omega t+{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega <0\end{array}}}$
${\displaystyle 1 \over t^{2}+1}$	${\displaystyle t \over t^{2}+1}$
${\displaystyle e^{-t^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi \,}}}F(t)}$ (см. функцию Доусона )
Функция Sinc ${\displaystyle \sin(t) \over t}$	${\displaystyle 1-\cos(t) \over t}$
Прямоугольная функция ${\displaystyle \sqcap (t)}$	${\displaystyle {1 \over \pi }\ln \left\vert {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right\vert }$
Дельта-функция Дирака ${\displaystyle \delta (t)}$	${\displaystyle {1 \over \pi t}}$
Характеристика Функция ${\displaystyle \chi _{[a,b]}(t)}$	${\displaystyle {{\frac {1}{\,\pi \,}}\ln \left\vert {\frac {t-a}{t-b}}\right\vert }}$

Заметки

Доступна обширная таблица преобразований Гильберта. ^[15] Обратите внимание, что преобразование Гильберта константы равно нулю.

Область определения [ править ]

Ни в коем случае не очевидно, что преобразование Гильберта вообще корректно определено, поскольку определяющий его несобственный интеграл должен сходиться в подходящем смысле. Однако преобразование Гильберта хорошо определено для широкого класса функций, а именно для функций при 1 < p <∞ .${\displaystyle ~L^{p}(\mathbb {R} )~}$

Точнее, если u находится внутри при 1 < p <∞ , то предел, определяющий несобственный интеграл${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)=-{\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,d\tau }$

существует почти для любого t . Предельная функция также входит и фактически является пределом в среднем несобственного интеграла. Это,${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle -{\frac {1}{\pi }}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,\mathrm {d} \tau \to \operatorname {H} (u)(t)}$

при ε  → 0 в норме L ^p , а также поточечно почти всюду по теореме Титчмарша . ^[16]

В случае L  = 1 преобразование Гильберта по-прежнему сходится поточечно почти всюду, но само может не быть интегрируемым даже локально. ^[17] В частности, сходимости в среднем в этом случае вообще не происходит. Однако преобразование Гильберта функции L ¹ сходится в L ¹ -слабом, а преобразование Гильберта является ограниченным оператором из L ¹ в L ^{1, w} . ^[18] (В частности, так как преобразование Гильберта также является оператор множителей L ² , Марцинкевич интерполяция и двойственность аргумент дает альтернативное доказательство того, чтоH ограничена на L ^p .)

Свойства [ править ]

Ограниченность [ править ]

Если 1 < p <∞ , то преобразование Гильберта на является ограниченным линейным оператором , что означает, что существует константа C _p такая, что ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \|\operatorname {H} u\|_{p}\leq C_{p}\|u\|_{p}}$

для всех ^[19]${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} ).}$

Наилучшая константа дается ^[20]${\displaystyle C_{p}}$

${\displaystyle C_{p}={\begin{cases}\tan {\frac {\pi }{2p}}&{\text{ for }}1<p\leq 2\\\cot {\frac {\pi }{2p}}&{\text{ for }}2<p<\infty \end{cases}}}$

Самый простой способ найти лучшую для того , чтобы быть степенью 2 через так называемое тождество Cotlar, что для всех вещественных значных е . Те же самые лучшие константы верны для периодического преобразования Гильберта.${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (\operatorname {H} f)^{2}=f^{2}+2\operatorname {H} (f\operatorname {H} f)}$

Ограниченность преобразования Гильберта влечет сходимость симметричного оператора частичной суммы ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle S_{R}f=\int _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} \xi ~}$

к ф в . ^[21]${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Антисамосопряженность [ править ]

Преобразование Гильберта является анти - самосопряженный оператор относительно двойственности спаривания между и сопряженного пространства , где р и д являются гёльдеровские конъюгаты и 1 < р , д <∞ . Символично,${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \langle \operatorname {H} u,v\rangle =\langle u,-\operatorname {H} v\rangle }$

для и . ^[22]${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle v\in L^{q}(\mathbb {R} )}$

Обратное преобразование [ править ]

Преобразование Гильберта является Антиинволюцию , ^[23] это означает , что

${\displaystyle \operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} \left(u\right){\bigr )}=-u}$

при условии, что каждое преобразование четко определено. Поскольку H сохраняет пространство, отсюда, в частности, следует, что преобразование Гильберта обратимо на и что${\displaystyle ~L^{p}(\mathbb {R} )~,}$${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{-1}=-\operatorname {H} }$

Сложная структура [ править ]

Поскольку Н ² = -I ( « Я » являюсь единичным оператором ) на вещественном банаховом пространстве от реальных значных функций , преобразование Гильберта определяет линейную сложную структуру на этом банаховом пространстве. В частности, когда p = 2 , преобразование Гильберта дает гильбертово пространство вещественнозначных функций в структуре комплексного гильбертова пространства.  ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

(Комплексные) собственные состояния преобразования Гильберта допускают представления в виде голоморфных функций в верхней и нижней полуплоскостях в пространстве Харди H 2 по теореме Пэли – Винера .

Дифференциация [ править ]

Формально производная преобразования Гильберта является преобразованием Гильберта производной, т. Е. Эти два линейных оператора коммутируют:

${\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {\,\mathrm {d} u\,}{\mathrm {d} t}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\,\mathrm {d} t\,}}\operatorname {H} (u)}$

Повторяя эту личность,

${\displaystyle \operatorname {H} \left({\frac {\mathrm {d} ^{k}u}{\mathrm {d} t^{k}}}\right)={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}\operatorname {H} (u)}$

Это строго верно, как указано, при условии, что u и его первые k производных принадлежат . ^[24] Это легко проверить в частотной области, где дифференцирование превращается в умножение на ω .${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Свертки [ править ]

Преобразование Гильберта формально можно реализовать как свертку с умеренным распределением ^[25]

${\displaystyle h(t)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{\;\pi \,t\;}}}$

Таким образом, формально

${\displaystyle \operatorname {H} (u)=h*u}$

Однако априори это может быть определено только для u - распределения компактного носителя . С этим можно работать несколько строго, поскольку функции с компактным носителем (которые а тем более являются распределениями ) плотны в L ^p . В качестве альтернативы можно использовать тот факт, что h ( t ) является производной по распределению функции log | t | / π  ; остроумие

${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{\,\pi \,}}(u*\log {\bigl |}\cdot {\bigr |})(t)\right)}$

Для большинства операционных целей преобразование Гильберта можно рассматривать как свертку. Например, в формальном смысле преобразование Гильберта свертки - это свертка преобразования Гильберта, примененная только к одному из любого из факторов:

${\displaystyle \operatorname {H} (u*v)=\operatorname {H} (u)*v=u*\operatorname {H} (v)}$

Это строго верно, если u и v - распределения с компактным носителем, поскольку в этом случае

${\displaystyle h*(u*v)=(h*u)*v=u*(h*v)}$

Таким образом, переходя к подходящему пределу, верно, что u ∈ L ^p и v ∈ L ^q при условии, что

${\displaystyle 1<{\frac {1}{\,p\,}}+{\frac {1}{\,q\,}}}$

из теоремы Титчмарша. ^[26]

Инвариантность [ править ]

Преобразование Гильберта обладает следующими свойствами инвариантности на .${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

• Он общается с переводами. То есть он коммутирует с операторами T _a f ( x ) = f ( x + a ) для всех a в ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Он коммутирует с положительными расширениями. То есть он коммутирует с операторами M _λ f ( x ) = f ( λ x ) для всех λ > 0 .
• Он антикоммутируется с отражением R f ( x ) = f (−x) .

До мультипликативной константы, преобразование Гильберта является единственным ограниченным оператором на L ² с этими свойствами. ^[27]

На самом деле существует более широкий набор операторов, коммутирующих с преобразованием Гильберта. Группа действует унитарными операторами U _g на пространстве по формуле${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {U} _{g}^{-1}f(x)={\frac {1}{\,cx+d\,}}\,f\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right)\,,\qquad g={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}~,\qquad {\text{ for }}~ad-bc=\pm 1~.}$

Это унитарное представление является примером основной серии представления о В этом случае оно сводится, расщепление в виде ортогональной суммы двух инвариантных подпространств пространства Харди и его сопряженного. Это пространства L ² граничных значений голоморфных функций на верхней и нижней полуплоскостях. и его конъюгат состоит из точно тех L ² функции с преобразования Фурье в нуль на отрицательные и положительные части вещественной оси соответственно. Поскольку преобразование Гильберта равно H = - i (2 P - I) , с P${\displaystyle ~{\text{SL}}(2,\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$ будучи ортогональной проекцией из на и я единичный оператор , то отсюда следует , что и его ортогональным являются собственными подпространствами H для собственных значений ± я . Другими словами, H коммутирует с операторами U _g . Эти ограничения операторов U _г к и его конъюгату дают неприводимые представления - так называемый предел дискретных представлений серии . ^[28]${\displaystyle ~L^{2}(\mathbb {R} )~}$${\displaystyle ~\operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} )~,}$${\displaystyle ~\operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} )~}$${\displaystyle ~\operatorname {H} ^{2}(\mathbb {R} )~}$${\displaystyle ~{\text{SL}}(2,\mathbb {R} )~}$

Расширение области определения [ править ]

Преобразование Гильберта распределений [ править ]

Кроме того, можно распространить преобразование Гильберта на некоторые пространства распределений ( Pandey 1996 , глава 3). Так как преобразование Гильберта коммутирует с дифференцированием, и является ограниченным оператором в L ^р , Н ограничивает , чтобы дать непрерывное преобразование на обратный предел в пространствах Соболева :

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}={\underset {n\to \infty }{\underset {\longleftarrow }{\lim }}}W^{n,p}(\mathbb {R} )}$

Преобразование Гильберта затем может быть определено на двойственном пространстве , обозначенном как состоящее из L ^p распределений. Это достигается за счет объединения двойственности: Для определения:${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L^{p}}'}$
${\displaystyle ~u\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}~,}$

${\displaystyle \operatorname {H} (u)\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}=\langle \operatorname {H} u,v\rangle \ \triangleq \ \langle u,-\operatorname {H} v\rangle ,\ {\text{for all}}\ v\in {\mathcal {D}}_{L^{p}}~.}$

Можно также определить преобразование Гильберта на пространстве умеренных распределений с помощью подхода, разработанного Гельфандом и Шиловым ^[29], но требуется гораздо больше осторожности из-за сингулярности интеграла.

Преобразование Гильберта ограниченных функций [ править ]

Преобразование Гильберта также может быть определено для функций в , но это требует некоторых модификаций и предостережений. Правильно понял, преобразование Гильберта карты в банаховом пространстве с ограниченным средним колебанием (BMO) классов.${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$

Наивно интерпретируемое преобразование Гильберта ограниченной функции явно некорректно. Например, при u = sign ( x ) интеграл, определяющий H ( u ), почти всюду расходится до ± ∞ . Поэтому, чтобы облегчить такие трудности, преобразование Гильберта функции L ^∞ определяется следующей регуляризованной формой интеграла

${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)=\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )\left\{h(t-\tau )-h_{0}(-\tau )\right\}\,\mathrm {d} \tau }$

где, как и выше, h ( x ) =1/π x а также

${\displaystyle h_{0}(x)={\begin{cases}0&{\text{ for }}~|x|<1\\{\frac {1}{\,\pi \,x\,}}&{\text{ for }}~|x|\geq 1\end{cases}}}$

Модифицированное преобразование H согласуется с исходным преобразованием функций компактного носителя из общего результата Кальдерона и Зигмунда. ^[30] Кроме того, полученный интеграл поточечно сходится почти всюду и относительно нормы BMO к функции ограниченного среднего колебания.

Глубокий результат работы Феффермана ^[31] в том , что функция имеет ограниченную среднего колебания тогда и только тогда , когда она имеет вид ф + Н ( г ) для некоторых ${\displaystyle ~f,g\in L^{\infty }(\mathbb {R} )~.}$

Сопряженные функции [ править ]

Преобразование Гильберта можно понять в терминах пары функций f ( x ) и g ( x ) таких, что функция

${\displaystyle F(x)=f(x)+i\,g(x)}$

- граничное значение голоморфной функции F ( z ) в верхней полуплоскости. ^[32] В этих условиях, если f и g достаточно интегрируемы, то одно из них является преобразованием Гильберта другого.

Предположим, что Тогда, согласно теории интеграла Пуассона , f допускает единственное гармоническое продолжение в верхнюю полуплоскость, и это расширение задается формулой${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ).}$

${\displaystyle u(x+iy)=u(x,y)={\frac {1}{\,\pi \,}}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {y}{(x-s)^{2}+y^{2}}}\;\mathrm {d} s}$

которое является сверткой f с ядром Пуассона

${\displaystyle P(x,y)={\frac {y}{\,\pi \,(x^{2}+y^{2})\,}}}$

Кроме того, существует единственная гармоническая функция v, определенная в верхней полуплоскости такая, что F ( z ) = u ( z ) + iv ( z ) голоморфна и

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }v\,(x+i\,y)=0}$

Эта гармоническая функция получается из f путем свертки с сопряженным ядром Пуассона

${\displaystyle Q(x,y)={\frac {x}{\,\pi \,(x^{2}+y^{2})\,}}~.}$

Таким образом

${\displaystyle v(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {x-s}{\,(x-s)^{2}+y^{2}\,}}\;\mathrm {d} s}$

Действительно, действительная и мнимая части ядра Коши равны

${\displaystyle {\frac {i}{\,\pi \,z\,}}=P(x,y)+i\,Q(x,y)}$

так что F = u + iv голоморфна по интегральной формуле Коши .

Полученная таким образом функция v из u называется гармонически сопряженной с u . (Не касательный) граничный предел v ( x , y ) при y → 0 является преобразованием Гильберта функции f . Таким образом, кратко,

${\displaystyle \operatorname {H} (f)=\lim _{\,y\to 0\,}\,Q(-,y)\star f}$

Теорема Титчмарша [ править ]

Теорема Титчмарша (названная в честь Титчмарша , включившего ее в свою работу 1937 года) уточняет связь между граничными значениями голоморфных функций в верхней полуплоскости и преобразованием Гильберта. ^[33] Он дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы комплекснозначная квадратично интегрируемая функция F ( x ) на вещественной прямой была граничным значением функции в пространстве Харди H ² ( U ) голоморфных функций в верхней половине. -плоскость U .

Теорема утверждает, что следующие условия для комплекснозначной квадратично интегрируемой функции эквивалентны:${\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$

• F ( x ) - предел при z → x голоморфной функции F ( z ) в верхней полуплоскости такой, что

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|F(x+i\,y)|^{2}\;\mathrm {d} x<K}$

• Действительная и мнимая части F ( x ) являются преобразованиями Гильберта друг друга.
• Преобразование Фурье обращается в нуль при x  <0 .${\displaystyle {\mathcal {F}}(F)(x)}$

Более слабый результат верен для функций класса L p при p  > 1 . ^{[34] В} частности, если F ( z ) - голоморфная функция такая, что

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|F(x+i\,y)|^{p}\;\mathrm {d} x<K}$

для всех y существует комплексная функция F ( x ) в такой, что F ( x + iy ) → F ( x ) в норме L ^p при y  → 0 (а также поточечная почти всюду ). Более того,${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle F(x)=f(x)-i\,g(x)}$

где f - вещественная функция в, а g - преобразование Гильберта (класса L ^p ) функции f .${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$

Это неверно в случае p = 1. Фактически, преобразование Гильберта функции f L ¹ не обязательно сходится в среднем к другой функции L ¹ . Тем не менее ^[35] преобразование Гильберта функции f почти всюду сходится к конечной функции g такой, что

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\;|g(x)|^{p}\,}{\;1+x^{2}\;}}\;\mathrm {d} x<\infty }$

Этот результат прямо аналогичен результату Андрея Колмогорова для функций Харди в круге. ^[36] Хотя этот результат обычно называют теоремой Титчмарша, этот результат объединяет многие работы других авторов, в том числе Харди, Пейли и Винера (см. Теорему Пэли – Винера ), а также работы Рисса, Хилле и Тамаркина ^[37].

Проблема Римана – Гильберта [ править ]

Одной из форм задачи Римана-Гильберта стремится определить пары функций F ₊ и F _- такие , что F ₊ является голоморфная на верхней полуплоскости и F _- голоморфная в нижней полуплоскости, что при х вдоль вещественной ось,

${\displaystyle F_{+}(x)-F_{-}(x)=f(x)}$

где f ( x ) - некоторая заданная действительная функция от . Левая часть этого уравнения может пониматься либо как отличие пределов F _± от соответствующих полуплоскостей, либо как распределение гиперфункций . Две функции этого вида являются решением проблемы Римана – Гильберта.${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$

Формально, если F _± решить проблему Римана – Гильберта

${\displaystyle f(x)=F_{+}(x)-F_{-}(x)}$

то преобразование Гильберта функции f ( x ) задается формулой

${\displaystyle H(f)(x)=-i{\Bigl (}F_{+}(x)+F_{-}(x){\Bigr )}~}$. ^[38]

Преобразование Гильберта на окружности [ править ]

Для периодической функции f определяется круговое преобразование Гильберта:

${\displaystyle {\tilde {f}}(x)\triangleq {\frac {1}{\,2\pi \,}}\operatorname {p.v.} \int _{0}^{2\pi }f(t)\,\cot \left({\frac {\,x-t\,}{2}}\right)\,\mathrm {d} t}$

Круговое преобразование Гильберта используется при описании пространства Харди и при изучении сопряженной функции в рядах Фурье. Ядро,

${\displaystyle \cot \left({\frac {\,x-t\,}{2}}\right)}$

известно как ядро Гильберта, поскольку именно в этой форме преобразование Гильберта изучалось изначально. ^[8]

Ядро Гильберта (для кругового преобразования Гильберта) можно получить, сделав ядро Коши ¹ / _х периодическим. Точнее, при x  ≠ 0

${\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}\cot \left({\frac {\,x\,}{2}}\right)={\frac {1}{\,x\,}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{\,x+2n\pi \,}}+{\frac {1}{\,x-2n\pi \,}}\right)}$

Многие результаты о круговом преобразовании Гильберта могут быть получены из соответствующих результатов для преобразования Гильберта из этого соответствия.

Другая более прямая связь обеспечивается преобразованием Кэли C ( x ) = ( x - i ) / ( x + i ) , которое переносит вещественную прямую на окружность, а верхнюю полуплоскость - на единичный диск. Он индуцирует унитарное отображение

${\displaystyle U\,f(x)={\frac {1}{\;(x+i)\,{\sqrt {\pi \;}}\,}}\,f\left(\,C\left(x\right)\,\right)}$

из L ² ( T ) на Оператор U переносит пространство Харди H ² ( T ) на пространство Харди . ^[39]${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}$${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$

Преобразование Гильберта в обработке сигналов [ править ]

Теорема Бедросяна [ править ]

Теорема Бедрозиана утверждает, что преобразование Гильберта произведения сигнала нижних частот и сигналов верхних частот с неперекрывающимися спектрами задается произведением сигнала нижних частот и преобразованием Гильберта сигнала верхних частот, или

${\displaystyle \operatorname {H} (f_{LP}(t)f_{\operatorname {H} P}(t))=f_{LP}(t)\operatorname {H} (f_{\operatorname {H} P}(t))}$

где f _LP и f _{H P} - сигналы нижних и верхних частот соответственно. ^[40]

Амплитудно-модулированные сигналы моделируются как произведение формы волны «сообщения» с ограниченной полосой частот u _m ( t ) и синусоидальной «несущей»:

${\displaystyle u(t)=u_{m}(t)\cdot \cos(\omega t+\phi )}$

Когда u _m ( t ) не имеет частотного содержания выше несущей частоты, тогда по теореме Бедрозиана: ^[41]${\displaystyle {\frac {\omega }{2\pi }}{\text{ Hz }},}$

${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)=u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\phi )}$

Аналитическое представление [ править ]

В контексте обработки сигналов интерпретация сопряженной функции преобразования Гильберта, обсужденная выше, дает аналитическое представление сигнала u ( t ) :

${\displaystyle u_{a}(t)=u(t)+i\cdot H(u)(t)}$

которая является голоморфной функцией в верхней полуплоскости.

Для узкополосной модели (см. Выше) аналитическое представление:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{a}(t)&=u_{m}(t)\cdot \cos(\omega t+\phi )+i\cdot u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\phi )\\&=u_{m}(t)\cdot \left[\cos(\omega t+\phi )+i\cdot \sin(\omega t+\phi )\right]\end{aligned}}}$

${\displaystyle =u_{m}(t)\cdot e^{i(\omega t+\phi )}\,}$   (по формуле Эйлера )

( Уравнение 1 )

Эта сложная работа гетеродина сдвигает все частотные составляющие u _m ( t ) выше 0 Гц. В этом случае мнимая часть результата является преобразованием Гильберта действительной части. Это косвенный способ получения преобразований Гильберта.

Угловая (фазовая / частотная) модуляция [ править ]

Форма:

${\displaystyle u(t)=A\cdot \cos(\omega t+\phi _{m}(t))}$

называется угловой модуляцией , которая включает как фазовую модуляцию, так и частотную модуляцию . Мгновенная частота является     достаточно больших со , по сравнению с :${\displaystyle \omega +\phi _{m}^{\prime }(t).}$${\displaystyle \,\phi _{m}^{\prime }\,}$

${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)\approx A\cdot \sin(\omega t+\phi _{m}(t))}$

а также:

${\displaystyle u_{a}(t)\approx A\cdot e^{i(\omega t+\phi _{m}(t))}}$

Модуляция одной боковой полосы (SSB) [ править ]

Когда у _м ( т ) в   Eq.1 является также аналитическим представлением (форм сигнала сообщения), то есть:

${\displaystyle u_{m}(t)=m(t)+i\cdot {\widehat {m}}(t)}$

в результате получается однополосная модуляция:

${\displaystyle u_{a}(t)=(m(t)+i\cdot {\widehat {m}}(t))\cdot e^{i(\omega t+\phi )}}$

переданный компонент которого:

${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&=\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \{u_{a}(t)\}\\&=m(t)\cdot \cos(\omega t+\phi )-{\widehat {m}}(t)\cdot \sin(\omega t+\phi )\end{aligned}}}$

Причинность [ править ]

Функция h с h ( t ) = 1/ π t является фильтром без причинности и поэтому не может быть реализован как есть, когда u - сигнал, зависящий от времени. Если u является функцией вневременной переменной (например, пространственной), отсутствие причинности может не быть проблемой. Фильтр также имеет неограниченную поддержку , что может быть проблемой в некоторых приложениях. Другая проблема связана с тем, что происходит с нулевой частотой (DC), чего можно избежать, убедившись, что s не содержит DC-составляющую.

Практическая реализация во многих случаях подразумевает, что для аппроксимации вычислений используется фильтр с конечной поддержкой, который, кроме того, становится причинным с помощью подходящей задержки. Приближение также может означать, что только определенный частотный диапазон подвержен характеристическому сдвигу фазы, связанному с преобразованием Гильберта. См. Также квадратурный фильтр .

Дискретное преобразование Гильберта [ править ]

Для дискретной функции с дискретным преобразованием Фурье (ДВПФ) и дискретным преобразованием Гильберта ДВПФ в области - π <ω < π задается следующим образом:${\displaystyle \,u[n]\,,}$${\displaystyle \,U(\omega )\,,}$ ${\displaystyle \,{\hat {u}}[n]\,,}$${\displaystyle \,{\hat {u}}[n]\,}$

${\displaystyle \operatorname {DTFT} \displaystyle ({\hat {u}})=U(\omega )\cdot (-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega )).}$

Обратное ДВПФ с использованием теоремы свертки :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {u}}[n]&=\scriptstyle {\mathrm {DTFT} }^{-1}\displaystyle (U(\omega ))\ *\ \scriptstyle {\mathrm {DTFT} }^{-1}\displaystyle (-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\\&=u[n]\ *\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \\&=u[n]\ *\ \underbrace {{\frac {1}{2\pi }}\left[\int _{-\pi }^{0}i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega -\int _{0}^{\pi }i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \right]} _{h[n]},\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle h[n]\ \triangleq \ {\begin{cases}0,&{\text{for }}n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}}&{\text{for }}n{\text{ odd}},\end{cases}}}$

который представляет собой бесконечную импульсную характеристику (БИХ). Когда свертка выполняется численно, приближение FIR заменяется на h [ n ] , как показано на рисунке 1 . КИХ-фильтр с нечетным числом антисимметричных коэффициентов называется типом III, который по своей сути демонстрирует отклики нулевой величины на частотах 0 и Найквиста, что в данном случае приводит к форме полосового фильтра. Схема типа IV (четное число антисимметричных коэффициентов) показана на рисунке 2 . Поскольку амплитудная характеристика на частоте Найквиста не выпадает, он немного лучше приближает идеальный преобразователь Гильберта, чем фильтр с нечетным ответвлением. тем не мение

• Типичная (т.е. правильно отфильтрованная и дискретизированная) последовательность u [ n ] не имеет полезных компонентов на частоте Найквиста.
• Импульсная характеристика типа IV требует ¹ / ₂ образца сдвиг в час [ п ] последовательности. Это приводит к тому, что коэффициенты с нулевым значением становятся ненулевыми, как показано на рисунке 2 . Таким образом, конструкция типа III потенциально вдвое эффективнее, чем тип IV.
• Групповая задержка конструкции типа III представляет собой целое число образцов, что облегчает выравнивание с , чтобы создать аналитический сигнал . Групповая задержка типа IV находится на полпути между двумя отсчетами.${\displaystyle \,{\hat {u}}[n]\,}$${\displaystyle \,u[n]\,,}$

Функция MATLAB , hilbert (u, N) , сворачивает последовательность au [n] с периодическим суммированием : ^[42]

${\displaystyle h_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN]}$   ^[43]

и возвращает один цикл ( N выборок) периодического результата в мнимой части комплексной выходной последовательности. Свертка реализуется в частотной области как произведение массива     с выборками распределения - i sign ( ω ) (действительные и мнимые компоненты которого равны 0 или  ± 1 ). На рисунке 3 сравнивается полупериод h _N [ n ] с частью эквивалентной длины h [ n ] . Учитывая приближение FIR для обозначаться с заменой для - я${\displaystyle \scriptstyle {\mathrm {DFT} }\displaystyle \left(u[n]\right)}$ ${\displaystyle \,h[n]\,,}$${\displaystyle \,{\tilde {h}}[n]\,,}$${\displaystyle \,\scriptstyle {\mathrm {DFT} }\displaystyle \left({\tilde {h}}[n]\right)\,}$ sgn ( ω ) приводит к получению FIR-версии свертки.

Действительная часть выходной последовательности является оригинальной входной последовательностью, так что комплексный выходным является аналитическим представлением о ц [ п ] . Когда входные данные представляют собой сегмент чистого косинуса, результирующая свертка для двух разных значений N изображена на рисунке 4 (красный и синий графики). Краевые эффекты не позволяют результату быть чисто синусоидальной функцией (зеленый график). Поскольку h _N [ n ] не является FIR-последовательностью, теоретическая степень воздействия - это вся выходная последовательность. Но отличия от синусоидальной функции уменьшаются по мере удаления от краев. Параметр N- длина выходной последовательности. Если он превышает длину входной последовательности, входные данные модифицируются путем добавления элементов с нулевым значением. В большинстве случаев это уменьшает значимость различий. Но в их продолжительности преобладают времена нарастания и спада импульсной характеристики h [ n ] .

Понимание краевых эффектов важно, когда метод, называемый сохранением перекрытия , используется для выполнения свертки для длинной последовательности u [ n ] . Отрезки длины N свертываются периодической функцией:

${\displaystyle {\tilde {h}}_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\tilde {h}}[n-mN].}$

Когда длительность ненулевых значений составляет, выходная последовательность включает в себя N - M + 1 отсчетов из M - 1 выходов, которые отбрасываются из каждого блока из N , и входные блоки перекрываются на эту величину для предотвращения пропусков.${\displaystyle \,{\tilde {h}}[n]\,}$${\displaystyle \,M<N\,,}$ ${\displaystyle \,{\hat {u}}\,.}$

Рисунок 5 представляет собой пример использования как функции Гильберта (·) БИХ, так и приближения КИХ. В этом примере синусоидальная функция создается путем вычисления дискретного преобразования Гильберта косинусной функции, которая была обработана в четырех перекрывающихся сегментах и ​​снова собрана вместе. Как показывает результат КИХ (синий), искажения, видимые в результате БИХ (красный), не вызваны разницей между h [ n ] и h _N [ n ] (зеленый и красный на рисунке 3 ). Тот факт, что h _N [ n ] сужается (с окнами) действительно полезен в этом контексте. Настоящая проблема в том, что у него недостаточно окон. Фактически, M = N , тогда как для метода сохранения перекрытия требуется M < N .

Теоретико-числовое преобразование Гильберта [ править ]

Теоретико-числовое преобразование Гильберта является расширением ^[44] дискретного преобразования Гильберта до целых чисел по модулю подходящего простого числа. В этом следует обобщение дискретного преобразования Фурье до теоретико-числовых преобразований. Теоретико-числовое преобразование Гильберта можно использовать для генерации наборов ортогональных дискретных последовательностей. ^[45]

См. Также [ править ]

• Аналитический сигнал
• Гармонический конъюгат
• Гильбертова спектроскопия
• Преобразование Гильберта в комплексной плоскости
• Преобразование Гильберта – Хуанга
• Соотношение Крамерса – Кронига
• Преобразование Рисса
• Однополосный сигнал
• Сингулярные интегральные операторы типа свертки

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с преобразованием Гильберта .

• Вывод ограниченности преобразования Гильберта.
• Mathworld Hilbert transform - содержит таблицу преобразований
• Аналитические сигналы и фильтры преобразования Гильберта
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Титчмарша» . MathWorld .
• Йоханссон, Матиас. «Преобразование Гильберта» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 05 февраля 2012 года. резюме уровня студента преобразования Гильберта.
• "GS256 Лекция 3: Преобразование Гильберта" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 27 февраля 2012 года. введение начального уровня в преобразование Гильберта.