Полу-локально односвязный

Эта статья требует внимания специалиста по математике . Конкретная проблема: кажется, слишком техническая для неспециалиста. WikiProject Mathematics может помочь нанять эксперта. ( Июнь 2020 г. )

В математике , в частности в алгебраической топологии , полулокально односвязное условие - это определенное условие локальной связности , возникающее в теории накрывающих пространств . Грубо говоря, топологическое пространство X является пол-локально односвязным , если есть нижняя граница размеров «дыры» в X . Это условие является необходимым для большинства из теории накрывающих пространств, в том числе существования универсального накрытия и соответствия Галуа между накрытиями и подгруппами в фундаментальных группы .

Большинство «хороших» пространств, таких как многообразия и комплексы CW , полулокально односвязны, а топологические пространства, не удовлетворяющие этому условию, считаются в некоторой степени патологическими . Стандартный пример нелокально односвязного пространства - гавайская серьга .

Определение [ править ]

Пространство X называется полу-локально односвязной , если каждая точка в X имеет окрестность U со свойством , что каждая петля в U может быть контракт с одной точки в X (т.е. каждый цикл в U является nullhomotopic в X ). Окрестность U не обязательно должна быть односвязной : хотя каждая петля в U должна быть стягиваемой внутри X , сжатие не обязательно должно происходить внутри U. По этой причине пространство может быть полу-локально односвязным, но не локально односвязным (см. # Примеры ).

Эквивалент этого определения, пространство X является полом-локально односвязным , если каждая точка X имеет окрестность U , для которого гомоморфизм из фундаментальной группы из U фундаментальной группы X , индуцированной с помощью включения отображения из U в X , тривиально.

Большинство основных теорем о покрывающих пространствах , включая существование универсального покрытия и соответствие Галуа, требуют, чтобы пространство было линейно связным , локально линейно связным и полулокально односвязным - условие, известное как непетлевое ( делаемое в Французкий язык). ^[1] В частности, это условие необходимо для того, чтобы пространство имело односвязное накрывающее пространство.

Примеры [ править ]

Гавайский серьги не пол-локально односвязный.

Простой примером пространства , который не является пол-локально односвязно является Гавайской серьга : объединение из окружностей в евклидовой плоскости с центрами (1 / п , 0) и радиусами 1 / п для п натурального числа . Придайте этому пространству топологию подпространства . Тогда все окрестности начала координат содержат круги , не гомотопные нулю .

Гавайская серьга также может быть использована для построения полулокально односвязного пространства, которое не является локально односвязным . В частности, конус на гавайской серьге стягиваемый и, следовательно, полулокально односвязный, но явно не локально односвязный.

Топология фундаментальной группы [ править ]

С точки зрения естественной топологии фундаментальной группы, локально линейно-связное пространство полулокально односвязно тогда и только тогда, когда его квазитопологическая фундаментальная группа дискретна. ^{[ необходима цитата ]}

Ссылки [ править ]

• Бурбаки, Николас (2016). Topologie algébrique: Chapitres 1 à 4 . Springer. Гл. IV с. 339-480. ISBN 978-3662493601.
• JS Calcut, JD McCarthy Дискретность и однородность топологической фундаментальной группы Topology Proceedings, Vol. 34, (2009), стр. 339–349.
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-79540-0.