Тензор напряжений Максвелла

Электромагнетизм
Статьи о

Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитостатический потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер
v т е

Тензора напряжений Максвелла (названный в честь Джеймса Клерка Максвелла ) является симметричной второго порядка тензор используется в классической электромагнетизма представлять взаимодействие электромагнитных сил и механического импульса . В простых ситуациях, например, когда точечный заряд свободно движется в однородном магнитном поле, легко вычислить силы, действующие на заряд, по закону силы Лоренца . Когда ситуация усложняется, эта обычная процедура может стать невероятно сложной, поскольку уравнения охватывают несколько строк. Поэтому удобно собрать многие из этих членов в тензоре напряжений Максвелла и использовать тензорную арифметику, чтобы найти ответ на поставленную задачу.

В релятивистской формулировке электромагнетизма тензор Максвелла появляется как часть электромагнитного тензора энергии-напряжения, который является электромагнитной составляющей тензора полного напряжения-энергии . Последний описывает плотность и поток энергии и импульса в пространстве-времени .

Мотивация [ править ]

Сила Лоренца (на единицу 3-объема) f на непрерывное распределение заряда ( плотность заряда ρ ) в движении. Плотность 3- тока J соответствует движению элемента заряда dq в элементе объема dV и изменяется по всему континууму.

Как указано ниже, электромагнитная сила записывается через E и B . Используя векторное исчисление и уравнения Максвелла , ищется симметрия в членах, содержащих E и B , а введение тензора напряжений Максвелла упрощает результат.

Уравнения Максвелла в единицах СИ в *вакууме*
(для справки)
Имя	Дифференциальная форма
Закон Гаусса (в вакууме)	${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}}$
Закон Гаусса для магнетизма	${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {B} = 0}$
Уравнение Максвелла – Фарадея (закон индукции Фарадея)	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
Закон оборота Ампера (в вакууме) (с поправкой Максвелла)	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\$

Начиная с закона силы Лоренца
$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$
сила на единицу объема равна
$\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B}$
Далее, ρ и J могут быть заменены полями Е и В , используя закон Гаусса и циркуляционный закон Ампера :
$\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} \,$
Производную по времени можно переписать на нечто, что можно интерпретировать физически, а именно на вектор Пойнтинга . Использование правила произведения и закона индукции Фарадея дает
${\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\,$
и теперь мы можем переписать f как
$\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\epsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),$
тогда сбор членов с E и B дает
$\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).$
Кажется, что член "отсутствует" в симметрии в E и B , чего можно добиться, вставив (∇ ⋅ B ) B из-за закона Гаусса для магнетизма :
$\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).$
Устранение завитков (которые довольно сложно вычислить) с использованием тождества векторного исчисления
${\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,$
приводит к:
$\mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).$
Это выражение содержит все аспекты электромагнетизма и импульса, и его относительно легко вычислить. Его можно записать более компактно, введя тензор напряжений Максвелла :
$\sigma _{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right).$
Все, кроме последнего члена f, можно записать как тензорную дивергенцию тензора напряжений Максвелла, что дает:
$\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {f} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,$ ,
Как и в теореме Пойнтинга , второй член в правой части приведенного выше уравнения может быть интерпретирован как производная по времени от плотности импульса электромагнитного поля, в то время как первый член является производной по времени от плотности импульса для массивных частиц. Таким образом, указанное выше уравнение будет законом сохранения количества движения в классической электродинамике.
где введен вектор Пойнтинга
$\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .$

в приведенном выше соотношения для сохранения импульса, является плотность потока импульса и играет роль , аналогичную в теореме Пойнтинга . $\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}$ $\mathbf {S}$

Приведенный выше вывод предполагает полное знание как ρ, так и J (как свободных, так и ограниченных зарядов и токов). В случае нелинейных материалов (таких как магнитное железо с кривой BH) необходимо использовать нелинейный тензор напряжений Максвелла. ^[1]

Уравнение [ править ]

В физике , то тензор напряжений Максвелла тензор напряжений из электромагнитного поля . Как указано выше в единицах СИ , это определяется как:

\sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}

,

где ε ₀ - электрическая постоянная, μ ₀ - магнитная постоянная , E - электрическое поле , B - магнитное поле, а δ _ij - дельта Кронекера . В гауссовых единицах cgs это определяется как:

\sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)

,

где H - намагничивающее поле .

Альтернативный способ выражения этого тензора:

{\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]

где ⊗ - диадическое произведение , а последний тензор - единичная диада:

\mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} \right)

Элемент ij тензора напряжений Максвелла имеет единицы количества движения на единицу площади в единицу времени и дает поток количества движения, параллельный i- й оси, пересекающий поверхность, нормальную к j- й оси (в отрицательном направлении), в единицу времени. .

Эти единицы также можно рассматривать как единицы силы на единицу площади (отрицательное давление), и элемент ij тензора также можно интерпретировать как силу, параллельную i- й оси, которую испытывает поверхность, нормальная к j-й оси, на единицу площади. Действительно, диагональные элементы создают напряжение ( растяжение ), действующее на элемент дифференциальной площади, перпендикулярный соответствующей оси. В отличие от сил, создаваемых давлением идеального газа, элемент площади в электромагнитном поле также ощущает силу в направлении, не перпендикулярном элементу. Этот сдвиг задается недиагональными элементами тензора напряжений.

Только магнетизм [ править ]

Если поле является только магнитным (что в значительной степени верно, например, для двигателей), некоторые члены выпадают, и уравнение в единицах СИ становится:

\sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.

Для цилиндрических объектов, таких как ротор двигателя, это дополнительно упрощается до:

\sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{rt}\,.

где r - сдвиг в радиальном (наружу от цилиндра) направлении, а t - сдвиг в тангенциальном (вокруг цилиндра) направлении. Это тангенциальная сила, которая раскручивает двигатель. B _r - плотность потока в радиальном направлении, а B _t - плотность потока в тангенциальном направлении.

В электростатике [ править ]

В электростатике эффекты магнетизма отсутствуют. В этом случае магнитное поле обращается в нуль, и мы получаем электростатический тензор максвелловских напряжений . Он представлен в компонентной форме $\mathbf {B} =\mathbf {0}$

\sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}

и в символической форме

{\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I}

где - соответствующий тождественный тензор (обычно ). $\mathbf {I}$ $3\times 3$

Собственное значение [ править ]

Собственные значения тензора напряжений Максвелла имеют вид:

\{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}

Эти собственные значения получаются путем итеративного применения леммы о детерминанте матрицы в сочетании с формулой Шермана-Моррисона .

Отметив, что матрица характеристического уравнения , может быть записана как ${\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} }$

{\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}

куда

V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)

мы установили

\mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}

Применяя однажды лемму о детерминанте матрицы, мы получаем

\det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \right)}

Применение его снова дает,

\det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}

Из последнего множимого в правой части сразу видно, что это одно из собственных значений. $\lambda =-V$

Чтобы найти обратное , мы используем формулу Шермана-Моррисона: $\mathbf {U}$

\mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }}

Вынося слагаемое в определитель, нам остается найти нули рациональной функции: $\left(-\lambda -V\right)$

\left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)

Таким образом, как только мы решим

-\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0

получаем два других собственных значения.

См. Также [ править ]

Исчисление Риччи
Плотность энергии электрического и магнитного полей
Вектор Пойнтинга
Электромагнитный тензор энергии-напряжения
Магнитное давление
Сила магнитного натяжения

Ссылки [ править ]

^ Брауэра, Джон Р. (2014-01-13). Магнитные приводы и датчики . Джон Вили и сыновья. ISBN 9781118754979.

Дэвид Дж. Гриффитс , «Введение в электродинамику», стр. 351–352, Benjamin Cummings Inc., 2008 г.
Джон Дэвид Джексон, "Классическая электродинамика, 3-е изд.", John Wiley & Sons, Inc., 1999.
Ричард Беккер, «Электромагнитные поля и взаимодействия», Dover Publications Inc., 1964.

[1] Брауэра, Джон Р. (2014-01-13). Магнитные приводы и датчики . Джон Вили и сыновья. ISBN 9781118754979.