Производное тензорное произведение

В алгебре, заданной дифференциальной градуированной алгеброй A над коммутативным кольцом R , производный функтор тензорного произведения имеет вид

${\ displaystyle - \ otimes _ {A} ^ {\ textbf {L}} -: D ({\ mathsf {M}} _ {A}) \ times D ({} _ {A} {\ mathsf {M} }) \ to D ({} _ {R} {\ mathsf {M}})}$

где и - категории правых A -модулей и левых A -модулей, а D относится к гомотопической категории (т. е. производной категории ). ^[1] По определению, это левый производный функтор от функтора тензорного произведения .${\ displaystyle {\ mathsf {M}} _ {A}}$${\ displaystyle {} _ {A} {\ mathsf {M}}}$ ${\ displaystyle - \ otimes _ {A} -: {\ mathsf {M}} _ {A} \ times {} _ {A} {\ mathsf {M}} \ to {} _ {R} {\ mathsf { M}}}$

Производное тензорное произведение в теории производных колец [ править ]

Если R - обычное кольцо и над ним M , N правых и левых модулей, то, рассматривая их как дискретные спектры, можно образовать их smash-произведение:

${\ displaystyle M \ otimes _ {R} ^ {L} N}$

чья i -я гомотопия является i -м Тором:

${\ displaystyle \ pi _ {i} (M \ otimes _ {R} ^ {L} N) = \ operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (M, N)}$.

Это называется полученный тензорное произведение из M и N . В частности, является обычным тензорным произведением модулей М и N над R .${\ displaystyle \ pi _ {0} (M \ otimes _ {R} ^ {L} N)}$

Геометрически производное тензорное произведение соответствует произведению пересечения ( производных схем ).

Пример : Пусть R - симплициальное коммутативное кольцо, Q ( R ) → R - кофибрантная замена и модуль кэлеровых дифференциалов. потом${\ Displaystyle \ Omega _ {Q (R)} ^ {1}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {L} _ {R} = \ Omega _ {Q (R)} ^ {1} \ otimes _ {Q (R)} ^ {L} R}$

представляет собой R - модуль называется котангенсом комплекса R . Он функториален в R : каждое R → S порождает . Тогда для каждого R → S существует последовательность кораллов S -модулей${\displaystyle \mathbb {L} _{R}\to \mathbb {L} _{S}}$

${\displaystyle \mathbb {L} _{S/R}\to \mathbb {L} _{R}\otimes _{R}^{L}S\to \mathbb {L} _{S}.}$

Кофайбер называется комплексом относительного котангенса.${\displaystyle \mathbb {L} _{S/R}}$

См. Также [ править ]

• производная схема (производное тензорное произведение дает производную версию теоретико-схемного пересечения .)

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Лурье Дж. Спектрально-алгебраическая геометрия (в разработке).
• Лекция 4 части II книги Мурдейк-Тоена, Симплициальные методы для опер и алгебраической геометрии
• Гл. 2.2. из Тоэн-Vezzosi в ППЗ II

Эта статья по алгебраической геометрии незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• t
• e