Исчисление Риччи

В математике , Риччи исчисление составляет правила индексного обозначения и манипулирования для тензоров и тензорных полей в риманове многообразия ^[а] . ^{[1] [2] [3]} Это также современное название того, что раньше называлось абсолютным дифференциальным исчислением (основа тензорного исчисления ), разработанного Грегорио Риччи-Курбастро в 1887–1896 годах и впоследствии популяризированного в статье написано вместе со своим учеником Туллио Леви-Чивита в 1900 году. ^[4] Ян Арнольдус Схоутенразработал современные обозначения и формализм для этой математической основы и внес вклад в теорию во время ее приложений к общей теории относительности и дифференциальной геометрии в начале двадцатого века. ^[5]

Компонент тензора - это действительное число , которое используется как коэффициент базисного элемента для тензорного пространства. Тензор - это сумма его компонентов, умноженная на соответствующие им базисные элементы. Тензорные и тензорные поля могут быть выражены через их компоненты, а операции над тензорами и тензорными полями могут быть выражены через операции над их компонентами. Описание тензорных полей и операций с ними в терминах их компонентов является основной темой исчисления Риччи. Эта запись позволяет эффективно выражать такие тензорные поля и операции. Хотя большая часть обозначений может применяться к любым тензорам, операции, относящиеся к дифференциальной структуреприменимы только к тензорным полям. При необходимости, обозначение распространяется на компоненты нетензоров, особенно на многомерные массивы .

Тензор может быть выражен в виде линейной суммы тензорного произведения из векторных и ковекторных базисных элементов. Полученные компоненты тензора помечаются индексами базиса. Каждый индекс имеет одно возможное значение для каждого измерения лежащего в основе векторного пространства . Количество индексов равно степени (или порядку) тензора.

Для компактности и удобства условное обозначение подразумевает суммирование по индексам, повторяющимся в пределах одного члена, и универсальную количественную оценку по свободным индексам. Выражения в обозначениях исчисления Риччи обычно можно интерпретировать как набор одновременных уравнений, связывающих компоненты как функции на многообразии, обычно более конкретно как функции координат на многообразии. Это позволяет интуитивно манипулировать выражениями при знакомстве только с ограниченным набором правил.

Обозначения для индексов [ править ]

Основные различия [ править ]

Координаты пространства и времени [ править ]

Если в четырехмерном пространстве-времени классической физики проводится различие между пространственно-подобными базисными элементами и временноподобным элементом, это обычно делается с помощью следующих индексов: ^[6]

• Строчный латинский алфавит a , b , c , ... используется для обозначения ограничения 3-мерным евклидовым пространством , которое принимает значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов; и времяподобный элемент, обозначенный 0, показан отдельно.
• Строчный греческий алфавит α , β , γ , ... используется для 4-мерного пространства - времени , которое обычно принимает значения 0 для компонентов времени и 1, 2, 3 для пространственных компонентов.

Некоторые источники используют 4 вместо 0 в качестве значения индекса, соответствующего времени; в этой статье используется 0. В противном случае в общих математических контекстах для индексов могут использоваться любые символы, обычно проходящие по всем измерениям векторного пространства.

Обозначение координат и индекса [ править ]

Автор (ы) обычно поясняет, предназначен ли подстрочный индекс как указатель или как метка.

Например, в трехмерном евклидовом пространстве и с использованием декартовых координат ; координат вектора = ( ₁ , ₂ , ₃ ) = ( _х , А _у , А _г ) показывает прямое соответствие между индексами 1, 2, 3 и метки х, y, z . В выражении A _i , i интерпретируется как индекс в диапазоне значений 1, 2, 3, в то время как x, y, zиндексы - это не индексы переменных, а скорее «имена» компонентов. В контексте пространства-времени значение индекса 0 условно соответствует метке t .

Ссылка на базу [ править ]

Индексы могут быть сами помечены с помощью диакритических -как символы, такие как шляпы (), бар (¯), тильды (~), или простые ( ') , как в:

${\displaystyle X_{\hat {\phi }}\,,Y_{\bar {\lambda }}\,,Z_{\tilde {\eta }}\,,T_{\mu '}}$

для обозначения возможной другой основы для этого индекса. Примером может служить преобразование Лоренца из одной системы отсчета в другую, где один кадр может быть без штриха, а другой с штрихом, как в:

${\displaystyle v^{\mu '}=v^{\nu }L_{\nu }{}^{\mu '}.}$

Это не следует путать с обозначением Ван-дер-Вардена для спиноров , в котором используются шляпки и избыточные точки на индексах, чтобы отразить хиральность спинора.

Верхний и нижний индексы [ править ]

Исчисление Риччи и индексная нотация в более общем смысле различают нижние индексы (нижние индексы) и верхние индексы (верхние индексы); последние не являются экспонентами, хотя могут показаться таковыми читателю, знакомому только с другими частями математики.

В особых случаях (когда метрический тензор всюду равен единичной матрице) можно отказаться от различия между верхними и нижними индексами, и тогда все индексы могут быть записаны в нижнем положении - координатные формулы в линейной алгебре, например, для произведение матриц иногда можно рассматривать как примеры этого - но в целом обозначения требуют, чтобы различие между верхними и нижними индексами соблюдалось и поддерживалось.${\displaystyle a_{ij}b_{jk}}$

Компоненты ковариантного тензора [ править ]

Более низкий индекс ( нижний индекс ) указывает ковариацию компонентов по отношению к этому индексу:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

Контравариантные компоненты тензора [ править ]

Верхний индекс (индекс) указывает контрвариацию компонентов по отношению к этому индексу:

${\displaystyle A^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

Компоненты тензора смешанной дисперсии [ править ]

Тензор может иметь как верхний, так и нижний индексы:

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma }{}^{\delta \cdots }.}$

Порядок индексов важен, даже если они отличаются друг от друга. Однако, когда понятно, что никакие индексы не будут повышаться или понижаться при сохранении базового символа, ковариантные индексы иногда помещаются ниже контравариантных индексов для удобства записи (например, с обобщенной дельтой Кронекера ).

Тип и степень тензора [ править ]

Число каждого верхнего и нижнего индексов тензора дает его тип : тензор с p верхними и q нижними индексами называется тензором типа ( p , q ) или тензором типа ( p , q ) .

Количество индексов тензора, независимо от дисперсии, называется степенью тензора (альтернативно, его валентностью , порядком или рангом , хотя ранг неоднозначен). Таким образом, тензор типа ( p , q ) имеет степень p + q .

Соглашение о суммировании [ править ]

Один и тот же символ, встречающийся дважды (один верхний и один нижний) в термине, указывает пару индексов, которые суммируются:

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\quad {\text{or}}\quad A^{\alpha }B_{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A^{\alpha }B_{\alpha }\,.}$

Операция, подразумеваемая таким суммированием, называется тензорным сжатием :

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\beta }\rightarrow A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\,.}$

Это суммирование может происходить более одного раза в пределах терма с отдельным символом для каждой пары индексов, например:

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,.}$

Другие комбинации повторяющихся индексов в термине считаются неправильно сформированными, например

${\displaystyle A_{\alpha \alpha }{}^{\gamma }\qquad }$	(оба вхождения ниже; было бы хорошо)${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\alpha \gamma }}$
${\displaystyle A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }}$	( встречается дважды как нижний индекс; или было бы хорошо).${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }}$${\displaystyle A_{\alpha \delta }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }}$

Причина исключения таких формул состоит в том, что, хотя эти величины могут быть вычислены как массивы чисел, они, как правило, не преобразуются как тензоры при изменении базиса.

Мультииндексная нотация [ править ]

Если у тензора есть список всех верхних или нижних индексов, одно сокращение должно использовать заглавную букву для списка: ^[7]

${\displaystyle A_{i_{1}\cdots i_{n}}B^{i_{1}\cdots i_{n}j_{1}\cdots j_{m}}C_{j_{1}\cdots j_{m}}\equiv A_{I}B^{IJ}C_{J}}$

где I = i ₁ i ₂ ⋅⋅⋅ i _n и J = j ₁ j ₂ ⋅⋅⋅ j _m .

Последовательное суммирование [ править ]

Пара вертикальных полос | | вокруг набора все верхних индексов или все нижних индексов, связанных с сокращением с другим набором индексов: ^[8]

${\displaystyle A_{|\alpha \beta \gamma |\cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{|\alpha \beta \gamma |\cdots }=\sum _{\alpha <\beta <\gamma }A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

означает ограниченную сумму по значениям индекса, где каждый индекс строго меньше следующего. Вертикальные полосы располагаются вокруг верхнего или нижнего набора сокращенных индексов, но не обоих наборов. Обычно при контракте индексов сумма складывается из всех значений. В этих обозначениях суммирование ограничено для удобства вычислений. Это полезно, когда выражение полностью антисимметрично в каждом из двух наборов индексов, что может произойти с тензорным произведением p -вектора на q -форму. Таким образом можно суммировать несколько групп, например:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{|\alpha \beta \gamma |}{}^{|\delta \epsilon \cdots \lambda |}B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda |\mu \nu \cdots \zeta |}C^{\mu \nu \cdots \zeta }\\[3pt]={}&\sum _{\alpha <\beta <\gamma }~\sum _{\delta <\epsilon <\cdots <\lambda }~\sum _{\mu <\nu <\cdots <\zeta }A_{\alpha \beta \gamma }{}^{\delta \epsilon \cdots \lambda }B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda \mu \nu \cdots \zeta }C^{\mu \nu \cdots \zeta }\end{aligned}}}$

При использовании многоиндексной записи под блоком индексов ставится нижняя строчка: ^[9]

${\displaystyle A_{\underset {\rightharpoondown }{P}}{}^{\underset {\rightharpoondown }{Q}}B^{P}{}_{Q{\underset {\rightharpoondown }{R}}}C^{R}=\sum _{\underset {\rightharpoondown }{P}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{Q}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{R}}A_{P}{}^{Q}B^{P}{}_{QR}C^{R}}$

куда

${\displaystyle {\underset {\rightharpoondown }{P}}=|\alpha \beta \gamma |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{Q}}=|\delta \epsilon \cdots \lambda |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{R}}=|\mu \nu \cdots \zeta |}$

Повышение и понижение индексов [ править ]

Сужая индекс с неособым метрическим тензором , можно изменить тип тензора, преобразовав нижний индекс в верхний или наоборот:

${\displaystyle B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }=g^{\gamma \alpha }A_{\alpha \beta \cdots }\quad {\text{and}}\quad A_{\alpha \beta \cdots }=g_{\alpha \gamma }B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }}$

Базовый символ во многих случаях сохраняется (например, с помощью A, где здесь появляется B ), и когда нет двусмысленности, изменение положения индекса может подразумевать эту операцию.

Корреляция между позициями индекса и инвариантностью [ править ]

В этой таблице показано, как манипулирование ковариантными и контравариантными индексами согласуется с инвариантностью при пассивном преобразовании между базами, при этом компоненты каждого базисного набора в терминах другого отражены в первом столбце. Индексы со штрихами относятся к окончательной системе координат после преобразования. ^[10]

Используется дельта Кронекера , см. Также ниже .

	Базовое преобразование	Преобразование компонентов	Инвариантность
Ковектор, ковариантный вектор, 1-форма	${\displaystyle e^{\bar {\alpha }}=L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }e^{\beta }}$	${\displaystyle a_{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}}$	${\displaystyle a_{\bar {\alpha }}e^{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }e^{\beta }=a_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }e^{\beta }=a_{\beta }e^{\beta }}$
Вектор, контравариантный вектор	${\displaystyle e_{\bar {\alpha }}=L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}e_{\gamma }}$	${\displaystyle a^{\bar {\alpha }}=a^{\beta }L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }}$	${\displaystyle a^{\bar {\alpha }}e_{\bar {\alpha }}=a^{\beta }L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}e_{\gamma }=a^{\beta }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }e_{\gamma }=a^{\gamma }e_{\gamma }}$

Общие принципы обозначения индексов и операций [ править ]

Тензоры равны тогда и только тогда, когда равны все соответствующие компоненты; например, тензор A равен тензору B тогда и только тогда, когда

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=B^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$

для всех α , β , γ . Следовательно, есть аспекты обозначений, которые полезны для проверки того, что уравнение имеет смысл (процедура, аналогичная анализу размерностей ).

Свободные и фиктивные индексы [ править ]

Индексы, не участвующие в сокращениях, называются свободными индексами . Индексы, используемые в сокращениях, называются фиктивными индексами или индексами суммирования .

Тензорное уравнение представляет собой множество обычных (действительных) уравнений [ править ]

Компоненты тензоров (например, A ^α , B _β ^γ и т. Д.) - это просто действительные числа. Поскольку индексы принимают различные целочисленные значения для выбора конкретных компонентов тензоров, одно тензорное уравнение представляет множество обычных уравнений. Если тензорное равенство имеет n свободных индексов и если размерность лежащего в основе векторного пространства равна m , равенство представляет m ⁿ уравнений: каждый индекс принимает каждое значение из определенного набора значений.

Например, если

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

имеет четыре измерения (то есть каждый индекс проходит от 0 до 3 или от 1 до 4), тогда, поскольку есть три свободных индекса ( α , β , δ ), получается 4 ³ = 64 уравнения. Три из них:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}C_{10}+A^{0}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}B_{0}{}^{3}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}B_{2}{}^{3}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{aligned}}}$

Это иллюстрирует компактность и эффективность использования индексной нотации: многие уравнения, которые имеют одинаковую структуру, могут быть собраны в одно простое тензорное уравнение.

Индексы - это сменные метки [ править ]

Замена любого индексного символа на другой оставляет тензорное уравнение без изменений (при условии, что нет конфликта с другими уже использованными символами). Это может быть полезно при манипулировании индексами, например при использовании индексной нотации для проверки тождеств векторного исчисления или тождеств дельты Кронекера и символа Леви-Чивиты (см. Также ниже). Пример правильного изменения:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,,}$

тогда как ошибочное изменение:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\nrightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,.}$

В первой замене λ заменил α, а μ заменил γ везде , поэтому выражение все еще имеет тот же смысл. Во втором случае λ не полностью заменил α , а μ не полностью заменил γ (кстати, сокращение индекса γ стало тензорным произведением), что совершенно несовместимо по причинам, указанным ниже.

Индексы одинаковы во всех терминах [ править ]

Свободные индексы в тензорном выражении всегда появляются в одном и том же (верхнем или нижнем) положении на протяжении каждого члена, а в тензорном уравнении свободные индексы одинаковы с каждой стороны. Фиктивные индексы (которые подразумевают суммирование по этому индексу) не обязательно должны быть одинаковыми, например:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\delta }E_{\beta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

что касается ошибочного выражения:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D_{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }E^{\delta }.}$

Другими словами, неповторяющиеся индексы должны быть одного типа в каждом члене уравнения. В приведенной выше идентичности α , β , δ выстраиваются в одну линию, а γ встречается дважды в одном члене из-за сокращения (один раз как верхний индекс и один раз как нижний индекс), и, таким образом, это правильное выражение. В недопустимом выражении, в то время как β выстраивается, α и δ нет, а γ появляется дважды в одном члене (сокращение) и один раз в другом члене, что несовместимо.

Скобки и пунктуация использовались один раз там, где это подразумевается [ править ]

При применении правила к ряду индексов (дифференциация, симметризация и т. Д., Показанные далее) скобки или знаки пунктуации, обозначающие правила, отображаются только в одной группе индексов, к которым они применяются.

Если в скобках заключены ковариантные индексы - правило применяется только ко всем ковариантным индексам, заключенным в скобки , а не к любым контравариантным индексам, которые случайно помещаются между скобками.

Точно так же, если в скобках заключены контравариантные индексы - правило применяется только ко всем заключенным контравариантным индексам , а не к ковариантным индексам, помещенным промежуточно.

Симметричные и антисимметричные детали [ править ]

Симметричная часть тензора [ править ]

Круглые скобки () вокруг нескольких индексов обозначают симметризованную часть тензора. При симметризации индексов p с использованием σ для пробега перестановок чисел от 1 до p , берется сумма перестановок этих индексов α _{σ ( i )} для i = 1, 2, 3,…, p , а затем делится на количество перестановок:

${\displaystyle A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.}$

Например, два симметричных индекса означают, что есть два индекса, которые нужно переставить и суммировать:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

в то время как для трех симметричных индексов необходимо суммировать и переставлять три индекса:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

Симметризация распределительна по сравнению с сложением;

${\displaystyle A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\right)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }}$

Индексы не являются частью симметризации, если они:

• например, не на одном уровне;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• в круглых скобках и между вертикальными полосами (т.е. | ⋅⋅⋅ |), изменяя предыдущий пример;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

Здесь индексы α и γ симметризованы, β - нет.

Антисимметричная или переменная часть тензора [ править ]

Квадратные скобки, [] , вокруг несколько индексов обозначают анти~d симметризованной часть тензора. Для p антисимметричных индексов берется сумма перестановок этих индексов α _{σ ( i ),} умноженная на сигнатуру перестановки sgn ( σ ) , а затем делится на количество перестановок:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}}$

где δβ 1 ⋅⋅⋅ β p
α 1 ⋅⋅⋅ α p- обобщенная дельта Кронекера степени 2 p с масштабированием, определенным ниже.

Например, два антисимметричных индекса означают:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

а три антисимметричных индекса означают:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

Что касается более конкретного примера, если F представляет собой электромагнитный тензор , то уравнение

${\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,}$

представляет закон Гаусса для магнетизма и закон индукции Фарадея .

Как и раньше, антисимметризация является распределительной по сравнению с сложением;

${\displaystyle A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }}$

Как и в случае симметризации, индексы не антисимметричны, если они:

• например, не на одном уровне;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• в квадратных скобках и между вертикальными полосами (т.е. | ⋅⋅⋅ |), изменяя предыдущий пример;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

Здесь индексы α и γ антисимметричны, β - нет.

Сумма симметричной и антисимметричной частей [ править ]

Любой тензор можно записать как сумму его симметричной и антисимметричной частей по двум индексам:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }}$

как можно увидеть, сложив приведенные выше выражения для A _{( αβ ) γ ⋅⋅⋅} и A _{[ αβ ] γ ⋅⋅⋅} . Это справедливо только для двух индексов.

Дифференциация [ править ]

Для компактности производные могут быть обозначены добавлением индексов после запятой или точки с запятой. ^{[11] [12]}

Частичная производная [ править ]

В то время как большинство выражений исчисления Риччи действительны для произвольных базисов, выражения, включающие частные производные компонентов тензора по координатам, применяются только с координатным базисом : базисом, который определяется посредством дифференцирования по координатам. Координаты обычно обозначаются x ^μ , но в общем случае не образуют компоненты вектора. В плоском пространстве-времени с линейной координатизацией набор разностей координат Δ x ^μ, можно рассматривать как контравариантный вектор. При тех же ограничениях на пространство и на выбор системы координат частные производные по координатам дают результат, который является эффективно ковариантным. Помимо использования в этом частном случае, частные производные компонентов тензоров полезны при построении ковариантных выражений, хотя и с координатным базисом, если частные производные используются явно, как с ковариантными производными и производными Ли ниже.

Чтобы указать частичное дифференцирование компонентов тензорного поля относительно координатной переменной x ^γ , перед нижним индексом координатной переменной ставится запятая .

${\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots ,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}}A_{\alpha \beta \cdots }}$

Это можно повторить (без добавления запятых):

${\displaystyle A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial ^{q-p}}{\partial x^{\alpha _{q}}\cdots \partial x^{\alpha _{p+2}}\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}}.}$

Эти компоненты не преобразуются ковариантно, если дифференцируемое выражение не является скаляром. Эта производная характеризуется правилом произведения и производными координат

${\displaystyle x^{\alpha }{}_{,\gamma }=\delta ^{\alpha }{}_{\gamma },}$

где δ - символ Кронекера .

Ковариантная производная [ править ]

Чтобы указать ковариантное дифференцирование любого тензорного поля, перед нижним (ковариантным) индексом ставится точка с запятой (  ; ). Менее распространенные альтернативы точке с запятой включают косую черту ( / ) ^[13] или в трехмерном искривленном пространстве одну вертикальную черту (  |  ). ^[14]

Для контравариантного вектора его ковариантная производная равна:

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{;\beta }=A^{\alpha }{}_{,\beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }}$

где Γ ^α _βγ - символ Кристоффеля второго рода.

Для ковариантного вектора его ковариантная производная:

${\displaystyle A_{\alpha ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }A_{\gamma }\,.}$

Для произвольного тензора: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma }&\\=T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&+\,\Gamma ^{\alpha _{1}}{}_{\delta \gamma }T^{\delta \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\cdots +\Gamma ^{\alpha _{r}}{}_{\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\delta }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&-\,\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{aligned}}}$

Компоненты этой производной тензорного поля ковариантно преобразуются и, следовательно, образуют другое тензорное поле. Эта производная характеризуется правилом произведения и в применении к метрическому тензору g _μν дает ноль:

${\displaystyle g_{\mu \nu ;\gamma }=0\,.}$

Ковариантная формулировка производной по направлению любого тензорного поля вдоль вектора v ^γ может быть выражена как ее сокращение с ковариантной производной, например:

${\displaystyle v^{\gamma }A_{\alpha ;\gamma }\,.}$

Одним из альтернативных обозначений ковариантной производной любого тензора является индексируемый символ набла ∇ _β . Для случая векторного поля A ^α : ^[16]

${\displaystyle \nabla _{\beta }A^{\alpha }={\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }.}$

Производная Ли [ править ]

Производная Ли - еще одна ковариантная производная, но ее не следует путать с ковариантной производной . Он определен даже в отсутствие метрического тензора. Производная Ли тензорного поля типа ( r , s ) T вдоль (потока) контравариантного векторного поля X ^ρ может быть выражена как ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }T^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\,.\end{aligned}}}$

Эта производная характеризуется правилом произведения и тем фактом, что производная данного контравариантного векторного поля X ^ρ равна нулю.

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}X)^{\rho }=[X,X]^{\rho }=0\,.}$

Производная Ли относительного тензорного поля Λ типа ( r , s ) веса w вдоль (потока) контравариантного векторного поля X ^ρ может быть выражена как ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}\Lambda )^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }\Lambda ^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }\Lambda ^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }\Lambda ^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}\Lambda ^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}\Lambda ^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\\&+\,wX^{\gamma }{}_{,\gamma }\Lambda ^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\,.\end{aligned}}}$

Известные тензоры [ править ]

Дельта Кронекера [ править ]

Дельта Кронекера подобна единичной матрице

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\beta }^{\alpha }\,A^{\beta }&=A^{\alpha }\\\delta _{\nu }^{\mu }\,B_{\mu }&=B_{\nu }\,\end{aligned}}}$

при умножении и сокращении. Компоненты δ^α
_βодни и те же в любом базисе и образуют инвариантную тензор типа (1, 1) , т.е. идентичности касательного расслоения над тождественным отображением на базовом многообразии , и поэтому ее след является инвариантом. ^[19] Его след - размерность пространства; например, в четырехмерном пространстве - времени ,

${\displaystyle \delta _{\rho }^{\rho }=\delta _{0}^{0}+\delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=4.}$

Дельта Кронекера - одна из семейства обобщенных дельт Кронекера. Обобщенная дельта Кронекера степени 2 p может быть определена в терминах дельты Кронекера следующим образом (общее определение включает дополнительный множитель p ! Справа):

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}=\delta _{\beta _{1}}^{[\alpha _{1}}\cdots \delta _{\beta _{p}}^{\alpha _{p}]}}$

и действует как антисимметризатор по индексам p :

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}\,A^{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]}.}$

Метрический тензор [ править ]

Метрический тензор g _αβ используется для понижения индексов и дает длину любой пространственно-подобной кривой

${\displaystyle {\text{length}}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

где γ - любая гладкая строго монотонная параметризация пути. Он также дает продолжительность любой временной кривой.

${\displaystyle {\text{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

где γ - любая гладкая строго монотонная параметризация траектории. См. Также линейный элемент .

Обратная матрица г ^αβ метрического тензора является еще одним важным тензором, используемым для повышения показателей:

${\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\,.}$

Тензор кривизны Римана [ править ]

Если этот тензор определяется как

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma ,\mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma ,\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,,}$

тогда это коммутатор ковариантной производной с самой собой: ^{[20] [21]}

${\displaystyle A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }\,,}$

так как соединение Г ^{& alpha ; В} _^ есть без кручения, что означает , что тензор кручения

${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }-\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \mu }\,}$

исчезает.

Это можно обобщить, чтобы получить коммутатор для двух ковариантных производных произвольного тензора следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}&T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\=-&R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\{}+{}&R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\,\end{aligned}}}$

которые часто называют тождествами Риччи . ^[22]

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Бишоп, РЛ ; Гольдберг, С.И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое издание Dover 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Дэниэлсон, Дональд А. (2003). Векторы и тензоры в технике и физике (2 / е изд.). Вествью (Персей). ISBN 978-0-8133-4080-7.
• Димитриенко, Юрий (2002). Тензорный анализ и нелинейные тензорные функции . Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
• Лавлок, Дэвид; Ханно Рунд (1989) [1975]. Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Дувр. ISBN 978-0-486-65840-7.
• К. Мёллер (1952), Теория относительности (3-е изд.), Oxford University Press
• Synge JL; Шильд А. (1949). Тензорное исчисление . первое издание Dover Publications 1978 года. ISBN 978-0-486-63612-2.
• JR Tyldesley (1975), Введение в тензорный анализ: для инженеров и ученых-прикладников , Longman, ISBN 0-582-44355-5
• DC Kay (1988), тензорное исчисление , контуры Шаума, McGraw Hill (США), ISBN 0-07-033484-6
• Т. Франкель (2012), Геометрия физики (3-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-1107-602601