Геодезическая выпуклость

Фактическая точность этой статьи оспаривается . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите обеспечить надежный источник спорных заявлений . ( Апрель 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике - в частности, в римановой геометрии - геодезическая выпуклость является естественным обобщением выпуклости множеств и функций на римановы многообразия . Обычно префикс «геодезический» опускают и относятся просто к «выпуклости» набора или функции.

Определения [ править ]

Пусть ( M ,  g ) - риманово многообразие.

• Подмножество C в M называется геодезически выпуклым множеством, если для любых двух точек в C существует единственная минимизирующая геодезическая, содержащаяся в C, которая соединяет эти две точки.
• Пусть С быть геодезический выпуклым подмножество М . Функция называется ( строго ) геодезически выпуклой функцией, если композиция${\ displaystyle f: C \ to \ mathbf {R}}$

${\ displaystyle f \ circ \ gamma: [0, T] \ to \ mathbf {R}}$

является (строго) функция выпукла в обычном смысле для каждой единичной скорости геодезической дуги γ  : [0,  T ] →  M , содержащегося в C .

Свойства [ править ]

• Геодезически выпуклое (подмножество a) риманово многообразие также является выпуклым метрическим пространством относительно геодезического расстояния.

Примеры [ править ]

• Подмножество n -мерного евклидова пространства E ⁿ с его обычной плоской метрикой является геодезически выпуклым тогда и только тогда, когда оно выпукло в обычном смысле, и аналогично для функций.
• «Северное полушарие» в 2-мерной сфере S ² с обычной метрикой геодезический выпуклым. Однако, подмножество из S ² , состоящие из точек с широтой дальше на севере , чем 45 ° южной широты является не геодезический выпукло, так как минимизируя геодезический ( большой круг ) дуги , соединяющие две различных точек на южной границе А листы А (например , в в случае двух точек, разнесенных по долготе на 180 ° , геодезическая дуга проходит над южным полюсом).

Ссылки [ править ]

• Рапчак, Тамаш (1997). Плавная нелинейная оптимизация в R ⁿ . Невыпуклая оптимизация и ее приложения. 19 . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4680-7. Руководство по ремонту  1480415 .

• Удристе, Константин (1994). Выпуклые функции и методы оптимизации на римановых многообразиях . Математика и ее приложения. 297 . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-3002-1.