Поверхность Морина

Поверхность Морина, вид сверху

Поверхность Морина, вид сбоку

выворот бумажной сферы и поверхность Морина

бумажная поверхность Морина (выворот сферы на полпути) с гексагональной симметрией

Поверхность Morin является наполовину моделью из сферы выворачивания обнаруженного Бернарда Morin . Он обладает четырехступенчатой вращательной симметрией .

Если исходная сфера, которую нужно вывернуть, имеет внешнюю поверхность, окрашенную в зеленый цвет, а внутреннюю - в красный, то, когда сфера посредством гомотопии преобразуется в поверхность Морина, половина видимой снаружи поверхности Морина будет зеленой, а половина - красной:

Половина поверхности Морина соответствует внешней стороне (зеленый цвет) сферы,
которой она гомеоморфна, а другая симметричная половина внутренней части (красная).

Затем поворот поверхности на 90 ° вокруг своей оси симметрии изменит ее цвета, т. Е. Поменяет внутреннюю и внешнюю полярность ориентируемой поверхности, так что повторение шагов гомотопии в точно таком же положении обратно к исходной сфере после того, как Повернутая таким образом поверхность Морина даст сферу, внешняя поверхность которой красная, а внутренняя - зеленая: сфера, вывернутая наизнанку. Ниже приводится краткое описание выворота:

1. сфера: зеленая снаружи, красная внутри ...
2. превращается в ...
3. поверхность Морена,
3 '. Поверхность Морина повернута на 90 ° ...
2 '. обратно превращается в ...
1 '. сфера: красный снаружи, зеленый внутри.

Структура поверхности Морина [ править ]

Поверхность Морина можно разделить на четыре равных четверти части. Эти разделы могут называться здесь восточным, южным, западным и северным разделами или, соответственно, разделом 0, разделом 1, разделом 2 и разделом 3.

Разрез к востоку от поверхности Морина.

Поверхность Морина имеет четвертую точку, через которую проходит ее ось симметрии. Эта четверная точка является начальной и конечной точкой шести линий двойных точек. Каждая четверть-секция ограничена тремя линиями двойных точек, так что каждая четверть-секция гомеоморфна треугольнику. Сечение Восток теперь показано схематично: На схеме показано сечение Востока, ограниченное тремя петлями: ABCDA, AEFGA и AHIJA. Третья петля, AHIJA, представляет собой линию двойных точек, где восточная часть пересекается сама с собой. Петля ABCDA - это только линия из двойных точек, когда восточная секция соединяется с западной секцией, а петля AEFGA - это только линия из двойных точек, когда восточная секция соединяется с южной секцией. Точка - это четверная точка, которая на самом деле является перекрытием четырех разных точек: A ₀ , A

₁ , А ₂ , А ₃ .

Вот так секция Восток соединяется с другими секциями: пусть каждая из ее ограничивающих петель определяется упорядоченной пятеркой точек, тогда

{\ displaystyle (A_ {1}, B, C, D, A_ {3}) = (A_ {1}, D '', C '', B '', A_ {3})}

{\ displaystyle (A_ {2}, E, F, G, A_ {3}) = (A_ {2}, H ', I', J ', A_ {3})}

(A_{1},H,I,J,A_{2})=(A_{1},E''',F''',G''',A_{2})

где точки без штрихов относятся к разделу 0 (восток), точки со штрихом относятся к разделу 1 (юг), точки с двумя штрихами относятся к разделу 2 (запад), а точки с тройными штрихами относятся к разделу 3 (север).

Остальные три петли соединяют секции следующим образом:

(A_{2},B',C',D',A_{0})=(A_{2},D''',C''',B''',A_{0})

(A_{3},E',F',G',A_{0})=(A_{3},H'',I'',J'',A_{0})

(A_{0},E'',F'',G'',A_{1})=(A_{0},H''',I''',J''',A_{1}).

Участок Восток, рассматриваемый сам по себе, имеет одну петлю двойных точек: АХИДЖА. Если поверхность размотать и сплющить, результат будет следующим: который гомеоморфен треугольнику:

Соединение четырех треугольных секций на их стыках даст тетраэдр : который гомеоморфен сфере, что показывает, что поверхность Морена является самопересекающейся сферой.

Галерея поверхностей Morin [ править ]

Четыре разных вида поверхности Морина: первые два показаны с вырезанными «проходными барьерами», последние два - виды «снизу».

Аналитическая поверхность Морина [ править ]

Поверхность Морина может быть элегантно описана системой уравнений ^[1] либо в открытой версии (с полюсами, направленными в бесконечность), либо в замкнутой.