Аттрактор

В математической области динамических систем аттрактор представляет собой набор состояний, к которым система имеет тенденцию развиваться ^[2] для самых разных начальных условий системы. Системные значения, которые становятся достаточно близкими к значениям аттрактора, остаются близкими, даже если они слегка возмущены.

В конечномерных системах эволюционирующая переменная может быть представлена алгебраически как n -мерный вектор . Аттрактор представляет собой область в n - мерном пространстве . В физических системах n измерений могут быть , например, двумя или тремя позиционными координатами для каждого из одного или нескольких физических объектов; в экономических системах они могут быть отдельными переменными, такими как уровень инфляции и уровень безработицы .

Если эволюционирующая переменная является двух- или трехмерной, аттрактор динамического процесса может быть представлен геометрически в двух или трех измерениях (как, например, в трехмерном случае, изображенном справа). Аттрактор может быть точкой , конечным набором точек, кривой , многообразием или даже сложным набором с фрактальной структурой, известным как странный аттрактор (см. странный аттрактор ниже). Если переменная является скаляром , аттрактор является подмножеством действительной числовой прямой. Описание аттракторов хаотических динамических систем явилось одним из достижений теории хаоса .

Траектория динамической системы в аттракторе не должна удовлетворять никаким специальным ограничениям, кроме как оставаться на аттракторе вперед во времени. Траектория может быть периодической или хаотической . Если набор точек является периодическим или хаотическим, но поток в окрестности находится вдали от набора, набор не является аттрактором, а вместо этого называется репеллером (или репеллером ).

Динамическая система обычно описывается одним или несколькими дифференциальными или разностными уравнениями . Уравнения данной динамической системы определяют ее поведение в течение любого заданного короткого периода времени. Чтобы определить поведение системы в течение более длительного периода, часто необходимо интегрировать уравнения либо с помощью аналитических средств, либо путем итерации , часто с помощью компьютеров.

Динамические системы в физическом мире имеют тенденцию возникать из диссипативных систем : если бы не какая-то движущая сила, движение прекратилось бы. (Рассеивание может быть вызвано внутренним трением , термодинамическими потерями или потерей материала среди многих причин.) Рассеивание и движущая сила имеют тенденцию уравновешиваться, подавляя начальные переходные процессы и приводя систему к ее типичному поведению. Подмножество фазового пространства динамической системы, соответствующее типичному поведению, является аттрактором , также известным как притягивающая секция или аттрактант.

Визуальное представление странного аттрактора . ^[1] Еще одна визуализация того же 3D-аттрактора — это видео .

Цикл притяжения периода-3 и его непосредственный бассейн притяжения при определенной параметризации f ( z ) =  z ²  +  c . Три самые темные точки - это точки 3-цикла, которые последовательно ведут друг к другу, и итерация из любой точки в бассейне притяжения приводит к (обычно асимптотической) сходимости к этой последовательности из трех точек.

Слабо притягивающая неподвижная точка для комплексного числа, эволюционирующего по комплексному квадратичному многочлену . Фазовое пространство представляет собой горизонтальную комплексную плоскость; вертикальная ось измеряет частоту посещения точек комплексной плоскости. Точка на комплексной плоскости непосредственно под пиковой частотой является аттрактором фиксированной точки.

Фазовый портрет Ван дер Поля : привлекательный предельный цикл

График странного аттрактора Лоренца для значений  ρ  = 28,  σ  = 10,  β  = 8/3

Бифуркационная диаграмма логистической карты . Аттрактор(ы) для любого значения параметра r показаны на ординате в области . Цвет точки показывает, как часто точка посещается в течение 10 ⁶ итераций: часто встречающиеся значения окрашены в синий цвет, менее часто встречающиеся значения — в желтый. Бифуркация появляется вокруг , вторая бифуркация (приводящая к четырем значениям аттрактора) вокруг . Поведение становится все более сложным для , чередующимся с областями более простого поведения (белые полосы).${\displaystyle 0<x<1}$${\displaystyle (r,x)}$${\displaystyle r\approx 3.0}$${\displaystyle r\approx 3.5}$${\displaystyle r>3.6}$

Бассейны притяжения на комплексной плоскости для использования метода Ньютона для решения x ⁵  − 1 = 0. Точки в областях одинакового цвета соответствуют одному и тому же корню; темнее означает, что для сходимости требуется больше итераций.