В топологии и смежных отраслей математики , разделенных множеств являются пары подмножеств данного топологического пространства , которые связаны друг с другом определенным образом: примерно не говоря, ни перекрытия , ни соприкасались. Понятие того, когда два множества разделены или нет, важно как для понятия связных пространств (и их связных компонентов), так и для аксиом разделения для топологических пространств.
Разделенные наборы не следует путать с разделенными пробелами (определенными ниже), которые в некоторой степени связаны, но отличаются друг от друга. Разделимые пространства - это снова совершенно другое топологическое понятие.
Определения
Существуют различные способы, которыми два подмножества топологического пространства X можно считать разделенными.
- A и B не пересекаются, если их пересечение - пустое множество . Это свойство не имеет ничего общего с топологией как таковой, а только с теорией множеств . Он включен сюда, потому что он самый слабый в череде различных понятий. Дополнительные сведения о дизъюнктности в целом см. В разделе Непересекающиеся множества .
- И B являются разделены в X , если каждый не пересекается с другого закрытия . Сами замыкания не обязательно должны быть отделены друг от друга; например, интервалы [0,1) и (1,2] разделены на вещественной прямой R , даже если точка 1 принадлежит обоим их замыканиям. Более общий пример - это то, что в любом метрическом пространстве два открытых шара B r (x 1 ) = {y: d (x 1 , y) < r } и B s (x 2 ) = {y: d (x 2 , y) < s } разделяются всякий раз, когда d (x 1 , x 2 ) ≥ r + s . Отметим, что любые два разделенных множества автоматически должны быть не пересекающимися.
- И B являются отделены друг от окрестностей , если существуют окрестности U из А и В из B таким образом, что U и V не пересекаются. (Иногда вы увидите требование, чтобы U и V были открытыми окрестностями, но в конечном итоге это не имеет значения.) Для примера A = [0,1) и B = (1,2] вы можете взять U = (-1,1) и V = (1,3). Обратите внимание, что если любые два набора разделены окрестностями, то, безусловно, они разделены. Если A и B открыты и не пересекаются, то они должны быть разделены окрестностями; просто возьмем U = A и V = B. По этой причине разделенность часто используется с замкнутыми множествами (как в обычной аксиоме разделения ).
- И B являются отделены друг от замкнутых окрестностей , если существует замкнутая окрестность U из А и замкнутая окрестность V из B таким образом, что U и V не пересекаются. Наши примеры, [0,1) и (1,2], не разделены замкнутыми окрестностями. Вы можете сделать либо U, либо V замкнутыми, включив в него точку 1, но вы не можете сделать их оба закрытыми, не пересекая их. Обратите внимание, что если любые два набора разделены замкнутыми окрестностями, то, безусловно, они разделены окрестностями.
- И B являются отделены друг от друга функции , если существует непрерывная функция F из пространства X на вещественной прямой R такой , что F ( ) = {0} и F ( B ) = {1}. (Иногда вы увидите единичный интервал [0,1], используемый вместо R в этом определении, но это не имеет значения.) В нашем примере [0,1) и (1,2] не разделены функцией , потому что не существует никакого способа , чтобы непрерывно определить F в точке 1. Отметим , что если любые два множества отделены друг от друга функции, то они также отделены друг от замкнутых окрестностей; окрестности могут быть даны в терминах прообраза из F , как U : = f −1 [- e , e ] и V : = f −1 [1- e , 1 + e ], если e является положительным вещественным числом меньше 1/2.
- И B имеют точно отделены друг от друга функции , если существует непрерывная функция F из X в R такой , что F -1 (0) = A и F -1 (1) = B . (Опять же, вы также можете увидеть единичный интервал вместо R , и опять же это не имеет значения.) Обратите внимание, что если любые два набора точно разделены функцией, то, безусловно, они разделены функцией. Поскольку {0} и {1} замкнуты в R , только замкнутые множества могут быть точно разделены функцией, но только потому, что два множества замкнуты и разделены функцией, не означает, что они автоматически точно разделяются функцией. (даже другая функция).
Отношение к аксиомам разделения и разделенным пространствам
Эти аксиомы разделения являются различные условия, которые иногда наложенные на топологических пространствах, многие из которых могут быть описаны в терминах различных типов , разделенных множеств. В качестве примера мы определим аксиому T 2 , которая является условием, наложенным на разделенные пространства. В частности, топологическое пространство разделяется, если для любых двух различных точек x и y одноэлементные множества { x } и { y } разделены окрестностями.
Разделенные пространства также называют хаусдорфовы пространства или Т 2 пространств . Дальнейшее обсуждение разделенных пространств можно найти в статье « Хаусдорфово пространство» . Общее обсуждение различных аксиом разделения можно найти в статье Аксиома разделения .
Отношение к связанным пространствам
Учитывая топологическое пространство X , иногда полезно рассмотреть, возможно ли отделить подмножество A от его дополнения . Это, конечно, верно, если A - либо пустое множество, либо все пространство X , но могут быть и другие возможности. Топологическое пространство X является связано , если только эти две возможности. И наоборот, если непустое подмножество отделено от своего собственного дополнения, и если только подмножество из А , чтобы разделить это свойство является пустым множеством, то является открытым компонентом связности из X . (В вырожденном случае, когда X само является пустым множеством власти расходятся во мнениях относительно того, связано и ли является компонентом с открытой связью самого себя.)
Для получения дополнительной информации о связанных пространствах см. Связанное пространство .
Отношение к топологически различимым точкам
Учитывая топологическое пространство X , две точки х и у являются топологически различимы , если существует открытое множество , что одна точка принадлежит , но с другой точки нет. Если x и y топологически различимы, то одноэлементные множества { x } и { y } не должны пересекаться. С другой стороны, если синглтоны { x } и { y } разделены, то точки x и y должны быть топологически различимы. Таким образом, для синглтонов топологическая различимость является условием между дизъюнктностью и разделенностью.
Дополнительные сведения о топологически различимых точках см. В разделе Топологическая различимость .
Источники
- Стивен Уиллард, Общая топология , Addison-Wesley, 1970. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (издание Dover).