Гиперпокрытие

В математике , и в частности в теории гомотопий , гиперпокрытие (или гиперпокрытие) - это симплициальный объект, который обобщает чешский нерв покрытия . Для Чеха нерва открытой крышки , можно показать , что если пространство компактно и , если каждое пересечение открытых множеств в крышке стягивается, то можно заключить контракт этих наборов и получить симплициальное множество, слабо эквивалентен в естественном способ. Для эталонной топологии и других сайтов эти условия не выполняются. Идея гиперпокрытия состоит в том, чтобы вместо работы только с -кратными пересечениями множеств данного открытого покрытия разрешить попарные пересечения множеств в${\ displaystyle {\ mathcal {U}} \ to X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} = {\ mathcal {U}} _ {0}}$быть покрытым открытой крышкой , и позволить тройным пересечениям этого покрытия быть покрытым еще одной открытой крышкой , и так далее, итеративно. Гиперпокрытия играют центральную роль в этальной гомотопии и других областях, где теория гомотопий применяется к алгебраической геометрии , таких как теория мотивной гомотопии .${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {1}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {2}}$

Формальное определение [ править ]

Первоначальное определение дано для этальной когомологий от Жан-Луи Вердье в SGA4 , Разоблачи V, гл. 7, чт. 7.4.1, для вычисления когомологий пучков в произвольных топологиях Гротендика. Для эталонного сайта определение следующее:

Позвольте быть схемой и рассмотрим категорию схем étale над . Hypercover симплициальный объект этой категории таким образом, что является этальной покрытие и таким образом, что это этальная крышка для каждого .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U _ {\ bullet}}$${\ displaystyle U_ {0} \ to X}$${\ displaystyle U_ {n + 1} \ to (\ operatorname {cosk} _ {n} \ operatorname {sk} _ {n} U _ {\ bullet}) _ {n + 1}}$${\ Displaystyle п \ geq 0}$

Здесь - предел диаграммы, которая имеет по одной копии для каждой -мерной грани стандартного -симплекса (для ) и по одному морфизму для каждого включения граней. Морфизмы задаются граничными отображениями симплициального объекта .${\ displaystyle (\ operatorname {cosk} _ {n} \ operatorname {sk} _ {n} U _ {\ bullet}) _ {n + 1}}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle n + 1}$${\ Displaystyle 0 \ Leq я \ Leq п}$${\ displaystyle U _ {\ bullet}}$

Свойства [ править ]

Теорема Вердье о гиперпокрытии утверждает, что когомологии абелевых пучков этального пучка могут быть вычислены как копредел когомологий коцепей по всем гиперпокрытиям.

Для локально нётеровой схемы категория гиперпокрытий по модулю симплициальной гомотопии является кофильтрующей и, таким образом, дает про-объект в гомотопической категории симплициальных множеств. Геометрическая реализация этого - гомотопический тип Артина-Мазура . Обобщение Э. Фридлендера, использующее бисимплициальные гиперпокрытия симплициальных схем, называется этальным топологическим типом.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle HR (X)}$

Ссылки [ править ]

• Артин, Майкл; Мазур, Барри (1969). Etale гомотопия . Springer.
• Фридлендер, Эрик (1982). Этальная гомотопия симплициальных схем . Анналы математических исследований, ПУП.
• Конспект лекций Дж. Куик « Этальная гомотопическая лекция 2 ».
• Гиперпокрытие в nLab