Коллектор Уайтхеда

Первые три тора конструкции многообразия Уайтхеда

В математике , то многообразие Уайтхеда является открытым 3-многообразием , что является сжимаемым , но не гомеоморфно к . Дж. Х. К. Уайтхед  ( 1935 ) обнаружил этот загадочный объект, когда пытался доказать гипотезу Пуанкаре , исправив ошибку в более ранней статье Уайтхеда (1934 , теорема 3), где он ошибочно утверждал, что такого многообразия не существует.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Сжимаемое многообразие - это такое многообразие, которое можно непрерывно сжимать до точки внутри самого многообразия. Например, открытый шар - это стягиваемое многообразие. Все многообразия, гомеоморфные шару, тоже стягиваемы. Можно спросить, все ли стягиваемые многообразия гомеоморфны шару. Для размеров 1 и 2 ответ классический - «да». В размерности 2 это следует, например, из теоремы об отображении Римана . Размерность 3 представляет первый контрпример : многообразие Уайтхеда. ^[1]

Строительство [ править ]

Возьмите копию , в трехмерной сфере . Теперь найдите внутри сферы компактный полноторий без узлов. (Полноценный тор - это обычный трехмерный бублик , т. Е. Заполненный тор , который топологически представляет собой круг, умноженный на круг .) Замкнутое дополнение полнотория внутри является другим полноторием.${\ Displaystyle S ^ {3}}$ ${\ displaystyle T_ {1}}$ ${\ Displaystyle S ^ {3}}$

Утолщенная ссылка Уайтхеда. В конструкции многообразия Уайтхеда синий (раскрученный) тор является трубчатой ​​окрестностью меридианной кривой , а оранжевый тор - . Все должно содержаться внутри .${\ displaystyle T_ {1}}$${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle T_ {1}}$

Теперь возьмите второй полноторие внутри так , что и трубчатая окрестность меридионального кривой является утолщенной Уайтхед ссылка .${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle T_ {1}}$${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle T_ {1}}$

Обратите внимание , что это стягиваемо в дополнении к меридиану . Это можно увидеть, рассматривая as и меридиональную кривую как ось z вместе с . У тора нулевое число намоток вокруг оси z . Отсюда вытекает необходимая нуль-гомотопия. Поскольку связь Уайтхеда является симметричной, т. Е. Гомеоморфизмом компонентов переключения 3-сфер, также верно, что меридиан также является гомотопным нулю в дополнении .${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle T_ {1}}$${\ Displaystyle S ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} \ чашка \ {\ infty \}}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle T_ {1}}$${\ displaystyle T_ {2}}$

Теперь вставьте внутрь так же, как лежит внутри , и так далее; до бесконечности. Определите W , континуум Уайтхеда , как пересечение всех for .${\ displaystyle T_ {3}}$${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle T_ {1}}$${\ displaystyle W = T _ {\ infty}}$${\ displaystyle T_ {k}}$${\ Displaystyle к = 1,2,3, \ точки}$

Многообразие Уайтхеда определяется как некомпактное многообразие без края. Из нашего предыдущего наблюдения, теоремы Гуревича , и теорема Уайтхеда о гомотопической эквивалентности, что X является сжимаемым. Фактически, более тщательный анализ результатов Мортона Брауна показывает это . Однако X не гомеоморфен . Причина в том, что это не просто связано на бесконечности .${\ Displaystyle X = S ^ {3} \ setminus W}$${\ Displaystyle X \ раз \ mathbb {R} \ cong \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Компактификация X с одной точкой - это пространство (с сжатым W в точку). Это не многообразие. Однако гомеоморфен .${\ Displaystyle S ^ {3} / W}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{3}/W\right)\times \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Дэвид Габай показал, что X - это объединение двух копий , пересечение которых также гомеоморфно . ^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Связанные темы [ править ]

Можно построить больше примеров открытых стягиваемых 3-многообразий, действуя аналогичным образом и выбирая различные вложения in в итерационном процессе. Каждое вложение должно быть полноторием без узлов в трехмерной сфере. Существенные свойства заключаются в том, что меридиан должен быть гомотопен нулю в дополнении , и, кроме того, долгота не должна быть гомотопной нулю в .${\displaystyle T_{i+1}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle T_{i+1}}$${\displaystyle T_{i+1}}$${\displaystyle T_{i}\setminus T_{i+1}}$

Другой вариант - выбрать несколько подторий на каждом этапе вместо одного. Конусы над некоторыми из этих континуумов выглядят как дополнения ручек Кассона в 4-шаре.

Пространство собачьей кости не является многообразием, но его произведение на гомеоморфно .${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

См. Также [ править ]

• Список топологий

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Кирби, Робион (1989). Топология 4-многообразий . Конспект лекций по математике, вып. 1374, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-51148-1.
• Рольфсен, Дейл (2003), «Раздел 3.J.8.», Узлы и ссылки , AMS Chelsea Publishing, стр. 82, ISBN 978-0821834367
• Уайтхед, JHC (1934), «Некоторые теоремы о трехмерных многообразиях (I)», Quarterly Journal of Mathematics , 5 (1): 308–320, Bibcode : 1934QJMat ... 5..308W , doi : 10.1093 / qmath /os-5.1.308
• Уайтхед, JHC (1935), «Определенное открытое многообразие, группа которого является единицей», Quarterly Journal of Mathematics , 6 (1): 268–279, Bibcode : 1935QJMat ... 6..268W , doi : 10.1093 / qmath / os -6.1.268