Теорема Фрейденталя о подвеске

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , и особенно в области теории гомотопий , теорема Фрейденталя о подвешивании является фундаментальным результатом, ведущим к концепции стабилизации гомотопических групп и, в конечном итоге, к стабильной теории гомотопий . Это объясняет поведение одновременного взятия подвесок и увеличения индекса гомотопических групп рассматриваемого пространства. Это было доказано в 1937 году Гансом Фройденталем .

Теорема является следствием теоремы о гомотопическом вырезании .

Формулировка теоремы [ править ]

Пусть X - n- связное точечное пространство (точечный CW-комплекс или точечное симплициальное множество ). Карта

${\ Displaystyle X \ к \ Omega (\ Sigma X)}$

индуцирует карту

${\ displaystyle \ pi _ {k} (X) \ to \ pi _ {k} (\ Omega (\ Sigma X))}$

на гомотопических группах, где Ω обозначает функтор петель, а Σ обозначает приведенный функтор надстройки . Теорема о надстройке утверждает, что индуцированное отображение на гомотопических группах является изоморфизмом, если k ≤ 2 n, и эпиморфизмом, если k = 2 n + 1.

Основной результат о пространствах циклов дает соотношение

${\displaystyle \pi _{k}(\Omega (\Sigma X))\cong \pi _{k+1}(\Sigma X)}$

так что иначе теорему можно было бы сформулировать в терминах отображения

${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k+1}(\Sigma X),}$

с небольшой оговоркой, что в этом случае нужно быть осторожным с индексацией.

Доказательство [ править ]

Как упоминалось выше, теорема Фрейденталя о приостановке быстро следует из гомотопического вырезания ; это доказательство проводится в терминах естественного отображения . Если пространство является связным, то пара пространств является связным, где это приведенное конус над ; это следует из относительной гомотопической длинной точной последовательности . Мы можем разложить на две копии , скажем , пересечение . Тогда гомотопическое вырезание говорит, что карта включения: ${\displaystyle \pi _{k}(X)\to \pi _{k+1}(\Sigma X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (CX,X)}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle CX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma X}$${\displaystyle CX}$${\displaystyle (CX)_{+},(CX)_{-}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle ((CX)_{+},X)\subset (\Sigma X,(CX)_{-})}$

индуцирует изоморфизмы на и сюръекцию на . Из той же относительно длинной точной последовательности, и поскольку, кроме того, конусы стягиваются, ${\displaystyle \pi _{i},i<2n+2}$${\displaystyle \pi _{2n+2}}$${\displaystyle \pi _{i}(X)=\pi _{i+1}(CX,X),}$

${\displaystyle \pi _{i}(\Sigma X,(CX)_{-})=\pi _{i}(\Sigma X).}$

Собирая все вместе, получаем

${\displaystyle \pi _{i}(X)=\pi _{i+1}((CX)_{+},X)=\pi _{i+1}((\Sigma X,(CX)_{-})=\pi _{i+1}(\Sigma X)}$

для , то есть , как заявлено выше; поскольку левое и правое отображения являются изоморфизмами, независимо от того, насколько они связаны , а средний - это сюръекция путем вырезания, так что композиция является сюръекцией, как заявлено.${\displaystyle i+1<2n+2}$${\displaystyle i\leqslant 2n}$${\displaystyle i=2n+1}$${\displaystyle X}$

Следствие 1 [ править ]

Пусть S ^п обозначим п -сферы и к сведению , что ( п - 1) связным так , что группы стабилизироваться по теореме Фрейденталя. Эти группы представляют собой k- ю стабильную гомотопическую группу сфер .${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$${\displaystyle n\geqslant k+2}$

Следствие 2 [ править ]

В более общем смысле, для фиксированного k ≥ 1, k ≤ 2 n для достаточно большого n , так что любое n- связное пространство X будет иметь соответствующие стабилизированные гомотопические группы. Эти группы фактически являются гомотопическими группами объекта, соответствующего X в стабильной гомотопической категории .

Ссылки [ править ]

• Фройденталь, Х. (1938), "Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen" , Compositio Mathematica , 5 : 299–314.
• Goerss, PG; Jardine, JF (1999), Simplicial Homotopy Theory , Progress in Mathematics, 174 , Basel-Boston-Berlin: Birkhäuser.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0.
• Уайтхед, ГВт (1953), "О Фрейденталя теоремы", Анналы математики , 57 (2): 209-228, DOI : 10,2307 / 1969855 , JSTOR  1969855 , МР  0055683.