В топологии , A дискретного пространство является особенно простым примером топологического пространства или аналогичной структуры, в которой точки образуют прерывистую последовательность , то есть они изолированы друг от друга в определенном смысле. Дискретная топология - это лучшая топология, которая может быть задана на множестве. Каждое подмножество открыто в дискретной топологии, так что, в частности, каждое единичное подмножество является открытым множеством в дискретной топологии.
Определения
Учитывая набор X :
- дискретная топология на X определяются позволяя каждое подмножество из X будет открыто (а значит , и закрытым ), а Х представляет собой дискретное топологическое пространство , если оно оснащено его дискретной топологией;
- дискретная однородность на X определяются позволяя каждое надмножество диагонального {( х , х ): х в X } в Х × Х быть свита , а Х представляет собой дискретное равномерное пространство , если он оснащен его дискретной однородностью.
- дискретная метрика на X определяется формулой
- множество S является дискретным в метрическом пространстве , для , если для каждого , есть некоторые (в зависимости от ) такой, что для всех ; такой набор состоит из изолированных точек . Множество S является равномерно дискретно в метрическом пространстве , для , если существует такое ε > 0, что для любых двух различных, .
Метрическое пространство называется равномерно дискретным, если существует «радиус упаковки» такое, что для любого , есть либо или же . [1] Топология, лежащая в основе метрического пространства, может быть дискретной без равномерной дискретности метрики: например, обычная метрика на множестве {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} действительных чисел .
Доказательство того, что дискретное пространство не обязательно равномерно дискретно |
---|
Пусть X = {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} , рассмотрим это множество, используя обычную метрику действительных чисел. Затем, Х представляет собой дискретное пространство, так как для каждой точки 1/2 п , мы можем окружить ее с интервалом (1/2 п - ɛ , 1/2 п + ɛ ) , где ɛ = 1/2 (1/2 п - 1/2 п +1 ) = 1/2 п +2 . Пересечение (1/2 n - ɛ , 1/2 n + ɛ ) ∩ {1/2 n } - это просто одноэлемент {1/2 n } . Поскольку пересечение двух открытых множеств открыто, а одиночные множества открыты, отсюда следует, что X - дискретное пространство. Однако X не может быть равномерно дискретным. Чтобы понять, почему, предположим, что существует r > 0 такое, что d ( x , y )> r всякий раз, когда x ≠ y . Достаточно показать, что в X есть по крайней мере две точки x и y , которые ближе друг к другу, чем r . Поскольку расстояние между соседними точками 1/2 n и 1/2 n +1 равно 1/2 n +1 , нам нужно найти n , удовлетворяющее этому неравенству: Поскольку всегда существует n больше любого заданного действительного числа, отсюда следует, что всегда будут по крайней мере две точки в X , которые ближе друг к другу, чем любое положительное r , поэтому X не является равномерно дискретным. |
Характеристики
Базовая однородность на дискретном метрическом пространстве - это дискретная однородность, а основная топология на дискретном однородном пространстве - это дискретная топология. Таким образом, различные понятия дискретного пространства совместимы друг с другом. С другой стороны, основная топология недискретного равномерного или метрического пространства может быть дискретной; примером является метрическое пространство X : = {1 / n : n = 1,2,3, ...} (с метрикой, унаследованной от вещественной линии и заданной как d ( x , y ) = | x - y |) . Это не дискретная метрика; кроме того, это пространство не является полным и, следовательно, не дискретным как однородное пространство. Тем не менее оно дискретно как топологическое пространство. Будешь говорить , что X является топологический дискретным , но не равномерно дискретно или метрический дискретным .
Кроме того:
- Топологическая размерность дискретного пространства равна 0.
- Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда его синглтоны открыты, что имеет место тогда и только тогда, когда оно не содержит точек накопления .
- Синглтоны составляют основу дискретной топологии.
- Равномерное пространство X дискретно тогда и только тогда, когда диагональ {( x , x ): x находится в X } является антуражем .
- Каждое дискретное топологическое пространство удовлетворяет каждой из аксиом разделения ; в частности, каждое дискретное пространство хаусдорфово , т. е. разделено.
- Дискретное пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно .
- Каждое дискретное равномерное или метрическое пространство полно .
- Комбинируя два вышеупомянутых факта, каждое дискретное равномерное или метрическое пространство полностью ограничено тогда и только тогда, когда оно конечно.
- Всякое дискретное метрическое пространство ограничено .
- Каждое дискретное пространство счетно первым ; кроме того, он является счетным тогда и только тогда, когда он является счетным .
- Каждое дискретное пространство полностью отключено .
- Каждое непустое дискретное пространство относится ко второй категории .
- Любые две дискретные пространства с одной и той же мощности являются гомеоморфно .
- Всякое дискретное пространство метризуемо (по дискретной метрике).
- Конечное пространство метризуемо, только если оно дискретно.
- Если X - топологическое пространство, а Y - множество, несущее дискретную топологию, то X равномерно покрывается X × Y (отображение проекции является желаемым покрытием)
- Топология подпространства на целых как подпространство прямой является дискретной топологией.
- Дискретное пространство отделимо тогда и только тогда, когда оно счетно.
- Любое топологическое подпространство ℝ (со своей обычной евклидовой топологией ) , что является дискретным обязательно счетно . [2]
Любая функция из дискретного топологического пространства в другое топологическое пространство непрерывна , а любая функция из дискретного равномерного пространства в другое однородное пространство равномерно непрерывна . То есть дискретное пространство X является свободным на множество X в категории топологических пространств и непрерывных отображений или в категории равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений. Эти факты являются примерами гораздо более широкого явления, в котором дискретные структуры обычно свободны на множествах.
С метрическими пространствами дело обстоит сложнее, потому что существует несколько категорий метрических пространств, в зависимости от того, что выбрано для морфизмов . Конечно, дискретное метрическое пространство является свободным, когда все морфизмы являются равномерно непрерывными отображениями или все непрерывные отображения, но это не говорит ничего интересного о метрической структуре , только о равномерной или топологической структуре. Категории, более соответствующие метрической структуре, можно найти, ограничив морфизмы липшицевыми непрерывными отображениями или короткими отображениями ; однако в этих категориях нет свободных объектов (более чем в одном элементе). Однако дискретное метрическое пространство свободно в категории ограниченных метрических пространств и липшицевых отображений и свободно в категории метрических пространств, ограниченных единицей и коротких отображений. То есть любая функция из дискретного метрического пространства в другое ограниченное метрическое пространство является липшицевым, а любая функция из дискретного метрического пространства в другое метрическое пространство, ограниченное единицей, является короткой.
В другом направлении функция f из топологического пространства Y в дискретное пространство X непрерывна тогда и только тогда, когда она локально постоянна в том смысле, что каждая точка в Y имеет окрестность, в которой f постоянна.
Каждый ультрафильтр на непустом множестве может быть связано с топологией на со свойством, что каждое непустое собственное подмножество из является либо открытое подмножество или же замкнутое подмножество , но не оба. Иными словами , каждое подмножество открыто или закрыто, но (в отличие от дискретной топологии) единственные подмножества, которые одновременно открыты и закрыты (т. Е. Закрыты ), являются а также Для сравнения, каждое подмножествооткрыто и закрыто в дискретной топологии.
Использует
Дискретная структура часто используется как «структура по умолчанию» в наборе, не несущем никакой другой естественной топологии, единообразия или метрики; дискретные структуры часто можно использовать в качестве «крайних» примеров для проверки определенных предположений. Например, любую группу можно рассматривать как топологическую группу , задав ей дискретную топологию, подразумевая, что теоремы о топологических группах применимы ко всем группам. Действительно, аналитики могут называть обычные нетопологические группы, изучаемые алгебраистами, « дискретными группами ». В некоторых случаях это может быть полезно, например, в сочетании с двойственностью Понтрягина . 0-мерное многообразие (дифференцируемое или аналитическое многообразие) есть не что иное, как дискретное топологическое пространство. Следовательно, мы можем рассматривать любую дискретную группу как 0-мерную группу Ли .
Продукт из счетных экземпляров дискретного пространства натуральных чисел является гомеоморфно пространством иррациональных чисел , с гомеоморфизмом , заданным непрерывной дробью расширением. Произведение счетно бесконечных копий дискретного пространства {0,1} гомеоморфно канторову множеству ; и фактически однородно гомеоморфно множеству Кантора, если мы используем однородность продукта на продукте. Такой гомеоморфизм задается троичной записью чисел. (См. Пространство Кантора .)
В основах математики изучение свойств компактности произведений {0,1} занимает центральное место в топологическом подходе к принципу ультрафильтра , который является слабой формой выбора .
Недискретные пространства
В некотором смысле противоположностью дискретной топологии является тривиальная топология (также называемая недискретной топологией ), которая имеет наименьшее возможное количество открытых множеств (только пустое множество и само пространство). Там, где дискретная топология является начальной или свободной, недискретная топология является конечной или cofree : каждая функция из топологического пространства в недискретное пространство непрерывна и т. Д.
Смотрите также
- Набор цилиндров
- Список топологий
- Геометрия такси
Рекомендации
- Перейти ↑ Pleasants, Peter AB (2000). «Дизайнерские квазикристаллы: наборы для резки и проектирования с заранее заданными свойствами». В Бааке, Майкл (ред.). Направления в математических квазикристаллах . Серия монографий CRM. 13 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . С. 95–141. ISBN 0-8218-2629-8. Zbl 0982.52018 .
- ^ Wilansky 2008 , стр. 35.
- Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1978). Контрпримеры в топологии (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 3-540-90312-7. Руководство по ремонту 0507446 . Zbl 0386.54001 .
- Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899 .