В математике , метрическое пространство является набор вместе с метрикой на множестве. Метрика - это функция, которая определяет понятие расстояния между любыми двумя элементами набора, которые обычно называются точками . Метрика удовлетворяет нескольким простым свойствам. Неформально:
- расстояние от к равен нулю тогда и только тогда, когда а также одна и та же точка,
- расстояние между двумя разными точками положительное,
- расстояние от к такое же, как и расстояние от к , а также
- расстояние от к меньше или равно расстоянию от к через любую третью точку .
Метрика в пространстве индуцирует топологические свойства, такие как открытые и замкнутые множества , которые приводят к изучению более абстрактных топологических пространств .
Наиболее известное метрическое пространство - трехмерное евклидово пространство . Фактически, «метрика» - это обобщение евклидовой метрики, вытекающее из четырех давно известных свойств евклидова расстояния. Евклидова метрика определяет расстояние между двумя точками как длину соединяющего их отрезка прямой . Другие метрические пространства встречаются, например, в эллиптической геометрии и гиперболической геометрии , где расстояние на сфере, измеренное углом, является метрикой, а гиперболоидная модель гиперболической геометрии используется специальной теорией относительности как метрическое пространство скоростей . Некоторые из негеометрических метрических пространств включают пространства конечных строк ( конечных последовательностей символов из заранее определенного алфавита), снабженные, например, расстоянием Хэмминга или Левенштейна , пространством подмножеств любого метрического пространства, снабженным расстоянием Хаусдорфа , пространством вещественных функции, интегрируемые на единичном интервале с интегральной метрикой или вероятностные пространства на любом выбранном метрическом пространстве, снабженном метрикой Вассерштейна .
История
В 1906 году Морис Фреше ввел метрические пространства в своей работе Sur quelques points du Calcul fonctionnel . [1] Однако имя принадлежит Феликсу Хаусдорфу .
Определение
Метрическое пространство является упорядоченной парой где это набор и это метрика на, т. е. функция
такой, что для любого , выполняется следующее: [2]
1. идентичность неразличимых 2. симметрия 3. субаддитивность или неравенство треугольника
Учитывая указанные выше три аксиомы, мы также имеем, что для любой . Это выводится следующим образом:
неравенством треугольника по симметрии по идентичности неразличимых у нас есть неотрицательность
Функция также называется функцией расстояния или просто расстоянием . Часто, опускается, и один просто пишет для метрического пространства, если из контекста ясно, какая метрика используется.
Игнорируя математические детали, для любой системы дорог и местности расстояние между двумя точками можно определить как длину кратчайшего маршрута, соединяющего эти точки. Чтобы быть метрикой, не должно быть дорог с односторонним движением. Неравенство треугольника выражает тот факт, что объездные пути не являются сокращением. Если расстояние между двумя точками равно нулю, эти две точки неотличимы друг от друга. Многие из приведенных ниже примеров можно рассматривать как конкретные версии этой общей идеи.
Примеры метрических пространств
- В действительные числа с функцией расстояниязаданные абсолютной разностью , и, в более общем смысле, евклидово n -пространство с евклидовым расстоянием , являются полными метрическими пространствами. В рациональных числах с одной и той же функцией расстояния также образуют метрическое пространство, но не полный.
- В положительных действительных числах с функцией расстояния - полное метрическое пространство.
- Любое нормированное векторное пространство является метрическим пространством, определяя, см. также метрики в векторных пространствах . (Если такое пространство полно , мы называем его банаховым пространством .) Примеры:
- Manhattan норма порождает Манхэттен расстояние , где расстояние между любыми двумя точками, или векторами, является суммой разностей между соответствующими координатами.
- Циклическая метрика Мангейма или расстояние Мангейма представляет собой вариант метрики Манхэттена по модулю. [3] [4]
- Максимальная норма порождает расстояние Чебышева или шахматным расстояние, минимальное количество ходов шахматный король возьмет на поездки из к .
- British Rail Метрика (также называется «почтовое отделение Метрика» или « SNCF метрика») на нормированном векторном пространстве задается для различных точек а также , а также . В более общем смысле можно заменить функцией взяв произвольный набор к неотрицательным действительным числам и принятию значения не более одного раза: тогда метрика определена на от для различных точек а также , а также . Название намекает на тенденцию железнодорожных путешествий проходить через Лондон (или Париж) независимо от их конечного пункта назначения.
- Если метрическое пространство и является подмножеством из, то становится метрическим пространством, ограничивая область определения к .
- Дискретная метрика , где если а также в противном случае это простой, но важный пример, который можно применить ко всем наборам. Это, в частности, показывает, что для любого набора всегда есть связанное с ним метрическое пространство. Используя эту метрику, одноэлемент любой точки является открытым шаром , поэтому каждое подмножество открыто, а пространство имеет дискретную топологию .
- Конечное метрическое пространство - это метрическое пространство с конечным числом точек. Не всякое конечное метрическое пространство может быть изометрически вложено в евклидово пространство . [5] [6]
- Гиперболическая плоскость является метрическим пространством. В более общем смысле:
- Если - любое связное риманово многообразие , то мы можем повернутьв метрическое пространство, определяя расстояние между двумя точками как нижнюю грань длин путей (непрерывно дифференцируемых кривых ), соединяющих их.
- Если это какой-то набор и метрическое пространство, то множество всех ограниченных функций (т.е. тех функций , у которых изображение является ограниченным подмножеством из) можно превратить в метрическое пространство, задав для любых двух ограниченных функций а также (где является супремумом ). [7] Эта метрика называется равномерной метрикой или метрикой супремума, и еслиполно, то полно и это функциональное пространство . Если X также является топологическим пространством, то множество всех ограниченных непрерывных функций из к (наделенный равномерной метрикой), также будет полной метрикой, если M есть.
- Если является неориентированным связным графом , то множество вершин можно превратить в метрическое пространство, определив быть длиной кратчайшего пути, соединяющего вершины а также . В геометрической теории групп это применяется к графу Кэли группы, в результате чего получается слово «метрика» .
- Расстояние редактирования графа - это мера различия между двумя графами , определяемая как минимальное количество операций редактирования графа, необходимых для преобразования одного графа в другой.
- Расстояние Левенштейна - это мера различия между двумя струнами. а также , определяемый как минимальное количество удалений, вставок или замен символов, необходимых для преобразования в . Это можно рассматривать как частный случай метрики кратчайшего пути на графике и является одним из примеров расстояния редактирования .
- Учитывая метрическое пространство и возрастающая вогнутая функция такой, что если и только если , тогда также является метрикой на .
- Учитывая инъективную функцию из любого набора в метрическое пространство , определяет метрику на .
- Используя T-теорию , узкая оболочка метрического пространства также является метрическим пространством. Тесный интервал полезен в нескольких типах анализа.
- Набор всех от матрицы над некоторым полем является метрическим пространством относительно рангового расстояния.
- Метрика Хелли используется в теории игр .
Открытые и закрытые множества, топология и сходимость
Каждое метрическое пространство является топологическим пространством естественным образом, и поэтому все определения и теоремы об общих топологических пространствах также применимы ко всем метрическим пространствам.
О любой точке в метрическом пространстве определим открытый шар радиуса (где это реальное число) о как набор
Эти открытые шары образуют основу топологии на M , что делает его топологическим пространством .
Явно подмножество из называется открытым, если для каждого в существует такой, что содержится в . Дополнение открытого множества называется закрытым . Окрестности точки любое подмножество который содержит открытый шар о как подмножество.
Топологическое пространство, которое может возникнуть таким образом из метрического пространства, называется метризуемым пространством .
Последовательность () в метрическом пространстве говорят, сходится к пределу тогда и только тогда, когда для каждого, существует натуральное число N такое, что для всех . Равным образом можно использовать общее определение сходимости, имеющееся во всех топологических пространствах.
Подмножество метрического пространства замкнуто тогда и только тогда, когда каждая последовательность в который сходится к пределу в имеет предел в .
Типы метрических пространств
Полные пространства
Метрическое пространство называется полной, если каждая последовательность Коши сходится в. То есть: если Как оба а также самостоятельно уходить в бесконечность, то есть какие-то с участием .
Каждое евклидово пространство полно, как и любое замкнутое подмножество полного пространства. Рациональные числа с использованием метрики абсолютного значения, не полные.
Каждое метрическое пространство имеет уникальное (с точностью до изометрии ) пополнение , которое представляет собой полное пространство, содержащее данное пространство как плотное подмножество. Например, реальные числа - это завершение рациональных чисел.
Если полное подмножество метрического пространства , тогда закрыт в . В самом деле, пространство полно тогда и только тогда, когда оно замкнуто в любом содержащем метрическом пространстве.
Каждое полное метрическое пространство является пространством Бэра .
Ограниченные и вполне ограниченные пространства
Метрическое пространство называется ограниченным, если существует некоторое число, такое что для всех . Минимально возможный такойназывается диаметром от. Космосназывается предкомпактным или вполне ограниченным, если для каждого существует конечное число открытых шаров радиуса чей союз покрывает . Поскольку множество центров этих шаров конечно, оно имеет конечный диаметр, из чего следует (используя неравенство треугольника), что всякое вполне ограниченное пространство ограничено. Обратное неверно, поскольку любому бесконечному множеству может быть дана дискретная метрика (один из приведенных выше примеров), при которой оно ограничено, но не полностью.
Обратите внимание, что в контексте интервалов в пространстве действительных чисел и иногда регионов в евклидовом пространствеограниченное множество называется «конечным интервалом» или «конечной областью». Однако, как правило, ограниченность не следует путать с «конечным», которое относится к количеству элементов, а не к тому, насколько далеко простирается множество; конечность влечет ограниченность, но не наоборот. Также обратите внимание, что неограниченное подмножествоможет иметь конечный объем .
Компактные пространства
Метрическое пространство компактно, если каждая последовательность в имеет подпоследовательность , сходящуюся к точке в. Это известно как секвенциальная компактность и в метрических пространствах (но не в общих топологических пространствах) эквивалентно топологическим понятиям счетной компактности и компактности, определяемым через открытые накрытия .
Примеры компактных метрических пространств включают отрезок с метрикой абсолютного значения, все метрические пространства с конечным числом точек и множество Кантора . Каждое замкнутое подмножество компакта само компактно.
Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено. Это известно как теорема Гейне – Бореля . Отметим, что компактность зависит только от топологии, а ограниченность - от метрики.
Лемма Лебега о числах утверждает, что для любого открытого покрытия компактного метрического пространствасуществует "число Лебега" так что каждое подмножество от диаметра содержится в каком-то члене обложки.
Каждое компактное метрическое пространство является второй счетным , [8] и представляет собой непрерывный образом множества Кантора . (Последний результат принадлежит Павлу Александрову и Урысону .)
Локально компактные и собственные пространства
Метрическое пространство называется локально компактным, если каждая точка имеет компактную окрестность. Евклидовы пространства локально компактны, а бесконечномерные банаховы пространства - нет.
Пробел считается собственным, если каждый закрытый шаркомпактный. Собственные пространства локально компактны, но обратное, вообще говоря, неверно.
Связность
Метрическое пространство является связным, если единственные подмножества, которые одновременно открыты и закрыты, - это пустое множество и сам.
Метрическое пространство является ли путь связным, если для любых двух точек существует непрерывное отображение с участием а также . Каждое пространство, связанное путями, связано, но в общем случае обратное неверно.
Существуют также локальные версии этих определений: пространства с локальной связью и пространства с локальной связью .
Односвязные пространства - это те, в которых в определенном смысле нет «дыр».
Разделимые пространства
Метрическое пространство называется сепарабельным, если у него есть счетное плотное подмножество. Типичные примеры - действительные числа или любое евклидово пространство. Для метрических пространств (но не для общих топологических пространств) сепарабельность эквивалентна второй счетности, а также свойству Линделёфа .
Остроконечные метрические пространства
Если метрическое пространство и тогда называется точечным метрическим пространством , аназывается выделенной точкой . Обратите внимание, что метрическое пространство с точками - это просто непустое метрическое пространство с выделенной точкой, и что любое непустое метрическое пространство можно рассматривать как метрическое пространство с точками. Выделенную точку иногда обозначают из-за его аналогичного поведения до нуля в определенных контекстах.
Типы карт между метрическими пространствами
Предполагать а также два метрических пространства.
Непрерывные карты
Карта является непрерывным, если он обладает одним (и, следовательно, всеми) из следующих эквивалентных свойств:
- Общая топологическая непрерывность
- за каждый открытый комплект в , прообраз открыт в
- Это общее определение непрерывности в топологии .
- Последовательная преемственность
- если последовательность в что сходится к , то последовательность сходится к в .
- Это последовательная преемственность , благодаря Эдуарду Гейне .
- ε-δ определение
- для каждого и каждый Существует такое, что для всех в у нас есть
- Здесь используется (ε, δ) -определение предела , принадлежащее Огюстену Луи Коши .
Более того, непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно на каждом компактном подмножестве .
Изображение каждого компактного множества при непрерывной функции компактно, и изображение каждого подключенного множества при непрерывной функции связанно.
Равномерно непрерывные карты
Карта является равномерно непрерывной , если для каждого Существует такой, что
Каждая равномерно непрерывная карта непрерывно. Обратное верно, есликомпактно ( теорема Гейне – Кантора ).
Равномерно непрерывные отображения превращают последовательности Коши в в последовательности Коши в . Для непрерывных карт это обычно неверно; например, непрерывная карта из открытого интервала на вещественную прямую превращает некоторые последовательности Коши в неограниченные.
Липшицево-непрерывные отображения и сжатия
Учитывая реальное число , карта является К -Lipschitz непрерывным , если
Любое липшицево-непрерывное отображение равномерно непрерывно, но обратное, вообще говоря, неверно.
Если , тогда называется сжатием . Предполагать а также завершено. Если сжатие, то допускает единственную неподвижную точку ( теорема Банаха о неподвижной точке ). Если компактна, условие можно немного ослабить: допускает единственную неподвижную точку, если
- .
Изометрии
Карта является изометрией, если
Изометрии всегда инъективны ; образ компакта или полного множества при изометрии будет компактным или полным соответственно. Однако, если изометрия не сюръективна , то образ замкнутого (или открытого) множества не обязательно должен быть замкнутым (или открытым).
Квазиизометрии
Карта является квазиизометрией, если существуют постоянные а также такой, что
и постоянный так что каждая точка в имеет расстояние не более с некоторой точки на изображении .
Обратите внимание, что квазиизометрия не обязательно должна быть непрерывной. Квазиизометрии сравнивают «крупномасштабную структуру» метрических пространств; они находят применение в геометрической теории групп по отношению к слову «метрика» .
Понятия эквивалентности метрических пространств
Учитывая два метрических пространства а также :
- Они называются гомеоморфными (топологически изоморфными), если между ними существует гомеоморфизм (т. Е. Биекция, непрерывная в обоих направлениях).
- Они называются униформными (равномерно изоморфными), если между ними существует равномерный изоморфизм (т. Е. Биекция, равномерно непрерывная в обоих направлениях).
- Они называются изометрическими, если между ними существует биективная изометрия . В этом случае два метрических пространства по существу идентичны.
- Они называются квазиизометричными, если между ними существует квазиизометрия .
Топологические свойства
Метрические пространства паракомпактны [9], хаусдорфовы пространства [10] и, следовательно, нормальны (действительно, они совершенно нормальны). Важным следствием является то, что каждое метрическое пространство допускает разбиения единицы и что каждая непрерывная вещественнозначная функция, определенная на замкнутом подмножестве метрического пространства, может быть расширена до непрерывного отображения на всем пространстве ( теорема Титце о расширении ). Также верно, что всякое вещественнозначное липшицево-непрерывное отображение, определенное на подмножестве метрического пространства, может быть расширено до липшицево-непрерывного отображения на всем пространстве.
Метрические пространства сначала являются счетными, поскольку в качестве базы окрестности можно использовать шары рационального радиуса.
Метрическая топология на метрическом пространстве самая грубая топология на относительно которого метрика является непрерывным отображением из произведения с собой к неотрицательным действительным числам.
Расстояние между точками и наборами; Расстояние Хаусдорфа и метрика Громова
Простой способ построить функцию, отделяющую точку от замкнутого множества (как требуется для полностью регулярного пространства), - это учесть расстояние между точкой и множеством . Если метрическое пространство, является подмножеством из а также это точка , определим расстояние от к в виде
- где представляет нижнюю грань .
потом если и только если принадлежит к закрытию части. Кроме того, мы имеем следующее обобщение неравенства треугольника:
что, в частности, показывает, что карта непрерывно.
Учитывая два подмножества а также из , мы определяем их хаусдорфово расстояние как
- где представляет супремум .
В общем, расстояние Хаусдорфа может быть бесконечным. Два набора близки друг к другу на расстоянии Хаусдорфа, если каждый элемент любого набора близок к некоторому элементу другого набора.
Расстояние Хаусдорфа поворачивает набор всех непустых компактных подмножеств в метрическое пространство. Можно показать, что завершено, если завершено. (Другое понятие сходимости компактных подмножеств дает сходимость Куратовского .)
Затем можно определить расстояние Громова – Хаусдорфа между любыми двумя метрическими пространствами, рассматривая минимальное расстояние Хаусдорфа изометрически вложенных версий этих двух пространств. Используя это расстояние, класс всех (классов изометрии) компактных метрических пространств становится сам по себе метрическим пространством.
Метрические пространства продукта
Если метрические пространства, а - евклидова норма на, тогда является метрическим пространством, где метрика продукта определяется как
и индуцированная топология согласуется с топологией продукта . По эквивалентности норм в конечных размерностях эквивалентная метрика получается, если- норма такси , p-норма , максимальная норма или любая другая норма, которая не убывает как координаты положительного-кратное увеличение (что дает неравенство треугольника).
Точно так же счетное произведение метрических пространств может быть получено с помощью следующей метрики
Несчетное произведение метрических пространств не обязательно должно быть метризуемым. Например,не исчисляема первым и, следовательно, не метризуема.
Непрерывность расстояния
В случае одиночного пространства , карта расстояний (из определения ) равномерно непрерывна относительно любой из вышеперечисленных метрик продукта, и, в частности, является непрерывным по отношению к топологии произведения .
Факторметрические пространства
Если M - метрическое пространство с метрикой, а также является отношением эквивалентности на, то можно наделить фактормножеством с псевдометрическим. Учитывая два класса эквивалентности а также , мы определяем
где нижняя грань берется по всем конечным последовательностям а также с участием , , . В общем, это будет определять только псевдометрический , т.е. не обязательно означает, что . Однако для некоторых отношений эквивалентности (например, тех, которые задаются склейкой многогранников по граням), это метрика.
Факторметрика характеризуется следующим универсальным свойством . Если- это метрическая карта между метрическими пространствами (т. е. для всех , ) удовлетворение в любое время то индуцированная функция , данный , является метрической картой
Топологическое пространство секвенциально тогда и только тогда, когда оно является фактором метрического пространства. [11]
Обобщения метрических пространств
- Каждое метрическое пространство является однородным пространством естественным образом, и каждое равномерное пространство естественно является топологическим пространством . Поэтому равномерные и топологические пространства можно рассматривать как обобщения метрических пространств.
- Ослабление требования, чтобы расстояние между двумя различными точками было ненулевым, приводит к концепциям псевдометрического пространства или смещенного метрического пространства. [12] Отбросив требование симметрии, мы приходим к квазиметрическому пространству . Замена неравенства треугольника более слабой формой приводит к полуметрическим пространствам .
- Если функция расстояния принимает значения в расширенной действительной числовой строке , но в остальном удовлетворяет условиям метрики, то она называется расширенной метрикой, а соответствующее пространство - метрикой.-метрическое пространство . Если функция расстояния принимает значения в некотором (подходящем) упорядоченном множестве (и неравенство треугольника корректируется соответствующим образом), то мы приходим к понятию обобщенной ультраметрики . [12]
- Пространства подхода - это обобщение метрических пространств, основанное на расстояниях от точки к точке, а не на расстояниях от точки к точке.
- Пространство непрерывности является обобщением метрических пространств и ч.у.м. , которые могут быть использованы , чтобы объединить понятия метрических пространств и областей .
- Частичное метрическое пространство призвано быть наименьшим обобщением понятия метрического пространства, так что расстояние каждой точки от самой себя больше не обязательно равно нулю. [13]
Метрические пространства как обогащенные категории
Заказанный набор можно рассматривать как категорию , запрашивая ровно один морфизм если и никак иначе. Используякак тензорное произведение икак тождество , становится моноидальной категорией . Каждое метрическое пространство теперь можно рассматривать как категорию обогащается более:
- Набор
- Для каждого набор
- Морфизм композиции будет уникальным морфизмом в заданный из неравенства треугольника
- Морфизм идентичности будет уникальным морфизмом, полученным из того факта, что .
- С является упорядоченным набором, все диаграммы , необходимые для обогащенной категории, коммутируются автоматически.
См. Статью Ф. В. Ловера, указанную ниже.
Смотрите также
- Проблема Александрова – Рассиаса
- Категория метрических пространств
- Классическое винеровское пространство
- Картирование сокращения - функция уменьшения расстояния между всеми точками
- Глоссарий римановой и метрической геометрии - Математический глоссарий
- Гильбертово пространство - математическое обобщение евклидова пространства до бесконечных измерений
- Четвертая проблема Гильберта
- Изометрия
- Расстояние Ли
- Липшицева непрерывность - сильная форма равномерной непрерывности
- Мера (математика) - Обобщение длины, площади, объема и интеграла
- Метрика (математика) - математическая функция, определяющая расстояние
- Метрическая карта
- Сигнатура метрики - количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений метрического тензора
- Метрический тензор
- Метрическое дерево
- Норма (математика) - Длина в векторном пространстве
- Нормированное векторное пространство - Векторное пространство, на котором определено расстояние.
- Метрика продукта
- Пространство (математика) - математический набор с некоторой дополнительной структурой.
- Неравенство треугольника - свойство геометрии, также используется для обобщения понятия «расстояние» в метрических пространствах.
- Ультраметрическое пространство - Тип метрического пространства
Рекомендации
- ^ Рендик. Circ. Мат. Палермо 22 (1906) 1–74
- ^ Б. Чудхари (1992). Элементы комплексного анализа . Нью Эйдж Интернэшнл. п. 20. ISBN 978-81-224-0399-2.
- ^ Хубер, Клаус (январь 1994 г.) [1993-01-17, 1992-05-21]. «Коды над гауссовскими целыми числами» . IEEE Transactions по теории информации . 40 (1): 207–216. DOI : 10.1109 / 18.272484 . eISSN 1557-9654 . ISSN 0018-9448 . S2CID 195866926 . Идентификатор журнала IEEE 9215213. Архивировано (PDF) из оригинала 17 декабря 2020 года . Проверено 17 декабря 2020 . [1] [2] (1 + 10 страниц) (NB. Эта работа была частично представлена на конференции CDS-92, Калининград, Россия, 7 сентября 1992 г., а также на симпозиуме IEEE по теории информации, Сан-Антонио, Техас, США). США.)
- ^ Стрэнг, Томас; Дамманн, Армин; Рёкль, Матиас; Пласс, Саймон (октябрь 2009 г.). Использование кодов Грея в качестве идентификаторов местоположения (PDF) . 6. GI / ITG KuVS Fachgespräch Ortsbezogen Anwendungen und Dienste (на английском и немецком языках). Оберпфаффенхофен, Германия: Институт связи и навигации, Немецкий аэрокосмический центр (DLR). CiteSeerX 10.1.1.398.9164 . Архивировано (PDF) из оригинала на 2015-05-01 . Проверено 16 декабря 2020 . Текстовое резюме (PDF) .(5/8 страниц) [3]
- ^ Натан Линиал . Конечные метрические пространства - комбинаторика, геометрия и алгоритмы , Труды ICM, Пекин, 2002, т. 3, pp573–586. Архивировано 2 мая 2018 г. в Wayback Machine.
- ↑ Открытые задачи о вложениях конечных метрических пространств , под редакцией Иржи Матушека, 2007 г. Архивировано 26 декабря 2010 г. в Wayback Machine
- ^ Searcóid, стр. 107 .
- ^ «PlanetMath: компактное метрическое пространство является вторым счетным» . planetmath.org . Архивировано 05 февраля 2009 года . Проверено 2 мая 2018 .
- ^ Рудин, Мэри Эллен. Новое доказательство того, что метрические пространства паракомпактны. Архивировано 12 апреля 2016 года в Wayback Machine . Труды Американского математического общества, Vol. 20, No. 2 (февраль 1969 г.), стр. 603.
- ^ «метрические пространства хаусдорфовы» . PlanetMath .
- ^ Горхэм, Энтони. Последовательная сходимость в топологических пространствах. Архивировано 4 июня 2011 г. в Wayback Machine . Диплом с отличием, Королевский колледж, Оксфорд (апрель 2001 г.), стр. 14
- ^ а б Паскаль Хитцлер ; Энтони Седа (19 апреля 2016). Математические аспекты семантики логического программирования . CRC Press. ISBN 978-1-4398-2962-2.
- ^ «Частичные метрики: добро пожаловать» . www.dcs.warwick.ac.uk . Архивировано 27 июля 2017 года . Проверено 2 мая 2018 .
дальнейшее чтение
- Виктор Брайант, Метрические пространства: итерация и применение , Cambridge University Press , 1985, ISBN 0-521-31897-1 .
- Дмитрий Бураго, Ю. Д. Бураго , Сергей Иванов, Курс метрической геометрии , Американское математическое общество, 2001, ISBN 0-8218-2129-6 .
- Атанас Пападопулос, Метрические пространства, выпуклость и неположительная кривизна , Европейское математическое общество , Первое издание 2004 г., ISBN 978-3-03719-010-4 . Издание второе 2014 г., ISBN 978-3-03719-132-3 .
- Мичел-Сиркоид , Метрические пространства , Серия Springer по математике для студентов , 2006 г., ISBN 1-84628-369-8 .
- Ловер, Ф. Уильям, "Метрические пространства, обобщенная логика и замкнутые категории", [Rend. Сем. Мат. Fis. Milano 43 (1973), 135–166 (1974); (Итальянское резюме)
Это перепечатано (с комментариями автора) в Reprints in Theory and Applications of Categories Также (с комментариями автора) в Enriched Categories в логике геометрии и анализа. Repr. Теория Appl. Категория № 1 (2002), 1–37.
- Вайсштейн, Эрик В. «Метрика продукта» . MathWorld .
Внешние ссылки
- «Метрическое пространство» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Далеко и близко - несколько примеров функций расстояния в разорванном узле .