Ограниченное среднее колебание

В гармоническом анализе в математике функция ограниченного среднего колебания , также известная как функция BMO , является действительной функцией , среднее колебание которой ограничено (конечно). Пространство функций ограниченной средней осцилляции ( BMO ), является функциональным пространством , что, в некотором точном смысле, играет ту же роль в теории Hardy пространств Н ^р , что пространство L ^∞ по существу ограниченных функций играют в теории L ^p -пространства : его также называютПространство Джона – Ниренберга после Фрица Джона и Луи Ниренберга, которые впервые представили и изучили его.

Историческая справка [ править ]

Согласно Ниренбергу (1985 , стр. 703 и стр. 707), ^[1] пространство функций ограниченной средней осцилляции было введено Джоном (1961 , стр. 410–411) в связи с его исследованиями отображений из ограниченного множества Ω, принадлежащее R ^n, в R ⁿ и соответствующие проблемы, возникающие из теории упругости , а именно из концепции упругой деформации : основные обозначения были введены в следующей статье Джона и Ниренберга (1961) , ^[2]где были доказаны некоторые свойства этих функциональных пространств. Следующий важный шаг в развитии теории был доказательством от Фефферман ^[3] о двойственности между BMO и пространством Харди H ¹ , в отмеченной статье Фефферман & Штейн один тысяча девятьсот семьдесят два : конструктивное доказательство этого результата, внедрение новых методов и начало дальнейшего развития теории было дано Акихито Учиямой . ^[4]

Определение [ править ]

Определение 1. среднее колебание из локально интегрируемой функции ¯u над гиперкуба ^[5] Q в R ^п определяется как значение следующего интеграла :

${\ displaystyle {\ frac {1} {| Q |}} \ int _ {Q} | u (y) -u_ {Q} | \, \ mathrm {d} y}$

где

• | Q | является объем из Q , то есть его мера Лебега
• u _Q - среднее значение u на кубе Q , т.е.

${\ displaystyle u_ {Q} = {\ frac {1} {| Q |}} \ int _ {Q} u (y) \, \ mathrm {d} y.}$

Определение 2. функция БМО является локально интегрируемой функцией у которых среднее колебание грань , берется по множеству всех кубов Q содержится в R ^п , конечно.

Примечание 1 . Супремумом среднего колебания называется BMO нормой из ц . ^[6] и обозначается || u || _BMO (а в некоторых случаях также обозначается || u || _∗ ).

Примечание 2 . Использование кубов Q в R ⁿ в качестве областей интегрирования, на которых рассчитывается среднее колебание , не является обязательным: Вигеринк (2001) вместо этого использует шары и, как заметил Стейн (1993 , с. 140), при этом идеально возникает эквивалентное определение функций ограниченного среднего колебания.Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFWiegerinck2001 ( справка )

Обозначение [ править ]

• Общепринятое обозначение, используемое для набора функций BMO в данной области Ω, - это BMO ( Ω ): когда Ω  =  R ⁿ , BMO ( R ⁿ ) просто обозначается как BMO .
• BMO норма данной функции BMO у обозначается через || u || _BMO : в некоторых случаях также обозначается как || u || _∗ .

Основные свойства [ править ]

Функции BMO являются локально p –интегрируемыми [ править ]

BMO-функции являются локально L ^p, если 0 < p  <∞, но не должны быть локально ограниченными. Фактически, используя неравенство Джона-Ниренберга, мы можем доказать, что

${\ displaystyle \ | u \ | _ {BMO} \ simeq \ sup _ {Q} \ left ({\ frac {1} {| Q |}} \ int _ {Q} | u-u_ {Q} | ^ {p} dx \ right) ^ {1 / p}}$.

BMO - это банахово пространство [ править ]

Постоянные функции имеют нулевое среднее колебание, поэтому функции, различающиеся для константы c  > 0, могут иметь одно и то же значение нормы BMO, даже если их разница не равна нулю почти везде . Следовательно, функция || u || _BMO собственно норма в фактор-пространстве функций BMO по модулю пространства постоянных функций в рассматриваемой области.

Средние значения соседних кубов сопоставимы [ править ]

Как следует из названия, среднее или среднее значение функции в BMO не сильно колеблется при вычислении его по кубам, близким друг к другу по положению и масштабу. А именно, если Q и R - двоичные кубы , границы которых соприкасаются, а длина стороны Q не меньше половины длины стороны R (и наоборот), то

${\ displaystyle | f_ {R} -f_ {Q} | \ leq C \ | f \ | _ {BMO}}$

где C > 0 - некоторая универсальная постоянная. Это свойство фактически эквивалентно нахождению f в BMO, то есть если f - локально интегрируемая функция такая, что | f _R - f _Q | ≤ C для всех двоичных кубов Q и R, смежных в смысле, описанном выше, и f находится в двоичном BMO (где супремум берется только для двоичных кубов Q ), тогда f находится в BMO. ^[7]

BMO - двойное векторное пространство H ¹ [ править ]

Фефферман (1971) показал, что пространство BMO двойственно H ¹ , пространству Харди с p  = 1. ^[8] Спаривание между f  ∈ H ¹ и g  ∈ BMO задается формулой

${\ Displaystyle (е, г) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} е (х) г (х) \, \ mathrm {d} х}$

хотя при определении этого интеграла требуется некоторая осторожность, поскольку он, как правило, не сходится абсолютно.

Неравенство Джона – Ниренберга [ править ]

Джон-Ниренбергу Неравенство является оценка , которая определяет , как далеко функция ограниченного среднего колебания могут отклоняться от среднего на определенную величину.

Заявление [ править ]

Для каждого , есть константы , такие , что для любого куба в ,${\displaystyle f\in \operatorname {BMO} \left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle c_{1},c_{2}>0}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \left|\left\{x\in Q:|f-f_{Q}|>\lambda \right\}\right|\leq c_{1}\exp \left(-c_{2}{\frac {\lambda }{\|f\|_{BMO}}}\right)|Q|.}$

Наоборот, если это неравенство выполняется для всех кубов с некоторой константой C вместо || f || _BMO , то е в BMO с нормой не более чем раз константа C .

Следствие: расстояние в BMO до L ^∞ [ править ]

Неравенство Джона – Ниренберга может фактически дать больше информации, чем просто норма BMO функции. Для локально интегрируемой функции f пусть A ( f ) - инфимальное число A > 0, для которого

${\displaystyle \sup _{Q\subseteq \mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{|Q|}}\int _{Q}e^{\frac {|f-f_{Q}|}{A}}\mathrm {d} x<\infty .}$

Из неравенства Джона – Ниренберга следует, что A ( f ) ≤ C || f || _BMO для некоторой универсальной константы C . Однако для функции L ∞ указанное выше неравенство будет выполняться для всех A  > 0. Другими словами, A ( f ) = 0, если f принадлежит L ^∞ . Следовательно, константа A ( f ) дает нам способ измерить, насколько функция из BMO удалена от подпространства L ^∞ . Это утверждение можно уточнить: ^[9] существует константа C , зависящая только отразмерности n , такой что для любой функции f  ∈ BMO ( R ⁿ ) выполняется следующее двустороннее неравенство

${\displaystyle {\frac {1}{C}}A(f)\leq \inf _{g\in L^{\infty }}\|f-g\|_{BMO}\leq CA(f).}$

Обобщения и расширения [ править ]

Пространства BMOH и BMOA [ править ]

Когда размер окружающего пространства 1, пространство BMO можно рассматривать как линейное подпространство в гармонических функций на единичном круге и играет важную роль в теории пространств Харди : с помощью определения 2 , можно определить BMO ( T ) на единичной окружности как пространство функций f  : T → R таких, что

${\displaystyle {\frac {1}{|I|}}\int _{I}|f(y)-f_{I}|\,\mathrm {d} y<C<+\infty }$

т.е. такое, что его среднее колебание по каждой дуге I единичной окружности ^[10] ограничено. Здесь, как и раньше, f _I - среднее значение f по дуге I.

Определение 3. Аналитическая функция на единичном круге называется принадлежащей гармоническому BMO или пространству BMOH тогда и только тогда, когда она является интегралом Пуассона функции BMO ( T ). Следовательно, BMOH - это пространство всех функций u вида:

${\displaystyle u(a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{\frac {1-|a|^{2}}{|a-e^{i\theta }|^{2}}}f(e^{i\theta })\,\mathrm {d} \theta }$

укомплектован нормой:

${\displaystyle \|u\|_{BMOH}=\sup _{|a|<1}\left\{{\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{\frac {1-|a|^{2}}{|a-e^{i\theta }|^{2}}}|f(e^{i\theta })-u(a)|\,\mathrm {d} \theta \right\}}$

Подпространство аналитических функций, принадлежащих BMOH, называется аналитическим пространством BMO или пространством BMOA .

BMOA как двойственное пространство H ¹ ( D ) [ править ]

Чарльз Фефферман в своей оригинальной работе доказал, что вещественное пространство BMO двойственно действительнозначному гармоническому пространству Харди на верхнем полупространстве R ⁿ × (0, ∞]. ^[11] В теории комплексного и гармонического анализа на единице disk, его результат сформулирован следующим образом. ^[12] Пусть H ^p ( D ) - аналитическое пространство Харди на единице Disc . При p  = 1 мы отождествляем ( H ¹ ) * с BMOA, создавая пары f ∈ H ¹ ( D ) и g  ∈ BMOA, используяантилинейное преобразование T _g

${\displaystyle T_{g}(f)=\lim _{r\rightarrow 1}\int _{-\pi }^{\pi }{\bar {g}}(e^{i\theta })f(re^{i\theta })\,\mathrm {d} \theta }$

Обратите внимание, что хотя предел всегда существует для функции f из H ¹ и T _g является элементом двойственного пространства ( H ¹ ) *, поскольку преобразование является антилинейным , у нас нет изометрического изоморфизма между ( H ¹ ) * и BMOA. Однако можно получить изометрию, если рассматривать своего рода пространство сопряженных функций BMOA .

Космическая ВМО [ править ]

Пространство VMO функций нулевого среднего колебания является замыканием в BMO непрерывных функций, обращающихся в нуль на бесконечности. Его также можно определить как пространство функций, «средние колебания» которых на кубах Q не только ограничены, но и равномерно стремятся к нулю, когда радиус куба Q стремится к 0 или ∞. Пространство VMO является своего рода пространственным аналогом Харди пространства непрерывных функций, исчезающих на бесконечности, и, в частности, действительное гармоническое пространство Харди H ¹ является двойственным к VMO. ^[13]

Связь с преобразованием Гильберта [ править ]

Локально интегрируемая функция f на R является BMO тогда и только тогда, когда ее можно записать как

${\displaystyle f=f_{1}+Hf_{2}+\alpha }$

где f _i ∈ L ^∞ , α - постоянная, а H - преобразование Гильберта .

Норма BMO тогда эквивалентна точной нижней грани по всем таким представлениям.${\displaystyle \|f_{1}\|_{\infty }+\|f_{2}\|_{\infty }}$

Точно так е является VMO тогда и только тогда , когда она может быть представлена в форме выше с е _я ограничены равномерно непрерывные функции на R . ^[14]

Диадическое пространство BMO [ править ]

Обозначим через Δ множество двоичных кубов в R ⁿ . Диадическое пространство BMO , обозначаемое как BMO _d, - это пространство функций, удовлетворяющих тому же неравенству, что и для функций BMO, только супремум проводится по всем диадическим кубам. Этот супремум иногда обозначают || • || _{BMO d} .

Это пространство правильно содержит BMO. В частности, функция log (x) χ _{[0, ∞)} является функцией, которая находится в двоичном BMO, но не входит в BMO. Однако, если функция f такова, что || f (• - x ) || _{BMO d} ≤ C для всех x в R ⁿ для некоторого C > 0, то по уловке одной трети f также находится в BMO. В случае BMO на T ⁿ вместо R ⁿ функция f такова, что || f (• - x ) || _{BMO d}≤ C для n + 1, выбранного подходящим образом x , тогда f также входит в BMO. Это означает, что BMO ( T ⁿ ) является пересечением n + 1 трансляции двоичного BMO. По двойственности H ¹ ( T ⁿ ) является суммой n + 1 трансляции диадического H ¹ . ^[15]

Хотя диадический BMO - гораздо более узкий класс, чем BMO, многие теоремы, которые верны для BMO, намного проще доказать для диадического BMO, и в некоторых случаях можно восстановить исходные теоремы BMO, сначала доказав их в специальном диадическом случае. ^[16]

Примеры [ править ]

Примеры функций BMO включают следующее:

• Все ограниченные (измеримые) функции. Если f принадлежит L ^∞ , то || f || _BMO ≤ 2 || f || _∞ : ^[17] однако обратное неверно, как показывает следующий пример.
• Функция log (| P |) для любого многочлена P , не равного тождественно нулю: в частности, это верно также для | P ( x ) | = | х |. ^[17]
• Если вес является A ∞ вес , а затем войти ( ш ) является БМО. Наоборот, если f является BMO, то e ^δf является весом A _∞ для достаточно малого δ> 0: этот факт является следствием неравенства Джона – Ниренберга . ^[18]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]