В математике (действительное) уравнение Монжа – Ампера - это нелинейное уравнение в частных производных второго порядка специального вида. Уравнение второго порядка для неизвестной функции у двух переменных х , у имеет тип Монжа-Ампера , если оно линейно в определителе из матрицы Гессе из U и в второго порядка в частных производных по ц . Независимые переменные ( х , у ) изменяются в течение заданного домена D из R 2. Этот термин также применяется к аналогичным уравнениям с n независимыми переменными. Наиболее полные результаты пока получены, когда уравнение является эллиптическим .
Уравнения Монжа – Ампера часто возникают в дифференциальной геометрии , например, в задачах Вейля и Минковского в дифференциальной геометрии поверхностей . Впервые они были изучены Гаспаром Монжем в 1784 году [1], а затем Андре-Мари Ампером в 1820 году. [2] Важные результаты в теории уравнений Монжа – Ампера были получены Сергеем Бернштейном , Алексеем Погореловым , Шарлем Фефферманом и Луи. Ниренберг .
Описание
Для двух независимых переменных x и y и одной зависимой переменной u общее уравнение Монжа – Ампера имеет вид
где A , B , C , D и E - функции, зависящие только от переменных первого порядка x , y , u , u x и u y .
Теорема Реллиха
Пусть Ω - ограниченная область в R 3 , и предположим, что на Ω A , B , C , D и E являются непрерывными функциями только от x и y . Рассмотрим задачу Дирихле, чтобы найти u так, чтобы
Если
то проблема Дирихле имеет не более двух решений. [3]
Результаты эллиптичности
Предположим теперь, что x - переменная со значениями в области в R n , а f ( x , u , Du ) - положительная функция. Тогда уравнение Монжа – Ампера
является нелинейным эллиптическим уравнением в частных производных (в том смысле, что его линеаризация является эллиптической), если ограничить внимание выпуклыми решениями.
Соответственно, оператор L удовлетворяет вариантам принципа максимума , и, в частности, решения задачи Дирихле единственны, если они существуют. [ необходима цитата ]
Приложения
Уравнения Монжа – Ампера естественным образом возникают в нескольких задачах римановой геометрии , конформной геометрии и CR-геометрии . Одно из самых простых приложений - проблема заданной гауссовой кривизны . Предположим, что действительная функция K задана в области Ω в R n , задача заданной кривизны Гаусса стремится идентифицировать гиперповерхность R n +1 как граф z = u ( x ) над x ∈ Ω, так что at кривизна Гаусса в каждой точке поверхности определяется как K ( x ). Получающееся уравнение в частных производных имеет вид
Уравнения Монжа – Ампера связаны с задачей оптимального массового транспорта Монжа – Канторовича , когда «стоимостной функционал» в ней задается евклидовым расстоянием. [4]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Монж, Гаспар (1784). "Mémoire sur le Calcul intégral des équations aux différences partielles". Mémoires de l'Académie des Sciences . Париж, Франция: Imprimerie Royale. С. 118–192.
- ^ Ампер, Андре-Мари (1819). Mémoire contenant l'application de la theorie Expée dans le XVII. e Cahier du Journal de l'École polytechnique, à l'intégration des équations aux différentielles partielles du premier et du second ordre . Париж: Королевская империя . Проверено 29 июня 2017 .
- ^ Courant, R .; Гильберт, Д. (1962). Методы математической физики . 2 . Издатели Interscience. п. 324.
- ^ Бенаму, Жан Давид; Ян Бренье (2000). "Вычислительная механика жидкости решение проблемы массопереноса Монжа-Канторовича". Numerische Mathematik . 84 (3): 375–393. DOI : 10.1007 / s002110050002 .
Дополнительные ссылки
- Гилбарг, Д., Трудингер, Н.С. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. Берлин: Springer-Verlag, 1983. ISBN 3-540-41160-7ISBN 978-3540411604
- А.В. Погорелов (2001) [1994], "Уравнение Монжа – Ампера" , Энциклопедия математики , EMS Press