Неразложимый континуум

Первые четыре этапа построения ручки ковша как предела серии вложенных перекрестков.

В точке посаженные топологии , неразложимое континуум представляет собой континуум , который неразложимое, т.е. не может быть выражено как объединение любых двух из его надлежащего подконтинуумов. В 1910 году Л. Дж. Брауэр был первым, кто описал неразложимый континуум.

Неразложимые континуумы использовались топологами как источник контрпримеров . Они также встречаются в динамических системах .

Определения [ править ]

Континуум непустое компактное связное метрическое пространство . Дуга, n- сфера и куб Гильберта являются примерами линейно связанных континуумов; на синусоида тополога в и Варшаве круг являются примерами , не подключенный путем континуумов. Подконтинуум континуума является замкнутым, связное подмножество . Пространство невырождено, если оно не равно одной точке. Континуум является разложимым , если существуют два подконтинуумов и из таких , что и ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C '}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle A \ neq C}$ ${\ Displaystyle B \ neq C}$ но . Неразложимый континуум - это неразложимый континуум . Континуум, в котором каждый субконтинуум неразложим, называется наследственно неразложимым . Composant неразложимого континуума является максимальное множество , в котором любые две точки лежат в пределах некоторого собственного подконтинуум . Континуум является неприводимым между и , если и не собственно подконтинуум не содержит обе точки. Неразложимый континуум неприводим между любыми двумя своими точками. ^[1] ${\ Displaystyle A \ чашка B = C}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle c '}$ ${\ displaystyle c, c '\ in C}$

История [ править ]

Пятый этап озер Вада

В 1910 году Л. Дж. Брауэр описал неразложимый континуум, который опроверг гипотезу Артура Морица Шенфлиса о том, что совместная граница двух открытых, связанных, непересекающихся множеств в является объединением двух замкнутых связанных собственных подмножеств. ^[2] Зигмунт Янишевский описал больше таких неразложимых континуумов, включая вариант ручки ведра. Янишевский, однако, сосредоточил внимание на несводимости этих континуумов. В 1917 году Кунидзо Йонеяма описал озера Вада (названные в честь Такео Вада ), общая граница которых неразложима. В 1920-х годах неразложимые континуумы начали изучать Варшавская математическая школа в $\mathbb {R} ^{2}$ Fundamenta Mathematicae ради самих себя, а не в качестве патологических контрпримеров. Стефан Мазуркевич был первым, кто дал определение неразложимости. В 1922 году Бронислав Кнастер описал псевдодугу , первый найденный пример наследственно неразложимого континуума. ^[3]

Пример ручки ковша [ править ]

Неразложимые континуумы часто строятся как предел последовательности вложенных пересечений или (в более общем смысле) как обратный предел последовательности континуумов. Ручка ведра, или континуум Брауэра – Янишевского – Кнастера, часто используется как простейший пример неразложимого континуума и может быть сконструирован таким образом (см. Верхний правый). С другой стороны , взять трехкомпонентное множество Кантора проецируется на отрезку из оси х в плоскости. Пусть - семейство полукругов над -осью с центром и концами на (симметрично относительно этой точки). Позвольте быть семейство полукругов ниже -оси с центром в середине интервала и с концами в ${\mathcal {C}}$ $[0,1]$ $x$ ${\mathcal {C}}_{0}$ $x$ $(1/2,0)$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}_{1}$ $x$ $[2/3,1]$ ${\mathcal {C}}\cap [2/3,1]$ . Позвольте быть семейство полукругов ниже -оси с центром в середине интервала и с концами в . Тогда объединение всего такого и есть ручка ведра. ^[4] ${\mathcal {C}}_{i}$ $x$ $[2/3^{i},3/3^{i}]$ ${\mathcal {C}}\cap [2/3^{i},3/3^{i}]$ ${\mathcal {C}}_{i}$

Ручка ведра не допускает трансверсали Бореля, то есть не существует набора Бореля, содержащего ровно одну точку от каждого композитора.

Свойства [ править ]

В некотором смысле «большинство» континуумов неразложимы. Пусть быть -клетка с метрикой , множество всех непустых замкнутых подмножеств , и гиперпространство всех подключенных членов , оснащенных с метрикой Хаусдорфа определяется . Тогда множество невырожденных неразложимых подконтинуумов является плотными в . $M$ n {\displaystyle n} $d$ $2^{M}$ $M$ $C(M)$ $2^{M}$ $H_{d}$ $H_{d}(A,B)=\max\{\sup\{d(a,B):a\in A\},\sup\{d(b,A):b\in B\}\}$ $M$ $C(M)$

В динамических системах [ править ]

В 1932 году Джордж Биркгоф описал свою «замечательную замкнутую кривую» - гомеоморфизм кольца, содержащего инвариантный континуум. Мари Шарпантье показала, что этот континуум был неразложимым, первым звеном от неразложимых континуумов к динамическим системам. Инвариантным набором некоторого отображения подковы Смейла является ручка ведра. Марси Бардж и другие активно изучали неразложимые континуумы в динамических системах. ^[5]

См. Также [ править ]

Неразложимость
Озера Вада , три открытых подмножества плоскости, граница которой является неразложимым континуумом
Соленоид
Ковер Серпинского

Ссылки [ править ]

^ Надлер, Сэм (2017). Теория континуума: введение . CRC Press. ISBN 9781351990530.
^ Брауэр, LEJ (1910), "Цур анализ Situs" (PDF) , Mathematische Annalen , 68 (3): 422-434, DOI : 10.1007 / BF01475781
^ Кук, Ховард; Инграм, Уильям Т .; Куперберг, Кристина; Лелек, Андрей; Минц, Петр (1995). Continua: С Хьюстонской Проблемной Книгой . CRC Press. п. 103. ISBN 9780824796501.
^ Ингрэм, WT; Махавьер, Уильям С. (2011). Обратные ограничения: от континуа к хаосу . Springer Science & Business Media. п. 16. ISBN 9781461417972.
Перейти ↑ Kennedy, Judy (1 декабря 1993). «Как неразложимые континуумы возникают в динамических системах». Летопись Нью-Йоркской академии наук . 704 (1): 180–201. DOI : 10.1111 / j.1749-6632.1993.tb52522.x . ISSN 1749-6632 .

Внешние ссылки [ править ]

Солецкий, С. (2002). «Дескриптивная теория множеств в топологии». В Гушеке, М .; Ван Милл, Дж. (ред.). Последние достижения в общей топологии II . Эльзевир. С. 506–508. ISBN 978-0-444-50980-2.
Кассельман, Билл (2014), «О обложке» (PDF) , Уведомления AMS , 61 : 610, 676объясняет картину Брауэра его неразложимого континуума, которая появляется на передней обложке журнала.

[1] Надлер, Сэм (2017). Теория континуума: введение . CRC Press. ISBN 9781351990530.

[2] Брауэр, LEJ (1910), "Цур анализ Situs" (PDF) , Mathematische Annalen , 68 (3): 422-434, DOI : 10.1007 / BF01475781

[3] Кук, Ховард; Инграм, Уильям Т .; Куперберг, Кристина; Лелек, Андрей; Минц, Петр (1995). Continua: С Хьюстонской Проблемной Книгой . CRC Press. п. 103. ISBN 9780824796501.

[4] Ингрэм, WT; Махавьер, Уильям С. (2011). Обратные ограничения: от континуа к хаосу . Springer Science & Business Media. п. 16. ISBN 9781461417972.

[5] Перейти ↑ Kennedy, Judy (1 декабря 1993). «Как неразложимые континуумы возникают в динамических системах». Летопись Нью-Йоркской академии наук . 704 (1): 180–201. DOI : 10.1111 / j.1749-6632.1993.tb52522.x . ISSN 1749-6632 .

[1]