Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В дифференциальной геометрии , то проблема Минковского , названный в честь Герман Минковский , просит для построения строго выпуклой компактной поверхности S , чья гауссова кривизна задана. [1] Точнее, входом в задачу является строго положительная вещественная функция ƒ, определенная на сфере, а поверхность, которая должна быть построена, должна иметь гауссову кривизну ƒ ( n ( x )) в точке x , где n ( x ) обозначает нормаль к S в  точке x. Эухенио Калаби заявил: «С геометрической точки зрения это [проблема Минковского] - это Розеттский камень , с помощью которого можно решить несколько связанных проблем». [2]

В полной общности задача Минковского требует наличия необходимых и достаточных условий для того, чтобы неотрицательная борелевская мера на единичной сфере S n-1 была мерой площади поверхности выпуклого тела в . Здесь мера площади поверхности S K выпуклого тела K является прямым следствием (n-1) -мерной меры Хаусдорфа, ограниченной границей K через отображение Гаусса . Проблема Минковского была решена Германом Минковским , Александром Даниловичем Александровым , Вернером Фенчелем и Бёрге Йессеном :[3] Борелевская мера μ на единичной сфере является мерой площади поверхности выпуклого тела тогда и только тогда, когда μ имеет центроид в начале координат и не сосредоточен на большой подсфере. Тогда выпуклое тело однозначно определяется по μ с точностью до сдвигов.

Проблема Минковского, несмотря на ее явное геометрическое происхождение, обнаруживается во многих местах. Проблема радиолокации легко сводится к проблеме Минковского в трехмерном евклидовом пространстве : восстановление выпуклой формы по заданной кривизне гауссовой поверхности. Обратная задача дифракции коротких волн сводится к задаче Минковского. Проблема Минковского является основой математической теории дифракции, а также физической теории дифракции.

В 1953 году Луи Ниренберг опубликовал решения двух давних открытых проблем, проблемы Вейля и проблемы Минковского в трехмерном евклидовом пространстве. Решение Л. Ниренбергом проблемы Минковского стало важной вехой в глобальной геометрии. Он был избран первым лауреатом медали Черна (в 2010 г.) за его роль в формулировке современной теории нелинейных эллиптических уравнений с частными производными, в частности, за решение проблемы Вейля и проблем Минковского в евклидовой системе 3- космос. [4]

А.В. Погорелов получил Государственную премию Украины (1973) за решение многомерной проблемы Минковского в евклидовых пространствах. Погорелов решил проблему Вейля в римановом пространстве в 1969 г. [5]

Совместная работа Shing-Tung Yau и Shiu-Yuen Cheng дает полное доказательство многомерной проблемы Минковского в евклидовых пространствах. Шинг-Тунг Яу получил медаль Филдса на Международном конгрессе математиков в Варшаве в 1982 году за свою работу в области глобальной дифференциальной геометрии и эллиптических уравнений в частных производных , в частности за решение таких сложных проблем, как гипотеза Калаби 1954 года и проблема Германа Минковского. в евклидовых пространствах относительно задачи Дирихле для вещественного уравнения Монжа – Ампера . [6]

Ссылки [ править ]

  1. Перейти ↑ Minkowski, H. (1903). "Volumen und Oberfläche" . Mathematische Annalen . 57 (4): 447–495. DOI : 10.1007 / BF01445180 .
  2. ^ Калаби, Эухенио (1979), "Обзор многомерной проблемы Минковского , Алексей Васильевич Погорелов", Бюллетень Американского математического общества , 1 : 636–639, DOI : 10.1090 / S0273-0979-1979-14645-7 , Руководство по ремонту 1567159 .
  3. ^ Шнайдер, Рольф (1993), Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского , Кембридж: Cambridge University Press
  4. ^ Ниренберг, Л. (1953). «Задачи Вейля и Минковского в дифференциальной геометрии в целом». Comm. Pure Appl. Математика . 6 (3): 337–394. DOI : 10.1002 / cpa.3160060303 . Руководство по ремонту 0058265 . 
  5. ^ Погорелов, А.В. (1979) многомерная проблема Минковского , Вашингтон: Scripta, ISBN 0470-99358-8 MR 0478079 
  6. ↑ Cheng, Shiu Yuen; Яу, Шинг Тунг (1976). «О регулярности решения n-мерной проблемы Минковского». Comm. Pure Appl. Математика. 29 (5): 495–516. DOI : 10.1002 / cpa.3160290504 .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Герберт Буземанн (1959) Проблемы Минковского и связанные с ними проблемы для выпуклых поверхностей с границами , Michigan Mathematical Journal 6: 259–66 MR 0108829 через Project Euclid