Я понимаю, что римановы метрики — это не то же самое, что метрики расстояний, но определение выпуклости здесь почти такое же, как и в выпуклом метрическом пространстве (точнее, не основное определение там, а родственное, упомянутое в статье и использованное более явно, например, в инъективном метрическом пространстве , что любая пара точек может быть соединена изометрическим образом отрезка прямой). Должна ли быть более тесная связь между этими статьями? Слить, может быть? Или переименуйте эту статью в геодезическое метрическое пространство , обсудите в ней как нериманову, так и риманову метрику, проясните разницу между этим и понятием выпуклости, обсуждаемым в выпуклом метрическом пространстве , и свяжите статьи, которым нужна эта версия концепции, например,инъективное метрическое пространство , сюда, а не туда? - Дэвид Эппштейн 17:09, 8 августа 2007 г. (UTC)
Это не говорит о том, что геодезическая должна минимизировать расстояние между двумя заданными точками (т.е. длина дуги должна быть расстоянием между двумя точками). Не упоминается, разрешены ли другие геодезические (минимизирующие или нет), соединяющие две точки, и если они разрешены, должны ли они также полностью лежать внутри C .
Пример с «большим» диском A внутри S 2 имеет смысл только в том случае, если требуется, чтобы геодезические были минимизирующими.
В книге Chavel, Isaac (1993), «Риманова геометрия — современное введение », издательство Cambridge University Press .даются три различных определения:
Рассмотрим открытое северное полушарие S 2 . Он сильно выпуклый. Теперь добавьте две противоположные точки от экватора. Полученное множество является лишь слабо выпуклым. Замкнутое северное полушарие (включая весь экватор) не является даже слабовыпуклым.