Озера Вада

В математике , в озерахе Вада (和田の湖, Вада не mizuumi ) являются три непересекающимися соединены открытыми множества на плоскости или открытого единичный квадрат с противоречащим свойством , что все они имеют ту же границу . Другими словами, для любой точки, выбранной на границе одного из озер, границы двух других озер также содержат эту точку.

Говорят, что более двух наборов с одинаковой границей обладают свойством Wada ; Примеры включают бассейны Вада в динамических системах . Это свойство редко встречается в реальных системах.

Озера Вада были представлены Кунидзо Йонеямой  ( 1917 , стр. 60), который приписал открытие Такео Вада . Его конструкция аналогична конструкции по Брауэру (1910) в качестве неразложимого континуума , а на самом деле это возможно общая граница трех множеств неразложимого континуума.

Строительство озер Вада [ править ]

Первые пять этапов озер Вада

Озера Вада образуются, начиная с замкнутой единичной площади суши, а затем выкапывая 3 озера в соответствии со следующим правилом:

• В день n = 1, 2, 3, ... расширьте озеро n по модулю 3 (= 0, 1, 2) так, чтобы оно было открытым и соединенным, и проходило на расстоянии 1 / n от всей оставшейся суши. Это нужно сделать так, чтобы оставшаяся суша оставалась гомеоморфной замкнутому единичному квадрату.

Спустя бесконечное количество дней три озера по-прежнему остаются непересекающимися связанными открытыми множествами, а оставшаяся суша является границей каждого из трех озер.

Например, первые пять дней могут быть (см. Изображение справа):

1. Dig синее озеро шириной 1/3 , проходящего в пределах √ 2 /3 всей суши.
2. Dig красного озера ширина 1/3 ² проходит в пределах √ 2 /3 ² всей суши.
3. Dig зеленого озера ширина 1/3 ³ проходит в пределах √ 2 /3 ³ всей суши.
4. Продлить голубое озеро по каналу шириной 1/3 ⁴ проходит в пределах √ 2 /3 ⁴ всей суши. (Маленький канал соединяет тонкое голубое озеро с толстым около середины изображения.)
5. Продлить красное озеро на канале шириной 1/3 ⁵ проходит внутри √ 2 /3 ⁵ всей сухой земли. (Крошечный канал соединяет тонкое красное озеро с толстым в левом верхнем углу изображения.)

Вариант этой конструкции может создать счетное бесконечное количество связанных озер с одной и той же границей: вместо того, чтобы расширять озера в порядке 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ...., расширить их в порядке 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, ... и так далее.

Бассейны Вада [ править ]

Вада бассейны притяжения для z ³ - 1 = 0; все три несвязанных открытых бассейна имеют одну и ту же границу

Бассейны Вада - это особые бассейны притяжения, изучаемые математикой нелинейных систем. Бассейн, обладающий свойством, что каждая окрестность каждой точки на границе этого бассейна пересекает по крайней мере три бассейна, называется бассейном Вада или, как говорят, обладает свойством Вада . В отличие от озер Вада, бассейны Вада часто разъединены.

Пример бассейнов Вада дается методом Ньютона – Рафсона, примененным к кубическому многочлену с различными корнями, например, z ³ - 1; увидеть картинку.

Физическая система, демонстрирующая бассейны Вада, представляет собой картину отражений между тремя соприкасающимися сферами - см. Хаотическое рассеяние .

Бассейны Вада в теории хаоса [ править ]

В теории хаоса бассейны Вада возникают очень часто. Обычно свойство Wada можно увидеть в области притяжения диссипативных динамических систем. Но бассейны выхода гамильтоновой системы также могут демонстрировать свойство Вада. В контексте хаотического рассеяния систем с множественным выходом бассейн выхода демонстрирует свойство Wada. MAF Sanjuán et al. ^[1] показали, что в системе Энон-Хейлес бассейны выхода обладают этим свойством Вада.

Ссылки [ править ]

• Бребан, Ромул; Нуссе, Х. Э. (2005), «О создании бассейнов Вада на интервальных картах через бифуркацию касательной с фиксированной точкой» , Physica D , 207 (1-2): 52–63, Bibcode : 2005PhyD..207 ... 52B , DOI : 10.1016 / j.physd.2005.05.012
• Брауэр, LEJ (1910), "Zur анализ Situs" (PDF) , Mathematische Annalen , 68 (3): 422-434, DOI : 10.1007 / BF01475781
• Куден, Ив (2006), «Изображения гиперболических динамических систем» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 53 (1): 8–13, ISSN  0002-9920 , MR  2189945
• Gelbaum, Bernard R .; Олмстед, Джон MH (2003), Контрпримеры в анализе , Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 0-486-42875-3 пример 10.13
• Хокинг, JG; Янг, Г.С. (1988), Топология , Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 144 , ISBN 0-486-65676-4
• Кеннеди, Дж; Yorke, JA (1991), "Бассейны Вада", Physica D , 51 (1-3): 213-225, Bibcode : 1991PhyD ... 51..213K , DOI : 10,1016 / 0167-2789 (91) 90234- Z
• Sweet, D .; Ott, E .; Йорк, Дж. А. (1999), "Сложная топология в хаотическом рассеянии: лабораторное наблюдение", Nature , 399 (6734): 315, Bibcode : 1999Natur.399..315S , doi : 10.1038 / 20573
• Ёнеяма, Кунидзо (1917), «Теория непрерывного множества точек» , Математический журнал Тохоку , 12 : 43–158

Внешние ссылки [ править ]

• Экспериментальная реализация бассейнов Вада (с фотографиями)
• Знакомство с бассейнами Вада и собственностью Вада
• Отражающие сферы бесконечности: фракталы бассейна Вада
• Бассейны Wada: рендеринг хаотического рассеяния