В геометрии , минимаксные Выворачивании представляют собой класс Выворачивания сфер , построенное с использованием компромиссных моделей .
Это вариационный метод, состоящий из специальных гомотопий (это кратчайшие пути относительно энергии Уиллмора ); контрастирует с гофрами Терстона, которые носят общий характер.
Первоначальный метод промежуточных моделей не был оптимальным: обычные гомотопии проходили через промежуточные модели, но путь от круглой сферы к промежуточной модели строился вручную и не был градиентным подъемом / спуском.
Выворачивание через половинчатые модели Франсис и Морин называют выворачиванием табачного мешочка . [1]
Промежуточные модели
Модель на полпути - это погружение сферы в , который называется так, потому что он является средней точкой выворота сферы . Этот класс эверсий обладает временной симметрией: первая половина регулярной гомотопии переходит от стандартной круглой сферы к модели на полпути, а вторая половина (которая идет от модели на полпути к сфере наизнанку) является тот же процесс в обратном порядке.
Объяснение
Роб Куснер предложил оптимальные вывороты с использованием энергии Уиллмора в пространстве всех погружений сферы. в . Круглая сфера и вывернутая наизнанку круглая сфера являются уникальными глобальными минимумами энергии Уиллмора, а минимаксный выворот - это путь, соединяющий их, проходя через седловую точку (как путешествие между двумя долинами через горный перевал). [2]
Промежуточные модели Куснера - это седловые точки для энергии Уиллмора, возникающие (согласно теореме Брайанта) из некоторых полных минимальных поверхностей в 3-пространстве; Минимаксные вывороты состоят из градиентного подъема от круглой сферы к модели на полпути, затем градиентного спуска вниз (градиентный спуск для энергии Уиллмора называется потоком Уиллмора ). Более симметрично, начните с промежуточной модели; толкайте в одном направлении и следуйте за потоком Уиллмора вниз к круглой сфере; толкайте в противоположном направлении и следуйте за Уиллмором вниз к вывернутой наизнанку круглой сфере.
Есть два семейства половинчатых моделей (это наблюдение принадлежит Фрэнсису и Морину):
- нечетный порядок: обобщающая поверхность Мальчика : 3-х, 5-ти и т. д. симметрия; Модель на полпути представляет собой проективную плоскость с двойным покрытием (обычно 2-1 погруженная сфера).
- четный порядок: обобщающая поверхность Морина : 2-х, 4-х и т. д. симметрия; Модель на полпути - это, как правило, 1-1 погруженная сфера, и поворот на половину симметрии меняет местами листы сферы
История
Первый явный выворот сферы был сделан Шапиро и Филлипсом в начале 1960-х годов, когда поверхность Боя использовалась в качестве модели на полпути. Позже Морин открыл поверхность Морина и использовал ее для построения других вывернутых сфер. Куснер задумал минимаксные вывороты в начале 1980-х годов: исторические подробности .
Рекомендации
- ^ Дж. Скотт Картер (2012). Экскурсия по диаграммной алгебре: превращение сферы из красной в синюю . World Scientific. С. 17–. ISBN 978-981-4374-50-7.
- ^ Мишель Эммер (2005). Визуальный разум II . MIT Press. С. 485 -. ISBN 978-0-262-05076-0.