В топологии , А топологическое пространство называется просто подключено (или 1-подключенное , или 1-односвязно [1] ) , если оно линейно связным и каждый путь между двумя точками можно непрерывно трансформируется (интуитивно для встроенных пространств, оставаясь в пределах space) на любой другой такой путь, сохраняя при этом две рассматриваемые конечные точки. Фундаментальная группа топологического пространства является показателем провала для пространства , чтобы быть просто подключено: путь-связной топологическое пространство односвязно тогда и только тогда , когда его фундаментальная группа тривиальна.
Определение и эквивалентные формулировки [ править ]
Топологическое пространство X называется односвязной , если оно связно и любая петля в X определяется F : S 1 → X может быть заключен в точку: существует непрерывное отображение F : D 2 → X такое , что F ограничена S 1 - это f . Здесь S 1 и D 2 обозначают единичный круг и замкнутый единичный круг в евклидовой плоскости соответственно.
Эквивалентная формулировка такова: X односвязно тогда и только тогда, когда оно линейно связно, и всякий раз, когда p : [0,1] → X и q : [0,1] → X - два пути (то есть: непрерывные отображения) с одинаковыми начальной и конечной точкой ( p (0) = q (0) и p (1) = q (1)), то p можно непрерывно деформировать в q , сохраняя при этом обе конечные точки фиксированными. Явно существует такая гомотопия , что и .
Топологическое пространство X односвязна тогда и только тогда , когда Х является линейно связным и фундаментальная группа из X в каждой точке тривиальна, т.е. состоит только из единичного элемента . Аналогичным образом , Х просто связный тогда и только тогда , когда для всех точек , множество морфизмов в фундаментальной группоиде из X имеет только один элемент. [2]
В комплексном анализе : открытое подмножество односвязно тогда и только тогда, когда и X, и его дополнение в сфере Римана связаны. Набор комплексных чисел, мнимая часть которых строго больше нуля и меньше единицы, представляет собой прекрасный пример неограниченного связного открытого подмножества плоскости, дополнение которого не связно. Тем не менее, это просто связано. Также стоит отметить, что ослабление требования связности X приводит к интересному исследованию открытых подмножеств плоскости со связным расширенным дополнением. Например, (не обязательно связное) открытое множество имеет связное расширенное дополнение именно тогда, когда все его связные компоненты односвязны.
Неформальное обсуждение [ править ]
Неформально, объект в нашем пространстве просто связан, если он состоит из одной части и не имеет никаких «дырок», проходящих через него. Например, просто не соединяется ни пончик, ни кофейная чашка (с ручкой), а просто соединяется полый резиновый шарик. В двух измерениях круг не просто соединен, но диск и линия связаны. Пространства, которые связаны, но не односвязны, называются неодносвязными или многосвязными .
Определение исключает только отверстия в форме ручки . Сфера (или, что то же самое, резиновый шар с полым центром) просто связана, потому что любая петля на поверхности сферы может сжиматься до точки, даже если у нее есть «дыра» в центре полости. Более сильное условие, когда объект не имеет отверстий любого размера, называется сжимаемостью .
Примеры [ править ]
- Евклидовой плоскости R 2 просто подключен, но R 2 минус происхождение (0, 0) не является. Если n > 2, то R n и R n без начала координат односвязны.
- Аналогично: n -мерная сфера S n односвязна тогда и только тогда, когда n ≥ 2.
- Каждое выпуклое подмножество из R п односвязен.
- Тор , то (эллиптический) цилиндр , то Мёбиус , то проективная плоскость и бутылка Клейн не просто соединены.
- Каждое топологическое векторное пространство односвязно; это включает банаховы пространства и гильбертовы пространства .
- При n ≥ 2 специальная ортогональная группа SO ( n , R ) не односвязна, а специальная унитарная группа SU ( n ) односвязна.
- Одноточечная компактификация R не односвязна (хотя R односвязна).
- Длинная линия L односвязно, но его компактификацией, расширенная длинная линия L * не является (так как он даже не связно).
Свойства [ править ]
Поверхность (двумерное топологическое многообразие ) односвязна тогда и только тогда, когда она связна и ее род (количество ручек поверхности) равен 0.
Универсальное покрытие любого (подходящего) пространства X - это односвязное пространство, которое отображается в X через отображение покрытия .
Если X и Y являются гомотопически эквивалентны и X односвязно, то и Y .
Образ односвязного множества при непрерывной функции не обязательно должен быть односвязным. Возьмем, к примеру, комплексную плоскость под экспоненциальным отображением: изображение C ∖ {0}, которое не является односвязным.
Понятие простой связности важно в комплексном анализе по следующим причинам:
- В интегральной теоремы Коши утверждает , что если U -односвязная открытое подмножество комплексной плоскости С , и F : U → C является голоморфная функция , то F имеет первообразную F на U , и значение каждой строки интеграла в U с подынтегральная функция f зависит только от конечных точек u и v пути и может быть вычислена как F ( v ) - F ( u). Таким образом, интеграл не зависит от конкретного пути, соединяющего u и v .
- В Римана теорема отображения состояния , что любое непустое открытое односвязное подмножество C (за исключением C самого) является конформно эквивалентно в единичном круге .
Понятие простой связности также является ключевым условием гипотезы Пуанкаре .
См. Также [ править ]
- Фундаментальная группа - Математическая группа гомотопических классов петель в топологическом пространстве.
- Отвод деформации
- n-связное пространство
- Связанный по пути
- Единичное пространство
Ссылки [ править ]
- ^ "n-связное пространство в nLab" . ncatlab.org . Проверено 17 сентября 2017 .
- ^ Рональд, Браун (июнь 2006 г.). Топология и группоиды . Академический поиск завершен. Северный Чарльстон: CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC 712629429 .
- Спаниер, Эдвин (декабрь 1994). Алгебраическая топология . Springer. ISBN 0-387-94426-5.
- Конвей, Джон (1986). Функции комплексного переменного I . Springer. ISBN 0-387-90328-3.
- Бурбаки, Николас (2005). Группы Ли и алгебры Ли . Springer. ISBN 3-540-43405-4.
- Гамелен, Теодор (январь 2001 г.). Комплексный анализ . Springer. ISBN 0-387-95069-9.
- Джоши, Капли (август 1983 г.). Введение в общую топологию . Издатели Нью Эйдж. ISBN 0-85226-444-5.