Континуум (топология)

В математической области точечного множества топологии , A континуум (множественное число: «континуумами») представляет собой непустое компактное связное метрическое пространство , или, реже, компактное связное хаусдорфово пространство . Теория континуума - это раздел топологии, посвященный изучению континуумов.

Определения [ править ]

• Континуум, содержащий более одной точки, называется невырожденным .
• Подмножество континуума X таким образом, что сам по себе представляет собой непрерывный процесс называется подконтинуум из X . Пространство гомеоморфно подконтинуумом в евклидовой плоскости R ² называется плоский континуум .
• Континуум Х является однородным , если для любых двух точек х и у в X , существует гомеоморфизм час : Х → Х такое , что ч ( х ) = у .
• Ивановский континуум представляет собой непрерывный процесс, который локально подключен в каждой точке.
• Неразложим континуум представляет собой непрерывный процесс, который не может быть представлен в виде объединения двух собственных подконтинуумов. Континуум X является наследственно неразложим , если каждый подконтинуум X неразложим.
• Размер континуума обычно означает его топологическую размерность . Одномерный континуум часто называют кривой .

Примеры [ править ]

• Дуга представляет собой пространство гомеоморфно на замкнутом интервале [0,1]. Если ч : [0,1] → X есть гомеоморфизм и ч (0) = р и ч (1) = д , то р и д называются конечными точками из X ; также говорят, что X - дуга от p до q . Дуга - это самый простой и наиболее известный тип континуума. Он одномерный, линейно связный и локально связный.
• В синусоиду тополога в это подмножество плоскости , что это объединение графика функции F ( х ) = sin (1 / х ), 0 < х ≤ 1 с сегментом -1 ≤ у ≤ 1 из Y - ось. Это одномерный континуум, который не связан дугово и локально не связан в точках вдоль оси y .
• Круг Варшавы получается «закрытие» на синусоидальном кривой топологе в дуге , соединяющей (0, -1) и (1, Sin (1)). Это одномерный континуум, все гомотопические группы которого тривиальны, но это не стягиваемое пространство .

Варшавский круг

• П -клетка пространство гомеоморфно замкнутому шара в евклидовом пространстве R ^п . Он стягиваем и представляет собой простейший пример n- мерного континуума.
• П -сферы пространство гомеоморфно стандартной н-сферы в ( п + 1) n - мерном евклидовом пространстве. Это n- мерный однородный континуум, который не стягивается и, следовательно, отличается от n -клетки.
• Гильберта куб является бесконечномерным континуум.
• Соленоиды являются одними из простейших примеров неразложимых однородных континуумов. Они не связаны ни линейно, ни локально.
• Ковер Серпинского , также известный как универсальной кривой Серпинского , является одномерным плоской Пеано континуума , который содержит топологический образ любого одномерного плоского континуума.
• Псевдо-дуга является однородным наследственно неразложим плоским континуумом.

Свойства [ править ]

Есть два основных метода построения континуумов с помощью вложенных пересечений и обратных пределов .

• Если { Х _п } является вложенным семейством континуумов, т.е. Х _п ⊇ Х _{п + 1} , то их пересечение представляет собой непрерывный процесс .

• Если {( X _n , f _n )} является обратной последовательностью континуумов X _n , называемых координатными пространствами , вместе с непрерывными отображениями f _n : X _{n +1} → X _n , называемыми связующими картами , то ее обратный предел является континуум.

Конечное или счетное произведение континуумов - это континуум.

См. Также [ править ]

• Линейный континуум
• Губка менгера
• Теория формы (математика)

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Сэм Б. Надлер-младший, Теория континуума. Введение . Чистая и прикладная математика, Марсель Деккер. ISBN  0-8247-8659-9 .

Внешние ссылки [ править ]

• Открытые проблемы теории континуума
• Примеры в теории континуума
• Теория континуума и топологическая динамика , М. Бардж и Дж. Кеннеди, в открытых проблемах топологии, Дж. Ван Милл и Г. М. Рид (редакторы), Elsevier Science Publishers BV (Северная Голландия), 1990.
• Гиперпространство