Псевдо-дуга

В общей топологии , то псевдо-дуга является простейшим невырожденная наследственно неразложимое континуум . Псевдодуга представляет собой дугообразный однородный континуум и играет центральную роль в классификации однородных плоских континуумов. Р. Х. Бинг доказал, что в определенном смысле большинство континуумов в R ⁿ , n ≥ 2, гомеоморфны псевдодуге.

История [ править ]

В 1920 году Бронислав Кнастера и Куратовский спрашивает , может ли невырожденная однородный континуум в евклидовой плоскости R ² должна быть кривая Жордана . В 1921 годе Стефан Мазуркевич спрашивает , может ли невырожденная континуум в R ² , которая гомеоморфна каждый из ее невырожденных подконтинуумов должна быть дугой. В 1922 году Кнастер открыл первый пример наследственно неразложимого континуума K , позже названного псевдодугой, что дало отрицательный ответ на вопрос Мазуркевича. В 1948 году Р. Х. Бингдоказал, что континуум Кнастера однороден, т. е. для любых двух его точек существует гомеоморфизм, переводящий одну в другую. Еще в 1948 году Эдвин Мойз показал, что континуум Кнастера гомеоморфен каждому из его невырожденных субконтинуумов. Благодаря своему сходству с фундаментальным свойством дуги, а именно, будучи гомеоморфно всем его невырожденной подконтинуумов, Moise назвал его примером M псевдодуга . ^[a] Конструкция Бинга является модификацией конструкции М Моисеем , которую он впервые услышал в своей лекции. В 1951 году Бинг доказал, что все наследственно неразложимые дугообразные континуумы ​​гомеоморфны - отсюда следует, что K Кнастера , M Моиса, и B Бинга все гомеоморфны. Бинг также доказал, что псевдодуга типична для континуумов в евклидовом пространстве размерности не менее 2 или в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве . ^[b] Бинг и Ф. Бертон Джонспостроил разложимый плоский континуум, который допускает открытое отображение на окружность, причем прообраз каждой точки гомеоморфен псевдодуге, называемой окружностью псевдодуг. Бинг и Джонс также показали, что он однороден. В 2016 году Логан Хоэн и Лекс Оверстейген классифицировали все плоские однородные континуумы ​​с точностью до гомеоморфизма как окружность, псевдодугу и окружность псевдодуг. В 2019 году Хоэн и Оверстейген показали, что псевдодуга является топологически единственным, кроме дуги, наследственно эквивалентным плоским континуумом, тем самым обеспечивая полное решение плоского случая проблемы Мазуркевича 1921 года.

Строительство [ править ]

Следующая конструкция псевдодуги следует ( Wayne Lewis 1999 ) .ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFWayne_Lewis1999 ( справка )

Цепи [ править ]

В основе определения псевдодуги лежит концепция цепи , которая определяется следующим образом:

Цепь представляет собой конечный набор из открытых множеств в метрическом пространстве таким образом, что , если и только если В элементах одной цепи называется его ссылка , а цепь называется ε-цепью , если каждый из его звеньев имеют диаметр меньше е.${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{C_{1},C_{2},\ldots ,C_{n}\}}$${\displaystyle C_{i}\cap C_{j}\neq \emptyset }$${\displaystyle |i-j|\leq 1.}$

Хотя псевдодуга является простейшим из перечисленных выше типов пространств, на самом деле она очень сложна. Концепция искривления цепи (определение которой дано ниже) - вот что наделяет псевдодугу ее сложностью. Неформально это требует, чтобы цепочка следовала определенному рекурсивному зигзагообразному шаблону в другой цепочке. Чтобы «переместиться» от m- го звена большей цепи к n- му, меньшая цепь должна сначала криво переместиться от m- го звена к ( n -1) -ому звену, а затем криво к нему. ( m +1) -я ссылка, а затем, наконец, n- я ссылка.

Более формально:

Позвольте и быть такими цепями, что${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

1. каждая ссылка является подмножеством ссылки , и${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
2. для любых индексов I , J , т и п с , и , существуют индексы и с (или ) , а также и${\displaystyle D_{i}\cap C_{m}\neq \emptyset }$${\displaystyle D_{j}\cap C_{n}\neq \emptyset }$${\displaystyle m<n-2}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle i<k<\ell <j}$${\displaystyle i>k>\ell >j}$${\displaystyle D_{k}\subseteq C_{n-1}}$${\displaystyle D_{\ell }\subseteq C_{m+1}.}$

Тогда это криво в${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Псевдо-дуга [ править ]

Для любого набора C множеств, пусть обозначим объединение всех элементов С . То есть пусть${\displaystyle C^{*}}$

${\displaystyle C^{*}=\bigcup _{S\in C}S.}$

Псевдо-дуга определяется следующим образом :

Пусть р и д различные точки в плоскости и последовательность цепочек в плоскости так , что для каждого I ,${\displaystyle \left\{{\mathcal {C}}^{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }}$

1. первая ссылка содержит p, а последняя ссылка содержит q ,${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$
2. цепь представляет собой -цепь,${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$${\displaystyle 1/2^{i}}$
3. закрытие каждой ссылки является подмножеством некоторой ссылки , и${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i+1}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$
4. цепь перекручена .${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i+1}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$

Позволять

${\displaystyle P=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\left({\mathcal {C}}^{i}\right)^{*}.}$

Тогда P - псевдодуга .

Ссылки [ править ]

Заметки

Цитаты

Библиография