- На этой странице обсуждается класс топологических групп. Информацию о намотанной проволочной петле см . В разделе « Соленоид» .
Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
В математике , A Электромагнитное является компактным связным топологическим пространством (т.е. континуума ) , которые могут быть получены в качестве обратного предела обратной системы топологических групп и непрерывных гомоморфизмов
- ( S i , f i ), f i : S i +1 → S i , i ≥ 0,
где каждый S i - круг, а f i - карта, которая равномерно оборачивает круг S i +1 n i раз ( n i ≥ 2) вокруг круга S i . Это построение может быть выполнено геометрически в трехмерном евклидовом пространстве R 3 . Соленоид - это одномерный однородный неразложимый континуум , имеющий структуру компактной топологической группы .
В частном случае, когда все n i имеют одинаковое значение n , так что обратная система определяется умножением на n собственного отображения круга, соленоиды были впервые введены Вьеторисом для n = 2 и Ван Данцигом для произвольного n. . Такой соленоид возникает как одномерный расширяющийся аттрактор или аттрактор Смейла – Вильямса и представляет собой важный пример в теории гиперболических динамических систем .
Геометрическая конструкция и аттрактор Смейла – Вильямса [ править ]
Каждый соленоид может быть построен как пересечение вложенной системы полнотория в R 3 .
Зафиксируем последовательность натуральных чисел { n i }, n i ≥ 2. Пусть T 0 = S 1 × D - полноторие . Для каждого i ≥ 0 выберите полноторие T i +1 , которое n i раз завернуто в продольном направлении внутрь полнотория T i . Тогда их пересечение
это гомеоморфный к соленоиду , построенный как обратный предел системы окружностей с картами определяются последовательностью { п я }.
Вот вариант этой конструкции, выделенный Стивеном Смейлом в качестве примера расширяющегося аттрактора в теории гладких динамических систем. Обозначим координат угловой на окружности S 1 по т (определяется по модулю 2л) и рассмотрим комплексную координату г на двумерной единичного круга D . Пусть f - отображение полнотория T = S 1 × D в себя, заданное явной формулой
Эта карта является гладким вложением из Т в себя , что сохраняет слоение на меридиональных дисков (константы 1/2 и 1/4 несколько произвольно, но важно , что 1/4 <1/2 и 1/4 + 1 / 2 <1). Если представить T как резиновую трубку, карта f растягивает ее в продольном направлении, сжимает каждый меридиональный диск и дважды оборачивает деформированную трубку внутрь T со скручиванием, но без самопересечений. Гиперболическое множество Λ дискретной динамической системы ( Т , е ) являются пересечение последовательности вложенных полноторий описаны выше, где T I- образ T при i- й итерации отображения f . Это множество является одномерным (в смысле топологической размерности ) аттрактором , и динамика f на Λ обладает следующими интересными свойствами:
- меридиональные диски - это устойчивые многообразия , каждое из которых пересекает Λ над канторовым множеством
- периодические точки из F являются плотными в Л
- отображение F является топологический транзитивен на Л
Общая теория соленоидов и расширяющиеся аттракторы, не обязательно одномерных, была разработана РФ Williams и включает в себя проективную систему бесконечного числа копий компакта - разветвленного многообразия вместо окружности, вместе с расширяющимся самостоятельным погружением .
Патологические свойства [ править ]
Соленоиды - это компактные метризуемые пространства , которые связаны , но не связаны локально или линейно . Это отражается в их патологическом поведении по отношению к различным теориям гомологии , в отличие от стандартных свойств гомологии для симплициальных комплексов . В гомологиях Чеха можно построить неточную длинную последовательность гомологий, используя соленоид. В теориях гомологии стиля Стинрода [1] 0-я группа гомологий соленоида может иметь довольно сложную структуру, даже если соленоид является связным пространством.
См. Также [ править ]
- Protorus , класс топологических групп, включающий соленоиды
- Понтрягинская двойственность
- Обратный предел
- p-адическое число
- Бесконечное целое число
Ссылки [ править ]
- ^ http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Steenrod-Sitnikov_homology
Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Январь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( |
- Д. ван Данциг, Ueber topologisch homogen Kontinua , Fund. Математика. 15 (1930), стр. 102–125.
- "Соленоид" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Кларк Робинсон, Динамические системы: стабильность, символическая динамика и хаос , 2-е издание, CRC Press, 1998 ISBN 978-0-8493-8495-0
- С. Смейл, Дифференцируемые динамические системы , Бюлл. АМН , 73 (1967), 747 - 817.
- L. Vietoris, Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen , Math. Аня. 97 (1927), стр. 454–472
- Роберт Ф. Уильямс, Расширяющиеся аттракторы , Publ. Математика. ИГЭС, т. 43 (1974), стр. 169–203
Дальнейшее чтение [ править ]
- Семмс, Стивен (12 января 2012 г.), Некоторые замечания о соленоидах , arXiv : 1201.2647 , Bibcode : 2012arXiv1201.2647S