В математике , то гавайский серьги это топологическое пространство определяется объединением окружностей в евклидовой плоскости с центром и радиус для наделен топологией подпространства :
Космос это гомеоморфный к одноточечной компактификации объединения счетного семейства непересекающихся открытых интервалов .
Гавайские серьги являются одномерным , компактным , локально линейно связным метрическим пространством. Хотя локально гомеоморфен во всех точках, не являющихся исходными, не полулокально односвязна в. Следовательно,не имеет односвязного покрывающего пространства и обычно приводится как простейший пример пространства с таким усложнением.
Гавайская серьга очень похожа на сумму клинков счетного бесконечного числа кругов; то есть роза с бесконечным числом лепестков, но эти два пространства не гомеоморфны. Разница между их топологиями видна в том факте, что в гавайской серьге каждая открытая окрестность точки пересечения окружностей содержит все, кроме конечного числа окружностей ( ε- шар вокруг (0, 0) содержит все окружности радиус которых меньше ε / 2 ); в розе окрестность точки пересечения может не содержать полностью ни одной из окружностей. Вдобавок роза не компактна: дополнение выделенной точки представляет собой бесконечное объединение открытых интервалов; к ним добавьте небольшую открытую окрестность выделенной точки, чтобы получить открытое покрытие без конечного подпокрытия.
Фундаментальная группа
Гавайская серьга не является ни односвязной, ни полулокально односвязной, поскольку для всех петля параметризация n- го круга не гомотопна тривиальному циклу. Таким образом,имеет нетривиальную фундаментальную группу иногда их называют гавайской группой серег . Группа гавайских серегбесчисленное множество, и это не свободная группа. Тем не мение, локально свободна в том смысле, что любая конечно порожденная подгруппа группы это бесплатно.
Гомотопические классы индивидуальных петель создать бесплатную группу на счетно бесконечном числе образующих, образующем собственную подгруппу . Бесчисленное множество других элементоввозникают из петель, изображение которых не содержится в конечном числе кругов гавайской серьги; на самом деле некоторые из них сюръективны. Например, путь, который на отрезкесовершает обход n- го круга. В более общем смысле можно образовать бесконечное количество произведений петель индексируется по любому счетному линейному порядку при условии, что для каждого , петля и его обратная сторона появляется в произведении только конечное число раз.
Это результат работы Джона Моргана и Яна Моррисона, вкладывается в обратный предел свободных групп с n образующими,, где карта связи из к просто убивает последний генератор . Тем не мение, является собственной подгруппой обратного предела, поскольку каждая петля в может пересечь каждый круг только конечное число раз. Пример элемента обратного предела, не соответствующего элементу является бесконечным произведением коммутаторов , которая формально выглядит как последовательность в обратном пределе .
Первые особые гомологии
Кааяся Эда и Kazuhiro КАВАМУР доказали , что abelianisation изи, следовательно, первая группа особых гомологий изоморфна группе
Первое слагаемое является прямым произведением бесконечного числа копий бесконечной циклической группы ( группы Бэра – Шпекера ). Этот множитель представляет особые классы гомологий петель, не имеющих числа витков вокруг каждого круга и является первой группой сингулярных гомологий Чеха . Кроме того,можно рассматривать в качестве бесконечной абелианизации из, поскольку каждый элемент ядра естественного гомоморфизма представляет собой бесконечное произведение коммутаторов. Второе слагаемое состоит из классов гомологии, представленных петлями, число витков которых вокруг каждого круга равен нулю, т.е. ядро естественного гомоморфизма . Существование изоморфизма с доказывается абстрактно с помощью теории бесконечных абелевых групп и не имеет геометрической интерпретации.
Высшие измерения
Известно, что является асферическим пространством , т. е. все высшие гомотопические и гомологические группы тривиальны.
Гавайские серьги можно обобщить на более высокие размеры. Такое обобщение было использовано Майклом Барраттом и Джоном Милнором для получения примеров компактных конечномерных пространств с нетривиальными сингулярными группами гомологий в размерностях, превышающих размерность пространства. В-размерная гавайская серьга определяется как
Следовательно, представляет собой счетное объединение k -сфер, имеющих одну общую точку, а топология задается метрикой, в которой диаметры сферы сходятся к нулю как В качестве альтернативы, может быть построена как компактификация Александрова счетного объединения непересекающихсяс. Рекурсивно получается, что состоит из сходящейся последовательности, это настоящая гавайская серьга, и гомеоморфно редуцированной подвеске .
Для , то -размерная гавайская серьга - компактная, -связанный и локально-подключен . Для, известно, что изоморфна группе Бэра – Шпекера
Для а также Баррат и Милнор показали, что группа особых гомологий является нетривиальной несчетной группой для каждого такого. [1]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Барратт, Майкл; Милнор, Джон (1962). «Пример аномальных сингулярных гомологий» . Труды Американского математического общества . 13 (2): 293–297. DOI : 10.1090 / s0002-9939-1962-0137110-9 . Руководство по ремонту 0137110 .
дальнейшее чтение
- Кэннон, Джеймс У .; Коннер, Грегори Р. (2000), "Большая фундаментальная группа, большие Гавайские серьги, и большие свободные группы", Топология и ее приложение , 106 (3): 273-291, DOI : 10.1016 / S0166-8641 (99) 00104-2 , Руководство по ремонту 1775710.
- Коннер, Грегори; Спенсер, К. (2005), "поведение Аномального Гавайской серьги группы", Журнал теории групп , 8 (2): 223-227, DOI : 10,1515 / jgth.2005.8.2.223 , МР 2126731.
- Еда, Кацуя (2002), «Фундаментальные группы одномерных диких пространств и гавайская серьга» (PDF) , Труды Американского математического общества , 130 (5): 1515–1522, DOI : 10.1090 / S0002-9939- 01-06431-0 , Руководство по ремонту 1879978.
- Эда, Кацуя ; Kawamura, Kazuhiro (2000), "сингулярные гавайской серьги", журнал Лондонского математического общества , 62 (1): 305-310, DOI : 10.1112 / S0024610700001071 , MR 1772189.
- Фабель, Пол (2005), «Топологическая гавайская группа серег не вкладывается в обратный предел свободных групп», Алгебраическая и геометрическая топология , 5 (4): 1585–1587, arXiv : math / 0501482 , Bibcode : 2005math .. .... 1482F , DOI : 10,2140 / agt.2005.5.1585 , MR 2186111.
- Морган, Джон В .; Morrison, Ян (1986), "Теорема ван Кампена для слабых объединений", Труды Лондонского математического общества , 53 (3): 562-576, DOI : 10,1112 / ПНИЛ / s3-53.3.562 , MR 0868459.