В математике , сингулярные интегралы являются центральными для гармонического анализа и тесно связаны с изучением дифференциальных уравнений. Вообще говоря, сингулярный интеграл - это интегральный оператор
Ядро, функция которого К : Р п × R п → R является сингулярным вдоль диагонали х = у . В частности, особенность такова, что | К ( х , у ) | имеет размер | х - у | - n асимптотически при | х - у | → 0. Поскольку такие интегралы, вообще говоря, не могут быть абсолютно интегрируемыми, строгое определение должно определять их как предел интеграла по | у - х| > ε при ε → 0, но на практике это формальность. Обычно для получения таких результатов требуются дополнительные предположения, как их ограниченность на L p ( R n ).
Преобразование Гильберта [ править ]
Архетипический сингулярный интегральный оператор является преобразование Гильберта H . Она задается сверткой с ядром К ( х ) = 1 / (π х ) для й в R . Точнее,
Самыми простыми аналогами этих высших размерностей являются преобразования Рисса , которые заменяют K ( x ) = 1 / x на
где я = 1, ..., п и является я -й компонент х в R н . Все эти операторы ограничены на L p и удовлетворяют оценкам слабого типа (1, 1). [1]
Сингулярные интегралы типа свертки [ править ]
Особый интеграл типа свертки - это оператор T, определяемый сверткой с ядром K , локально интегрируемым на R n \ {0} в том смысле, что
( 1 )
Предположим, что ядро удовлетворяет:
- Размер условие на преобразование Фурье от K
- Гладкость условие: для некоторых C > 0,
Тогда можно показать, что T ограничено на L p ( R n ) и удовлетворяет оценке слабого типа (1, 1).
Свойство 1. необходимо для обеспечения того, чтобы свертка ( 1 ) с умеренным распределением pv K, заданным интегралом главного значения
является хорошо определен мультипликатор Фурье на L 2 . Ни одно из свойств 1 или 2 не обязательно легко проверить, и существует множество достаточных условий. Обычно в приложениях есть условие отмены.
что довольно легко проверить. Это происходит автоматически, например, если K - нечетная функция . Если, кроме того, предполагается 2. и следующее условие размера
тогда можно показать, что 1. следует.
Условие гладкости 2. также часто бывает трудно проверить в принципе, можно использовать следующее достаточное условие ядра K :
Обратите внимание, что эти условия выполняются для преобразований Гильберта и Рисса, поэтому этот результат является расширением этого результата. [2]
Сингулярные интегралы несверточного типа [ править ]
Это даже более общие операторы. Однако, поскольку наши предположения настолько слабые, эти операторы не обязательно ограничены на L p .
Ядра Кальдерона – Зигмунда [ править ]
Функция K : R n × R n → R называется ядром Кальдерона - Зигмунда, если она удовлетворяет следующим условиям для некоторых констант C > 0 и δ > 0. [2]
Сингулярные интегралы несверточного типа [ править ]
T называется сингулярным интегральным оператором несверточного типа, ассоциированным с ядром Кальдерона – Зигмунда K, если
всякий раз, когда f и g гладкие и не пересекаются. [2] Такие операторы не обязательно должны быть ограничены на L p
Операторы Кальдерона – Зигмунда [ править ]
Исключительное интеграл от не-свертки типа T , связанный с Кальдерона-Зигмунда ядра K называется оператором Кальдерона-Зигмунда , когда она ограничена на L 2 , то есть, существует С > 0 такое , что
для всех гладких с компактным носителем.
Можно доказать, что такие операторы на самом деле также ограничены на всех L p с 1 < p <∞.
Теорема T ( b ) [ править ]
Т ( б ) теорема дает достаточные условия для сингулярного интегрального оператора , чтобы быть оператором Кальдерона-Зигмунда, то есть для сингулярного интегрального оператора , ассоциированного с ядром Кальдерона-Зигмунда быть ограничена на L 2 . Чтобы сформулировать результат, мы должны сначала определить некоторые термины.
Нормализуется шишка является гладкой функцией φ на R п поддерживается в шаре радиуса 10 с центром в начале координат таким образом, что | ∂ α φ ( x ) | ≤ 1, для всех мультииндексов | α | ≤ n + 2. Обозначим через τ x ( φ ) ( y ) = φ ( y - x ) и φ r ( x ) = r - n φ ( x / r ) для всех x в Rn и r > 0. Оператор называется слабо ограниченным, если существует константа C такая, что
для всех нормированных выступов φ и ψ . Функция называется аккретивным , если существует постоянный с > 0, что Ка ( б ) ( х ) ≥ с для всех х в R . Обозначим через M b оператор умножения на функцию b .
Т ( б ) теорема утверждает , что сингулярный интегральный оператор Т , связанный с ядром Кальдерона-Зигмунда ограничена на L 2 , если он удовлетворяет всем из следующих трех условий для некоторых ограниченных функций аккретивных б 1 и б 2 : [3]
См. Также [ править ]
Заметки [ править ]
- Перейти ↑ Stein, Elias (1993). «Гармонический анализ». Издательство Принстонского университета.
- ^ a b c Графакос, Лукас (2004), «7», Классический и современный анализ Фурье , Нью-Джерси: Pearson Education, Inc.
- ^ Дэвид; Semmes; Журне (1985). "Opérateurs de Calderón – Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation" (на французском языке). 1 . Revista Matemática Iberoamericana. С. 1–56.
Ссылки [ править ]
- Кальдерон, AP ; Зигмунда, А. (1952), "О существовании некоторых сингулярных интегралов", Acta Mathematica , 88 (1): 85-139, DOI : 10.1007 / BF02392130 , ISSN 0001-5962 , МР 0052553 , Zbl +0047,10201.
- Кальдерон, AP ; Зигмунд А. (1956), "О сингулярных интегралов", Американский журнал математики , Университет Джона Хопкинса Press, 78 (2): 289-309, DOI : 10,2307 / 2372517 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372517 , MR 0084633 , Zbl 0072.11501.
- Койфман, Рональд ; Мейер, Ив (1997), Вейвлеты: Кальдерон-Зигмунд и полилинейные операторы , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 48 , Cambridge University Press, стр. Xx + 315, ISBN 0-521-42001-6, Руководство по ремонту 1456993 , Zbl 0916.42023.
- Михлин, Соломон Г. (1948), «Сингулярные интегральные уравнения» , УМН , 3 (25): 29–112, MR 0027429.(на русском языке ).
- Михлин, Соломон Г. (1965), Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения , Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, 83 , Оксфорд - Лондон - Эдинбург - Нью-Йорк - Париж - Франкфурт : Pergamon Press , стр. XII + 255 , Руководство по ремонту 0185399 , Zbl 0129.07701.
- Михлин, Соломон Г .; Прессдорф, Зигфрид (1986), Сингулярные интегральные операторы , Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer Verlag , стр. 528, ISBN 0-387-15967-3, Руководство по ремонту 0867687 , Zbl 0612.47024, (Европейское издание: ISBN 3-540-15967-3 ).
- Штейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton Mathematical Series, 30 , Princeton, NJ : Princeton University Press , pp. XIV + 287, ISBN 0-691-08079-8, Руководство по ремонту 0290095 , Zbl 0207.13501
Внешние ссылки [ править ]
- Штейн, Элиас М. (октябрь 1998 г.). «Сингулярные интегралы: роль Кальдерона и Зигмунда» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 45 (9): 1130–1140.