Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( Июнь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , и особенно в области теории гомотопий , теорема Фрейденталя о подвешивании является фундаментальным результатом, ведущим к концепции стабилизации гомотопических групп и, в конечном итоге, к стабильной теории гомотопий . Это объясняет поведение одновременного взятия подвесок и увеличения индекса гомотопических групп рассматриваемого пространства. Это было доказано в 1937 году Гансом Фройденталем .
Теорема является следствием теоремы о гомотопическом вырезании .
Формулировка теоремы [ править ]
Пусть X - n- связное точечное пространство (точечный CW-комплекс или точечное симплициальное множество ). Карта
индуцирует карту
на гомотопических группах, где Ω обозначает функтор петель, а Σ обозначает приведенный функтор надстройки . Теорема о надстройке утверждает, что индуцированное отображение на гомотопических группах является изоморфизмом, если k ≤ 2 n, и эпиморфизмом, если k = 2 n + 1.
Основной результат о пространствах циклов дает соотношение
так что иначе теорему можно было бы сформулировать в терминах отображения
с небольшой оговоркой, что в этом случае нужно быть осторожным с индексацией.
Доказательство [ править ]
Как упоминалось выше, теорема Фрейденталя о приостановке быстро следует из гомотопического вырезания ; это доказательство проводится в терминах естественного отображения . Если пространство является связным, то пара пространств является связным, где это приведенное конус над ; это следует из относительной гомотопической длинной точной последовательности . Мы можем разложить на две копии , скажем , пересечение . Тогда гомотопическое вырезание говорит, что карта включения:
индуцирует изоморфизмы на и сюръекцию на . Из той же относительно длинной точной последовательности, и поскольку, кроме того, конусы стягиваются,
Собирая все вместе, получаем
для , то есть , как заявлено выше; поскольку левое и правое отображения являются изоморфизмами, независимо от того, насколько они связаны , а средний - это сюръекция путем вырезания, так что композиция является сюръекцией, как заявлено.
Следствие 1 [ править ]
Пусть S п обозначим п -сферы и к сведению , что ( п - 1) связным так , что группы стабилизироваться по теореме Фрейденталя. Эти группы представляют собой k- ю стабильную гомотопическую группу сфер .
Следствие 2 [ править ]
В более общем смысле, для фиксированного k ≥ 1, k ≤ 2 n для достаточно большого n , так что любое n- связное пространство X будет иметь соответствующие стабилизированные гомотопические группы. Эти группы фактически являются гомотопическими группами объекта, соответствующего X в стабильной гомотопической категории .
Ссылки [ править ]
- Фройденталь, Х. (1938), "Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen" , Compositio Mathematica , 5 : 299–314.
- Goerss, PG; Jardine, JF (1999), Simplicial Homotopy Theory , Progress in Mathematics, 174 , Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser.
- Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0.
- Уайтхед, ГВт (1953), "О Фрейденталя теоремы", Анналы математики , 57 (2): 209-228, DOI : 10,2307 / 1969855 , JSTOR 1969855 , МР 0055683.