Сферически симметричное пространство-время

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Сферически-симметричное пространство-время»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

В физике , сферически симметричные хронотопы обычно используются для получения аналитических и численных решений уравнений Эйнштейна в присутствии радиально движущейся материи или энергии. Поскольку сферически-симметричные пространства-времени по определению являются безвихревыми, они не являются реалистичными моделями черных дыр в природе. Однако их метрики значительно проще, чем метрики вращающегося пространства-времени, что значительно упрощает их анализ.

Сферически-симметричные модели не совсем неуместны: многие из них имеют диаграммы Пенроуза, аналогичные диаграммам вращающегося пространства-времени, и они обычно имеют качественные особенности (такие как горизонты Коши ), на которые вращение не влияет. Одно из таких приложений - изучение массовой инфляции из-за встречных потоков падающего вещества внутри черной дыры.

Формальное определение [ править ]

Сферически симметричное пространство является пространство -время которого группа движений содержит подгруппу , которая изоморфна к группе вращения SO (3) и орбит этой группы являются 2-сферы (обычные 2-мерные сферы в 3-мерном евклидовом пространстве ). Затем изометрии интерпретируются как вращения, а сферически-симметричное пространство-время часто описывается как пространство-время, метрика которого «инвариантна относительно вращений». Метрика пространства-времени индуцирует метрику на каждой орбитальной 2-сфере (и эта индуцированная метрика должна быть кратной метрике 2-сферы). Условно метрика на двумерной сфере записывается в полярных координатах в качестве

${\displaystyle g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$,

и поэтому полная метрика включает член, пропорциональный этому.

Сферическая симметрия является характерной чертой многих решений уравнений Эйнштейна в общей теории относительности , в особенности решения Шварцшильда и решение Рейсснера-Нордстрема . Сферически-симметричное пространство-время можно охарактеризовать по-другому, а именно с помощью понятия векторных полей Киллинга , которые в очень точном смысле сохраняют метрику . Упомянутые выше изометрии на самом деле являются локальными потоковыми диффеоморфизмами векторных полей Киллинга и, таким образом, порождают эти векторные поля. Для сферически-симметричного пространства-времени существует ровно 3 вращающихся векторных поля Киллинга. Другими словами, размер${\displaystyle M}$Алгебра убийства - 3; то есть . В общем, ни один из них не похож на время, поскольку это подразумевает статическое пространство-время .${\displaystyle K(M)}$${\displaystyle \dim K(M)=3}$

Известно (см . Теорему Биркгофа ), что любое сферически-симметричное решение уравнений вакуумного поля обязательно изометрично подмножеству максимально расширенного решения Шварцшильда . Это означает, что внешняя область вокруг сферически-симметричного гравитирующего объекта должна быть статической и асимптотически плоской .

Сферически-симметричные метрики [ править ]

Обычно для записи метрики ( линейного элемента ) используются сферические координаты . Возможны несколько координатных карт ; к ним относятся:${\displaystyle x^{\mu }=(t,r,\theta ,\phi )}$

• Координаты Шварцшильда
• Изотропные координаты , в которых световые конусы имеют круглую форму, и поэтому полезны для изучения нулевой пыли .
• Гауссовские полярные координаты , иногда используемые для изучения статических сферически-симметричных идеальных жидкостей.
• Окружной радиус, указанный ниже, удобен для изучения инфляции массы.

Метрика окружного радиуса [ править ]

Одна популярная метрика ^[1], используемая при изучении массовой инфляции , - это

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=-{\frac {dt^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{\beta _{r}^{2}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)^{2}+r^{2}\,g(\Omega ).}$

Здесь - стандартная метрика на двумерной сфере единичного радиуса . Радиальная координата определяется так, чтобы это был радиус окружности, то есть так, чтобы надлежащая длина окружности при радиусе была равна . В этом выборе координат параметр определяется так, что это надлежащая скорость изменения окружного радиуса (то есть, где - собственное время ). Параметр можно интерпретировать как радиальную производную окружного радиуса в свободно падающей рамке; это становится явным в формализме тетрад .${\displaystyle g(\Omega )}$${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 2\pi r}$${\displaystyle \beta _{t}}$${\displaystyle \beta _{t}=dr/d\tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \beta _{r}}$

Формализм ортонормированных тетрад [ править ]

Обратите внимание, что указанная выше метрика записывается как сумма квадратов, и поэтому ее можно понимать как явное кодирование вирбейна и, в частности, ортонормированной тетрады . То есть, метрический тензор может быть записан в виде отката из метрики Минковского :${\displaystyle \eta _{ij}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{ij}\,e_{\;\mu }^{i}\,e_{\;\nu }^{j}}$

где - обратный вербейн. Здесь и далее принято соглашение, что римские индексы относятся к плоской ортонормированной тетрадной системе отсчета, а греческие индексы относятся к системе координат. Обратный vierbein может быть непосредственно прочитан из вышеуказанной метрики как${\displaystyle e_{\;\mu }^{i}}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{t}dx^{\mu }={\frac {dt}{\alpha }}}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{r}dx^{\mu }={\frac {1}{\beta _{r}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{\theta }dx^{\mu }=rd\theta }$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{\phi }dx^{\mu }=r\sin \theta d\phi }$

где должна была быть подпись . Записанный в виде матрицы обратный вербейн имеет вид${\displaystyle (-+++)}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{i}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\alpha }}&0&0&0\\-{\frac {\beta _{t}}{\alpha \beta _{r}}}&{\frac {1}{\beta _{r}}}&0&0\\0&0&r&0\\0&0&0&r\sin \theta \\\end{bmatrix}}}$

Сам по себе vierbein является инверсией (-transpose) обратного vierbein

${\displaystyle e_{i}^{\;\mu }={\begin{bmatrix}\alpha &\beta _{t}&0&0\\0&\beta _{r}&0&0\\0&0&{\frac {1}{r}}&0\\0&0&0&{\frac {1}{r\sin \theta }}\\\end{bmatrix}}}$

То есть это единичная матрица.${\displaystyle (e_{\;\mu }^{i})^{T}e_{i}^{\;\nu }=e_{\mu }^{\;\;i}e_{i}^{\;\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }}$

Особенно простая форма вышеизложенного является основным мотивирующим фактором для работы с данной метрикой.

Вирбейн связывает векторные поля в системе координат с векторными полями в системе координат тетрад, как

${\displaystyle \partial _{i}=e_{i}^{\;\mu }{\frac {\partial \;\;}{\partial x^{\mu }}}}$

Наиболее интересным из этих двух является собственное время в системе покоя и радиальная производная в системе покоя. По конструкции, как отмечалось ранее, была правильная скорость изменения окружного радиуса; теперь это можно явно записать как${\displaystyle \partial _{t}}$${\displaystyle \partial _{r}}$${\displaystyle \beta _{t}}$

${\displaystyle \beta _{t}=\partial _{t}r}$

Точно так же

${\displaystyle \beta _{r}=\partial _{r}r}$

который описывает градиент (в свободно падающей тетрадной системе отсчета) окружного радиуса в радиальном направлении. Это не общее единство; сравните, например, со стандартным решением Swarschild или решением Reissner – Nordström. Знак эффективно определяет, «какой путь вниз»; знак различает входящие и исходящие кадры, так что это входящий кадр и исходящий кадр.${\displaystyle \beta _{r}}$${\displaystyle \beta _{r}}$${\displaystyle \beta _{r}>0}$${\displaystyle \beta _{r}<0}$

Эти два соотношения окружного радиуса дают еще одну причину, по которой эта конкретная параметризация метрики удобна: она имеет простую интуитивно понятную характеристику.

Форма подключения [ править ]

Форма соединения в тетрад кадре можно записать в терминах символов Кристоффеля в тетрад кадре, которые предоставляются${\displaystyle \Gamma _{ijk}}$

${\displaystyle \Gamma _{rtt}=-\partial _{r}\ln \alpha }$

${\displaystyle \Gamma _{rtr}=-\beta _{t}{\frac {\partial \ln \alpha }{\partial r}}+{\frac {\partial \beta _{t}}{\partial r}}-\partial _{t}\ln \beta _{r}}$

${\displaystyle \Gamma _{\theta t\theta }=\Gamma _{\phi t\phi }={\frac {\beta _{t}}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\theta r\theta }=\Gamma _{\phi r\phi }={\frac {\beta _{r}}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\phi \theta \phi }={\frac {\cot \theta }{r}}}$

а все остальные ноль.

Уравнения Эйнштейна [ править ]

Полный набор выражений для тензора Римана , в тензор Эйнштейна и го Вейля кривизны скаляр можно найти в Гамильтоне и Avelino. ^[1] Уравнения Эйнштейна становятся

${\displaystyle \nabla _{t}\beta _{t}=-{\frac {M}{r^{2}}}-4\pi rp}$

${\displaystyle \nabla _{t}\beta _{r}=4\pi rf}$

где ковариантная производная по времени (и связность Леви-Чивита ), радиальное давление ( не изотропное давление!), а поток энергии радиальные. Масса - это масса Мизнера-Торна или внутренняя масса , определяемая по формуле${\displaystyle \nabla _{t}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M(r)}$

${\displaystyle {\frac {2M}{r}}-1=\beta _{t}^{2}-\beta _{r}^{2}}$

Поскольку эти уравнения являются по сути двумерными, их можно решить без огромных трудностей для различных предположений о природе падающего материала (то есть, для предположения о сферически-симметричной черной дыре, которая аккрецирует заряженную или нейтральную пыль, газ , плазма или темная материя, с высокой или низкой температурой, то есть материал с различными уравнениями состояния .)

См. Также [ править ]

• Статическое пространство-время
• Стационарное пространство-время
• Симметрии пространства-времени
• Пространство Де Ситтера

Ссылки [ править ]

• Вальд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-87033-2. См. Раздел 6.1 для обсуждения сферической симметрии .