Метрический тензор (общая теория относительности)

${\displaystyle {\begin{pmatrix}g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03}\\g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33}\\\end{pmatrix}}}$ Метрический тензор пространства-времени в общей теории относительности, записанный в виде матрицы

В общей теории относительности , то метрический тензор (в этом контексте часто сокращенно просто метрика ) является основным объектом изучения. Он может свободно рассматривать как обобщение гравитационного потенциала в ньютоновской гравитации . ^{[ Требуется уточнение ]} Метрические фиксирует всю геометрическая и причинная структура из пространства - времени , которые используются для определения понятия , таких как время, расстояние, объем, кривизна, угол, и отделение прошлого и будущего.

Обозначения и соглашения [ править ]

В этой статье мы работаем с метрической сигнатурой, которая в основном положительна ( - + + + ); см. соглашение о знаках . Постоянная гравитации будет сохранена в явном виде. В этой статье используется соглашение Эйнштейна о суммировании , при котором повторяющиеся индексы автоматически суммируются.${\displaystyle G}$

Определение [ править ]

Математически пространства - времени представлено четырехмерного дифференцируемого многообразия и метрический тензор дается как ковариантный , второго степени , симметричного тензора на , обычно обозначаемой . Кроме того, требуется, чтобы метрика была невырожденной с сигнатурой (- + + +) . Многообразие, снабженное такой метрикой, является типом лоренцевых многообразий .${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$

Явный, метрический тензор является симметричной билинейной формой на каждом касательном пространстве в том , что изменяется в гладком (или дифференцируемых) образом от точки к точке. Учитывая два касательных вектора и точку в , можно вычислить метрику и получить действительное число:${\displaystyle M}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle g_{x}(u,v)=g_{x}(v,u)\in \mathbb {R} .}$

Это обобщение скалярного произведения обычного евклидова пространства . В отличие от евклидова пространства, где скалярное произведение положительно определено, метрика не определена и придает каждому касательному пространству структуру пространства Минковского .

Локальные координаты и матричные представления [ править ]

Физики обычно работают в локальных координатах (т.е. координата , определенный на некоторую локальную заплату из ). В локальных координатах (где - индекс от 0 до 3) метрику можно записать в виде${\displaystyle M}$${\displaystyle x^{\mu }}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle g=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }.}$

Факторы представляют собой градиенты одной формы скалярных координатных полей . Таким образом, метрика представляет собой линейную комбинацию тензорных произведений однотипных градиентов координат. Коэффициенты представляют собой набор из 16 действительных функций (поскольку тензор является тензорным полем , которое определено во всех точках пространственно-временного многообразия). Чтобы метрика была симметричной, мы должны иметь${\displaystyle dx^{\mu }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu },}$

давая 10 независимых коэффициентов.

Если локальные координаты указаны или поняты из контекста, метрика может быть записана как симметричная матрица 4 × 4 с элементами . Невырожденность означает, что эта матрица невырожденна (т.е. имеет не равный нулю определитель), в то время как лоренцева сигнатура означает, что матрица имеет одно отрицательное и три положительных собственных значения . Обратите внимание, что физики часто называют эту матрицу или сами координаты метрикой (см., Однако, обозначение абстрактного индекса ).${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

Поскольку величины рассматриваются как компоненты бесконечно малого четырехвектора координатного смещения (не путать с единичными формами того же обозначения выше), метрика определяет инвариантный квадрат бесконечно малого линейного элемента , часто называемого интервал . Интервал часто обозначают${\displaystyle dx^{\mu }}$

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.}$

Интервал передает информацию о причинной структуре пространства-времени . Когда , интервал подобен времени, а квадратный корень из абсолютного значения является инкрементным собственным временем . Только времениподобные интервалы может физически пройти массивный объект. Когда , интервал подобен свету, и его могут пройти только (безмассовые) объекты, движущиеся со скоростью света. Когда , интервал пространственноподобен, а квадратный корень из действует как приращение собственной длины . Пространственноподобные интервалы пересечь невозможно, поскольку они соединяют события, находящиеся вне световых конусов друг друга . События${\displaystyle ds^{2}}$${\displaystyle ds^{2}<0}$${\displaystyle ds^{2}}$${\displaystyle ds^{2}=0}$${\displaystyle ds^{2}>0}$${\displaystyle ds^{2}}$ могут быть причинно связаны, только если они находятся в пределах световых конусов друг друга.

Компоненты метрики зависят от выбора локальной системы координат. При изменении координат компоненты метрики преобразуются как${\displaystyle x^{\mu }\to x^{\bar {\mu }}}$

${\displaystyle g_{{\bar {\mu }}{\bar {\nu }}}={\frac {\partial x^{\rho }}{\partial x^{\bar {\mu }}}}{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial x^{\bar {\nu }}}}g_{\rho \sigma }=\Lambda ^{\rho }{}_{\bar {\mu }}\,\Lambda ^{\sigma }{}_{\bar {\nu }}\,g_{\rho \sigma }.}$

Примеры [ править ]

Плоское пространство-время [ править ]

Простейшим примером лоренцевого многообразия ^{[ требуется пояснение ]} является плоское пространство-время , которое может быть задано как R ⁴ с координатами ^{[ требуется пояснение ]} и метрикой${\displaystyle (t,x,y,z)}$

${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.\,}$

Обратите внимание, что эти координаты фактически покрывают все R ⁴ . Метрика плоского пространства (или метрика Минковского ) часто обозначается символом η и является метрикой, используемой в специальной теории относительности . В приведенных выше координатах матричное представление η имеет вид

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

(Альтернативное соглашение заменяет координату на и определяет как в пространстве Минковского § Стандартный базис .)${\displaystyle t}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle \eta }$

В сферических координатах метрика плоского пространства принимает вид${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$

${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}\,}$

куда

${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$

стандартная метрика на двумерной сфере ^{[ требуется пояснение ]} .

Показатели черной дыры [ править ]

Метрика Шварцшильда описывает незаряженную невращающуюся черную дыру. Есть также метрики, описывающие вращающиеся и заряженные черные дыры.

Метрика Шварцшильда [ править ]

Помимо метрики плоского пространства, наиболее важной метрикой в ​​общей теории относительности является метрика Шварцшильда, которая может быть задана в одном наборе локальных координат следующим образом:

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$

где, опять же, - стандартная метрика на 2-сфере . Здесь - гравитационная постоянная, а - постоянная, зависящая от размеров массы . Его вывод можно найти здесь . Метрика Шварцшильда приближается к метрике Минковского по мере приближения к нулю (за исключением начала координат, где она не определена). Точно так же, когда уходит в бесконечность, метрика Шварцшильда приближается к метрике Минковского.${\displaystyle d\Omega ^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$

С координатами

${\displaystyle \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )\,,}$

мы можем записать метрику как

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)&0&0&0\\0&\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,.}$

Некоторые другие системы координат были разработаны для метрики Шварцшильда: координаты Эддингтона-Финкельштейн , координаты Голстранда Пенлеве , координата Крускала-Шекерес и координата Леметра .

Вращающиеся и заряженные черные дыры [ править ]

Решение Шварцшильда предполагает объект, который не вращается в пространстве и не заряжается. Чтобы учесть заряд, метрика должна удовлетворять уравнениям Эйнштейна Поля, как и раньше, а также уравнениям Максвелла в искривленном пространстве-времени. Заряженная невращающаяся масса описывается метрикой Рейсснера – Нордстрема .

Вращающиеся черные дыры описываются Керра метрикой а Керра-Ньюмена метрики . ^{[ требуется дальнейшее объяснение ]}

Другие показатели [ править ]

Другие примечательные показатели:

• Метрика Алькубьерре ,
• показатели де Ситтера / анти-де Ситтера ,
• Метрика Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уолкера ,
• Изотропные координаты ,
• Метрика Лемэтра – Толмана (также известная как метрика Бонди ^{[ требуется пояснение ]} ),
• Метрика Переса ,
• Координаты Риндлера ,
• Координаты Вейля-Льюиса-Папапетру ,
• Метрика Гёделя .

Некоторые из них не имеют горизонта событий или могут быть без гравитационной сингулярности .

Объем [ править ]

Метрика g индуцирует естественную форму объема (с точностью до знака), которую можно использовать для интегрирования по области многообразия. Учитывая локальные координаты многообразия, форму объема можно записать${\displaystyle x^{\mu }}$

${\displaystyle \mathrm {vol} _{g}=\pm {\sqrt {|\det[g_{\mu \nu }]|}}\,dx^{0}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge dx^{3}}$

где - определитель матрицы компонент метрического тензора для данной системы координат.${\displaystyle \det[g_{\mu \nu }]}$

Кривизна [ править ]

Метрика полностью определяет кривизну пространства-времени. Согласно основной теореме римановой геометрии , на любом полуримановом многообразии существует единственная связность ∇ , согласованная с метрикой и не имеющая кручения . Эта связь называется связью Леви-Чивита . Эти символы Кристоффеля этой связи приведены в терминах частных производных метрики в локальных координатах по формуле${\displaystyle g}$${\displaystyle x^{\mu }}$

${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }={1 \over 2}g^{\lambda \rho }\left({\partial g_{\rho \mu } \over \partial x^{\nu }}+{\partial g_{\rho \nu } \over \partial x^{\mu }}-{\partial g_{\mu \nu } \over \partial x^{\rho }}\right)={1 \over 2}g^{\lambda \rho }\left(g_{\rho \mu ,\nu }+g_{\rho \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\rho }\right)}$

(где запятые обозначают частные производные ).

Кривизна пространства-времени тогда задается тензором кривизны Римана, который определяется в терминах связности Леви-Чивиты ∇. В локальных координатах этот тензор имеет вид:

${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }.}$

Тогда кривизна выражается исключительно в терминах метрики и ее производных.${\displaystyle g}$

Уравнения Эйнштейна [ править ]

Одна из основных идей общей теории относительности состоит в том, что метрика (и связанная с ней геометрия пространства-времени) определяется материей и энергетическим содержанием пространства-времени . Полевые уравнения Эйнштейна :

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }}$

где тензор кривизны Риччи

${\displaystyle R_{\nu \rho }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R^{\mu }}_{\nu \mu \rho }}$

и скалярная кривизна

${\displaystyle R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }}$

свяжут метрику (и соответствующие тензоры кривизны) с тензором энергии-импульса . Это тензорное уравнение представляет собой сложную систему нелинейных уравнений в частных производных для компонентов метрики. Точные решения уравнений поля Эйнштейна найти очень сложно.${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

См. Также [ править ]

• Альтернативы общей теории относительности
• Основное введение в математику искривленного пространства-времени
• Математика общей теории относительности
• Исчисление Риччи

Ссылки [ править ]

• Список ссылок см. В ресурсах по общей теории относительности .