Нерв покрова

Построение нерва открытой хорошей крышки, содержащей 3 набора в плоскости.

В топологии , то нерв открытого покрытия является построением абстрактного симплициального комплекса из открытого покрытия из более топологического пространства X , который захватывает многие из интересных топологических свойств в алгоритмическом или комбинаторном пути. Он был введен Павлом Александровым ^[1] и теперь имеет множество вариантов и обобщений, в том числе чешский нерв покрытия, которое, в свою очередь, обобщается гиперпокрытиями . ^[2]

Определение Александрова [ править ]

Пусть X - топологическое пространство. Позвольте быть индексным набором . Пусть семейство индексируется из открытых подмножеств в X : . Нерв из представляет собой набор конечных подмножеств индекса-множество . Он содержит все конечные подмножества, такие что пересечение U _i , субиндексы которого находятся в J , непусто:${\ displaystyle I}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle C = \ lbrace U_ {i}: я \ in I \ rbrace}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J \ substeq I}$

N ( C ): = ${\ displaystyle {\ bigg \ {} J: J \ substeq I ~~~ {\ text {and}} ~~~ \ bigcap _ {j \ in J} U_ {j} \ neq \ varnothing {\ bigg \} }}$

N ( C ) может содержать синглтоны (элементы i в таком, что U _i не пусто), пары (пары элементов i, j в таких, что U _i пересекает U _j ), тройки и так далее. Если J принадлежит N (C) , то любое его подмножество также находится в N (C) . Поэтому N (C) представляет собой абстрактный симплициальный комплекс , и его часто называют нерв комплекс из C .${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle I}$

Примеры [ править ]

1. Пусть X - окружность S ¹ и C = { U ₁ , U ₂ }, где U ₁ - дуга, покрывающая верхнюю половину S ^1, а U ₂ - дуга, покрывающая ее нижнюю половину, с некоторым перекрытием с обеих сторон. (они должны перекрываться с обеих сторон, чтобы покрыть всю площадь S ¹ ). Тогда N (C) = {{1}, {2}, {1,2}}, что является абстрактным 1-симплексом.

2. Пусть X - окружность S ¹ и C = { U ₁ , U ₂ , U ₃ }, где каждый U _i - дуга, покрывающая одну треть S ¹ , с некоторым перекрытием со смежным U _i . Тогда N (C) = {{1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {3,1}}. Обратите внимание, что {1,2,3} не входит в N ( C ), поскольку общее пересечение всех трех множеств пусто.

Чешский нерв [ править ]

Учитывая открытое покрытие топологического пространства или, в более общем смысле, покрытие в узле, мы можем рассматривать попарные расслоенные произведения , которые в случае топологического пространства являются в точности пересечениями . Совокупность всех таких пересечений можно называть, а тройные пересечения - как .${\ Displaystyle C = \ {U_ {i}: я \ in I \}}$${\ displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle C\times _{X}C}$${\displaystyle C\times _{X}C\times _{X}C}$

Рассматривая естественные отображения и , мы можем построить симплициальный объект, определяемый n-кратным послойным произведением. Это чешский нерв. ^[3]${\displaystyle U_{ij}\to U_{i}}$${\displaystyle U_{i}\to U_{ii}}$ ${\displaystyle S(C)_{\bullet }}$${\displaystyle S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C}$

Принимая компоненты связности мы получаем симплициальное множество , которое мы можем реализовать топологически: .${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$

Теоремы о нервах [ править ]

В целом, комплекс N ( С ) потребность не отражает топологию X точно. Например, мы можем покрыть любую n -сферу двумя стягиваемыми множествами U ₁ и U _2, которые имеют непустое пересечение, как в примере 1 выше. В этом случае N (C) представляет собой абстрактный 1-симплекс, который похож на линию, но не на сферу.

Однако, в некоторых случаях N ( C ) действительно отражает топологию X . Например, если окружность покрыта тремя открытыми дугами, попарно пересекающимися, как в примере 2 выше, то N ( C ) является 2-симплексом (без его внутренней части) и гомотопически эквивалентен исходной окружности.

^[4]

Теорема нерва (или нерв лемма ) является теоремой , которая дает достаточные условия на C , гарантирующие , что Н ( С ) отражает, в некотором смысле, топологию X .

Основная теорема нерва Леря говорит , что, если пересечение множеств в N (C) является сжимаемым (эквивалентно: для каждого конечного множества либо пусто , либо сжимаемым, что то же самое: С является хорошим открытым покрытие )${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$ , то N ( С ) является гомотопически эквивалентно , чтобы X . ^[5]

Другой нерв теорема относится к нерву Чеха выше: если компактно и все пересечения множеств в C стягиваемы или пусты, то пространство является гомотопический эквивалентно с . ^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$${\displaystyle X}$

Теорема о гомологическом нерве [ править ]

Следующая теорема о нерве использует группы гомологий пересечений множеств в покрытии. ^[7] для каждого конечного , обозначит на J -е снижения гомологии группы .${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle H_{J,j}:={\tilde {H}}_{j}(\bigcap _{i\in J}U_{i})=}$${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

Если H _{J, j} - тривиальная группа для всех J в k -скелете N ( C ) и для всех j в {0, ..., k -dim ( J )}, то N ( C ) является "гомологиями -эквивалентно X в следующем смысле:

• ${\displaystyle {\tilde {H}}_{j}(N(C))\cong {\tilde {H}}_{j}(X)}$для всех j в {0, ..., k };
• если тогда .${\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(N(C))\not \cong 0}$${\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(X)\not \cong 0}$

См. Также [ править ]

• Гиперпокрытие

Ссылки [ править ]