Генератор Ван дер Поля

Фазовый портрет ненагруженного осциллятора Ван-дер-Поля, показывающий предельный цикл и поле направления

Эволюция предельного цикла на фазовой плоскости. Предельный цикл начинается с круга и с изменением μ становится все более острым. Пример генератора релаксации .

В динамике , то Ван - дер - Поля является неконсервативная осциллятор с нелинейным затуханием . Он эволюционирует во времени согласно дифференциальному уравнению второго порядка :

${\ displaystyle {d ^ {2} x \ over dt ^ {2}} - \ mu (1-x ^ {2}) {dx \ over dt} + x = 0,}$

где x - координата положения, которая является функцией времени t , а μ - скалярный параметр, указывающий на нелинейность и силу демпфирования.

История [ править ]

Генератор Ван дер Поля был первоначально предложен голландским инженером-электриком и физиком Бальтазаром ван дер Полем, когда он работал в Philips . ^[1] Ван дер Поль обнаружил устойчивые колебания ^[2], которые он впоследствии назвал релаксационными колебаниями ^[3] и теперь известны как тип предельного цикла в электрических цепях, использующих вакуумные лампы . Когда эти схемы были приведены в действие около предельного цикла , они увлекаются , то есть управляющий сигналтянет за собой ток. Ван дер Поль и его коллега ван дер Марк сообщили в сентябрьском выпуске журнала Nature за 1927 год ^[4], что на определенных частотах возбуждения слышен нерегулярный шум , который позже был обнаружен как результат детерминированного хаоса . ^[5]

Уравнение Ван дер Поля давно используется как в физических, так и в биологических науках . Например, в биологии Фитцхью ^[6] и Нагумо ^[7] расширили уравнение в плоском поле как модель для потенциалов действия нейронов . Уравнение также используется в сейсмологии для моделирования двух пластин в геологическом разломе , ^[8] и в исследованиях звучания для моделирования правого и левых голосовых складка осцилляторов. ^[9]

Двумерная форма [ править ]

Теорема Льенара может быть использована для доказательства того, что система имеет предельный цикл. Применяя преобразование Льенара , где точка указывает производную по времени, осциллятор Ван-дер-Поля можно записать в его двумерной форме: ^[10]${\ displaystyle y = xx ^ {3} / 3 - {\ dot {x}} / \ mu}$

${\ displaystyle {\ dot {x}} = \ mu \ left (x - {\ tfrac {1} {3}} x ^ {3} -y \ right)}$

${\ displaystyle {\ dot {y}} = {\ frac {1} {\ mu}} x}$.

Другая часто используемая форма, основанная на преобразовании, приводит к:${\ displaystyle y = {\ dot {x}}}$

${\ displaystyle {\ dot {x}} = y}$

${\ displaystyle {\ dot {y}} = \ mu (1-x ^ {2}) yx}$.

Результаты для необязательного осциллятора [ править ]

Два интересных режима для характеристик ненастроенного осциллятора: ^[11]

• Когда μ = 0, т. Е. Нет функции демпфирования, уравнение принимает следующий вид:

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+x=0.}$

Это форма простого гармонического осциллятора , и всегда существует закон сохранения энергии .

• Когда μ > 0, система войдет в предельный цикл. Вблизи начала координат x  =  dx / dt  = 0 система неустойчива, а вдали от начала координат система затухает.
• Осциллятор Ван дер Поля не имеет точного аналитического решения. ^[12] Однако такое решение действительно существует для предельного цикла, если f (x) в уравнении Льенара является постоянной кусочной функцией.

Гамильтониан осциллятора Ван дер Поля [ править ]

Можно также написать не зависящий от времени гамильтонов формализм для осциллятора Ван дер Поля, расширив его до четырехмерной автономной динамической системы, используя вспомогательное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка следующим образом:

${\displaystyle {\ddot {x}}-\mu (1-x^{2}){\dot {x}}+x=0,}$

${\displaystyle {\ddot {y}}+\mu (1-x^{2}){\dot {y}}+y=0.}$

Обратите внимание, что динамика исходного осциллятора Ван-дер-Поля не изменяется из-за односторонней связи между временными изменениями переменных x и y . Можно показать, что гамильтониан H для этой системы уравнений имеет вид ^[13]

${\displaystyle H(x,y,p_{x},p_{y})=p_{x}p_{y}+xy-\mu (1-x^{2})yp_{y},}$

где и - сопряженные импульсы, соответствующие x и y соответственно. В принципе, это может привести к квантованию осциллятора Ван-дер-Поля. Такой гамильтонова также соединяет ^[14] в геометрическую фазу системы предельного цикла , имеющую зависимые временные параметры с углом Ханного соответствующей системы Гамильтон.${\displaystyle p_{x}={\dot {y}}+\mu (1-x^{2})y}$${\displaystyle p_{y}={\dot {x}}}$

Принудительный осциллятор Ван дер Поля [ править ]

Принудительный или ведомый осциллятор Ван дер Поля берет `` исходную '' функцию и добавляет управляющую функцию A sin ( ωt ), чтобы получить дифференциальное уравнение вида:

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x-A\sin(\omega t)=0,}$

где это амплитуда , либо смещение , от волновой функции и ω является его угловой скоростью .

Популярная культура [ править ]

Автор Джеймс Глейк описал ламповый осциллятор Ван дер Поля в своей книге 1987 года « Хаос: создание новой науки» . ^[16] Согласно статье в New York Times , ^[17] Глейк получил современный электронный осциллятор Ван дер Поля от читателя в 1988 году.

См. Также [ править ]

• Мэри Картрайт , британский математик, одна из первых изучила теорию детерминированного хаоса, особенно применительно к этому осциллятору. ^[18]

• Квантовый осциллятор Ван-дер-Поля, который является квантовой версией классического осциллятора Ван-дер-Поля, был предложен с использованием уравнения Линдблада для изучения его квантовой динамики и квантовой синхронизации . ^[19] Обратите внимание, что вышеупомянутый гамильтонов подход с вспомогательным уравнением второго порядка дает неограниченные траектории в фазовом пространстве и, следовательно, не может использоваться для квантования осциллятора Ван-дер-Поля. В пределе слабой нелинейности (т. Е. Μ → 0) осциллятор Ван-дер-Поля сводится к уравнению Стюарта-Ландау. Фактически уравнение Стюарта-Ландау описывает целый класс осцилляторов с предельным циклом в слабонелинейном пределе. Форма классического уравнения Стюарта-Ландау намного проще, и, возможно, неудивительно, что его можно квантовать уравнением Линдблада, которое также проще, чем уравнение Линдблада для осциллятора Ван-дер-Поля. Квантовая модель Стюарта-Ландау сыграла важную роль в исследовании квантовой синхронизации ^{[20] [21]} (где ее часто называют осциллятором Ван-дер-Поля, хотя ее нельзя однозначно связать с осциллятором Ван-дер-Поля). Связь между классической моделью Стюарта-Ландау ( μ → 0) и более общими осцилляторами предельного цикла (произвольные μ) также было продемонстрировано численно в соответствующих квантовых моделях. ^[19]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Уравнение Ван дер Поля" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Осциллятор Ван дер Поля в Scholarpedia
• Интерактивные демонстрации осциллятора Ван дер Поля