Тензор
В математике тензор — это алгебраический объект , описывающий полилинейную связь между наборами алгебраических объектов, связанных с векторным пространством . Объекты, между которыми могут отображаться тензоры, включают векторы и скаляры и даже другие тензоры. Существует множество типов тензоров, включая скаляры и векторы (которые являются простейшими тензорами), двойственные векторы , полилинейные отображения между векторными пространствами и даже некоторые операции, такие как скалярное произведение . Тензоры определяются независимо от любого базиса, хотя на них часто ссылаются их компоненты в основе, связанной с определенной системой координат.
Тензоры стали важными в физике , потому что они обеспечивают краткую математическую основу для формулирования и решения физических задач в таких областях, как механика ( напряжение , упругость , гидромеханика , момент инерции , ...), электродинамика ( электромагнитный тензор , тензор Максвелла , диэлектрическая проницаемость , магнитная восприимчивость , ...), или общая теория относительности ( тензор энергии-импульса , тензор кривизны, ...) и другие. В приложениях обычно изучают ситуации, когда в каждой точке объекта может возникать другой тензор; например, напряжение внутри объекта может варьироваться от одного места к другому. Это приводит к понятию тензорного поля . В некоторых областях тензорные поля настолько распространены, что их часто называют просто «тензорами».
Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро популяризировали тензоры в 1900 году, продолжая более раннюю работу Бернхарда Римана , Элвина Бруно Кристоффеля и других, как часть абсолютного дифференциального исчисления . Концепция позволила альтернативную формулировку внутренней дифференциальной геометрии многообразия в виде тензора кривизны Римана . [1]
Несмотря на кажущуюся разницу, различные подходы к определению тензоров описывают одну и ту же геометрическую концепцию, используя разный язык и на разных уровнях абстракции.
Тензор может быть представлен в виде массива (потенциально многомерного). Точно так же, как вектор в n - мерном пространстве представлен одномерным массивом с n компонентами относительно данного базиса , любой тензор относительно базиса представлен многомерным массивом. Например, линейный оператор представляется в базисе в виде двумерного квадратного массива n × n . Числа в многомерном массиве известны как скалярные компоненты тензора или просто его компоненты . Они обозначаются индексами, указывающими их положение в массиве, какнижние и верхние индексы , следующие за символическим именем тензора. Например, компоненты тензора порядка 2 T могут быть обозначены T ij , где i и j — индексы от 1 до n , или также через T я
дж. Отображается ли индекс как верхний или нижний индекс, зависит от свойств преобразования тензора, описанных ниже. Таким образом, в то время как T ij и T я
джмогут быть выражены как матрицы n на n и численно связаны с помощью жонглирования индексами , разница в их законах преобразования указывает на то, что было бы неправильно складывать их вместе. Общее количество индексов, необходимых для однозначной идентификации каждой компоненты, равно размерности массива и называется порядком , степенью или рангом тензора. Однако термин «ранг» обычно имеет другое значение в контексте матриц и тензоров.
