Хаотическое рассеяние

Chaotic рассеяние является филиалом теории хаоса , занимающейся рассеивающих систем , демонстрирующих сильную чувствительность к начальным условиям . В классической системе рассеяния будет один или несколько параметров воздействия , б , в которой частица отправляется в рассеивателя. Это приводит к появлению одного или нескольких выходных параметров y , когда частица покидает бесконечность. В то время как частица обходе системы, также может быть время задержки , Т -The времени, необходимым для частицы для выхода из системы в дополнении к пройденному расстоянию, с, что в некоторых системах, т. е. в «биллиардных» системах, в которых частица претерпевает столкновения без потерь с твердыми неподвижными объектами, эти два будут эквивалентны - см. ниже. В хаотической системе рассеяния мельчайшее изменение прицельного параметра может вызвать очень большое изменение выходных параметров.

Система Гаспара – Райса [ править ]

Рис. 1: Схема системы рассеяния Гаспара – Райса, показывающая основные параметры.

Прекрасным примером системы является система рассеяния "Гаспара-Райса" (ОТО) ^[1], также известная просто как система "трех дисков", которая воплощает многие важные концепции хаотического рассеяния, будучи простой и легкой для понимания и моделировать. Идея очень проста: у нас есть три жестких диска, расположенных в некоторой треугольной формации, точечная частица отправляется внутрь и совершает идеальные, упругие столкновения, пока не улетит в бесконечность. В этом обсуждении мы будем рассматривать только системы ОТО с дисками одинакового размера, равномерно расположенными вокруг точек равностороннего треугольника.

Рисунок 1 иллюстрирует эту систему, а Рисунок 2 показывает два примера траекторий. Во-первых, обратите внимание, что траектории колеблются вокруг системы в течение некоторого времени, прежде чем окончательно уйти. Также обратите внимание, что если мы рассматриваем параметры удара как начало двух идеально горизонтальных линий слева (система полностью обратима: точка выхода также может быть точкой входа), две траектории изначально настолько близки, чтобы быть почти идентичны. К моменту выхода они совершенно другие, что свидетельствует о сильной чувствительности к начальным условиям. Эта система будет использоваться в качестве примера на протяжении всей статьи.

Рис. 2: Система рассеяния Гаспара – Райса, демонстрирующая чувствительность к начальным условиям.

Скорость распада [ править ]

Если мы введем большое количество частиц с равномерно распределенными прицельными параметрами, скорость, с которой они покидают систему, известна как скорость распада. Мы можем вычислить скорость распада путем моделирования системы в течение многих испытаний и формирование гистограммы времени задержки, T . Для системы ОТО легко видеть, что время задержки и длина траектории частицы эквивалентны, но для коэффициента умножения. Типичным выбором для прицельного параметра является координата y , в то время как угол траектории поддерживается постоянным на уровне нуля градусов - по горизонтали. Между тем, мы говорим, что частица «вышла из системы», когда она пересекает границу на некотором произвольном, но достаточно большом расстоянии от центра системы.

Мы ожидаем, что количество частиц, остающихся в системе, N (T) , будет изменяться следующим образом:

${\ Displaystyle N (T) \ sim e ^ {- \ gamma T}}$

Таким образом, скорость распада , , определяется как:${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} - {\ frac {\ ln N (T)} {T}}}$

где n - общее количество частиц.^[2]

На рисунке 3 показан график зависимости длины пути от числа частиц для моделирования одного миллиона (1e6) частиц, запущенных со случайным прицельным параметром b . Накладывается подогнанная прямая с отрицательным наклоном . Длина пути s эквивалентна времени затухания T при условии, что мы соответствующим образом масштабируем (постоянную) скорость. Обратите внимание, что экспоненциальная скорость затухания - это особенность гиперболического хаотического рассеяния. Негиперболические рассеиватели могут иметь арифметическую скорость затухания.^[3]${\ displaystyle \ gamma = 0,739}$

Рис. 3: Скорость затухания системы рассеяния Гаспара – Райса.

Экспериментальная система и устойчивое многообразие [ править ]

Рис. 4: Экспериментальная система рассеяния Гаспара – Райса. ^[4]

На рис. 4 показана экспериментальная реализация системы Гаспара – Райса с использованием лазера вместо точечной частицы. Любой, кто пробовал это сделать, знает, что это не очень эффективный метод тестирования системы - лазерный луч рассеивается во всех направлениях. Как показали Свит, Отт и Йорк ^[5], более эффективный метод - направить цветной свет через зазоры между дисками (или, в данном случае, приклеить цветные полоски бумаги через пары цилиндров) и рассмотреть отражения через открытую полоску. зазор. В результате получается сложный узор из полос чередующегося цвета, как показано ниже, что более четко видно в смоделированной версии ниже.

На рисунках 5 и 6 показаны области притяжения для каждого прицельного параметра b , то есть для данного значения b , через какой промежуток выходит частица? В границах бассейна образует множество Кантора и представляют член устойчивого многообразия : траектории, после того , как начало, никогда не выходить из системы.

Рис. 5: Экспериментальная система рассеяния Гаспара – Райса, показывающая области притяжения. ^[4]

Рис. 6: Моделирование системы рассеяния Гаспара – Райса, показывающее области притяжения. ^[4]

Инвариантный набор и символическая динамика [ править ]

Рис. 7: Возможные переменные для представления системы Гаспара – Райса в виде повторяющейся карты функций. ^[6]

Пока она симметрична, мы можем легко думать о системе как о повторяющейся функциональной карте, обычном методе представления хаотической динамической системы. ^[7] На рисунке 7 показано одно возможное представление переменных: первая переменная представляет угол вокруг диска при отскоке, а вторая - угол удара / отскока относительно диска. Подмножество этих двух переменных, называемое инвариантным набором, будет отображаться на самих себя. Этот набор, четыре элемента которого показаны на рисунках 8 и 9, будет фрактальным , абсолютно непривлекающим и имеющим меру.${\ Displaystyle \ тета \ в [- \ пи, \ пи]}$${\ Displaystyle \ фи \ в [- \ пи / 2, \ пи / 2]}$нуль. Это интересная инверсия более обычно обсуждаемых хаотических систем, в которых фрактальное инвариантное множество притягивает и фактически включает в себя бассейн (бассейны) притяжения. Обратите внимание, что совершенно непритягивающая природа инвариантного множества - еще одно свойство гиперболического хаотического рассеивателя.

Каждый член инвариантного множества может быть смоделирован с использованием символической динамики : траектория помечается на основе каждого диска, от которого он отскакивает. Множество всех таких последовательностей образуют несчетное множество . ^[8] Для четырех элементов, показанных на рисунках 8 и 9, символическая динамика будет следующей: ^[3]

... 121212121212 ...... 232323232323 ...... 313131313131 ...... 123123123123 ...

Аналогичным образом могут быть представлены члены стабильного многообразия, за исключением того, что каждая последовательность имеет начальную точку. Если учесть, что член инвариантного множества должен «вписываться» в границы между двумя бассейнами притяжения, становится очевидным, что в случае возмущения траектория может выйти в любом месте последовательности. Таким образом, также должно быть очевидно, что бесконечное количество чередующихся бассейнов всех трех «цветов» будет существовать между любой данной границей. ^{[2] [3] [8]}

Из-за их нестабильной природы трудно получить прямой доступ к членам инвариантного множества или стабильного многообразия. Показатель неопределенности идеально подходит для измерения фрактальной размерности системы этого типа. Снова используя единственный параметр удара, b , мы выполняем несколько испытаний со случайными параметрами удара, возмущая их на минутную величину , и подсчитывая, как часто изменяется число отскоков от дисков, то есть доля неопределенности. Обратите внимание, что даже несмотря на то, что система является двумерной, одного прицельного параметра достаточно для измерения фрактальной размерности устойчивого многообразия. Это продемонстрировано на Рисунке 10, где показаны бассейны притяжения, построенные как функция двойного прицельного параметра, и${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$. Устойчивое многообразие, которое можно увидеть на границах между бассейнами, фрактально только в одном измерении.

Рис. 10: Бассейны притяжения как функция параметров двойного удара, и . ^[6]${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi}$

На рисунке 11 представлена ​​зависимость доли неопределенности f от неопределенности для смоделированной системы Гаспара – Райса. Наклон аппроксимирующех кривой возвращает неопределенность показатель, , таким образом, окно подсчет размерность устойчивого многообразия есть . Инвариантное множество - это пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий .^[9]${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ gamma = 0,380}$${\ displaystyle D_ {0} = N- \ gamma = 2-0,380 = 1,62}$

Поскольку система одинакова независимо от того, движется ли она вперед или назад, неустойчивое многообразие является просто зеркальным отображением устойчивого многообразия, и их фрактальные размеры будут равны.^[8] Исходя из этого, мы можем вычислить фрактальную размерность инвариантного множества: ^[2]

${\displaystyle D=D_{s}+D_{u}-N=2D_{s}-N=N-2\gamma }$

где D_s и D_u - фрактальные размерности устойчивого и неустойчивого многообразий соответственно, а N = 2 - размерность системы. Фрактальная размерность инвариантного множества D = 1,24.

Связь фрактальной размерности, скорости распада и показателей Ляпунова [ править ]

Из предыдущего обсуждения должно быть очевидно, что скорость распада, фрактальная размерность и показатели Ляпунова связаны. Например, большой показатель Ляпунова говорит нам, насколько быстро траектория в инвариантном множестве будет расходиться при возмущении. Точно так же фрактальная размерность даст нам информацию о плотности орбит в инвариантном множестве. Таким образом, мы можем видеть, что и то и другое будет влиять на скорость распада, как зафиксировано в следующей гипотезе для двумерной системы рассеяния: ^[2]

${\displaystyle D_{1}=\left(h_{1}-{\frac {1}{\gamma }}\right)\left({\frac {1}{h_{1}}}-{\frac {1}{h_{2}}}\right)}$

где D ₁ - информационная размерность, а h ₁ и h ₂ - соответственно малый и большой показатели Ляпунова. Для аттрактора, и это сводится к гипотезе Каплана – Йорка . ^[2]${\displaystyle \gamma =\infty }$

См. Также [ править ]

• Озера Вада
• Показатель неопределенности

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Программное обеспечение для моделирования системы Гаспара – Райса.