Пространство петли

В топологии , ветвь математики , то пространство петель Ω X из заостренного топологического пространства X является пространством ( на основе) петель в X , т.е. непрерывные заостренные карты из заостренной окружности S ¹ к X , наделенная компактно-открытой топологии . Две петли можно умножить конкатенацией . Благодаря этой операции пространство петель становится A _∞ -пространством . То есть умножение гомотопически-когерентно ассоциативно .

Набор из компонентов пути из Ом X , т.е. множества на основе-гомотопических классов эквивалентности петель , основанных на X , является группой , то фундаментальная группа π ₁ ( X ).

В итерированных пространствах петель из X формируется путем применения Ом несколько раз.

Аналогичная конструкция существует для топологических пространств без базовой точки. Пространство свободных петель топологического пространства X - это пространство отображений окружности S ¹ в X с компактно-открытой топологией. Свободное пространство петель X часто обозначается как . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} X}$

Как функтор , конструкция свободного пространства петель сопряжена справа с декартовым произведением на окружность, а конструкция пространства петель сопряжена справа с приведенной надстройкой . Это присоединение во многом объясняет важность пространств петель в стабильной теории гомотопий . (Родственное явление в информатике - каррирование , когда декартово произведение присоединяется к функтору hom .) Неформально это называется двойственностью Экмана – Хилтона .

Двойственность Экмана – Хилтона [ править ]

Петлевое пространство является двойным подвесу того же самого пространства; эту двойственность иногда называют двойственностью Экмана – Хилтона . Основное наблюдение состоит в том, что

{\ Displaystyle [\ Sigma Z, X] \ приблизительно [Z, \ Omega X]}

где - множество гомотопических классов отображений , - надстройка A, и обозначает естественный гомеоморфизм . Этот гомеоморфизм по сути является гомеоморфизмом каррирования по модулю частных, необходимых для преобразования продуктов в восстановленные продукты. ${\ displaystyle [A, B]}$ ${\ displaystyle A \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle \ Sigma A}$ ${\ Displaystyle \ приблизительно}$

В общем, не имеет групповой структуры для произвольных пространств и . Однако, можно показать , что и есть естественные групповые структуры , когда и являются остроконечными , и вышеупомянутым изоморфизм этих групп. ^[1] Таким образом, установка ( сфера) дает отношение ${\ displaystyle [A, B]}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle [\ Sigma Z, X]}$ $[Z,\Omega X]$ $Z$ $X$ $Z=S^{k-1}$ $k-1$

\pi _{k}(X)\approxeq \pi _{k-1}(\Omega X)

.

Это следует из того, что гомотопическая группа определяется как и сферы могут быть получены посредством подвешивания друг друга, т . Е. ^[2] $\pi _{k}(X)=[S^{k},X]$ $S^{k}=\Sigma S^{k-1}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

↑ May, JP (1999), Краткий курс алгебраической топологии (PDF) , U. Chicago Press, Чикаго , получено 27 августа 2016 г. (См. Главу 8, раздел 2)
^ Topospaces wiki - Пространство петель основанного топологического пространства

Адамс, Джон Франк (1978), Бесконечные пространства петель , Анналы математических исследований, 90 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08207-3, Руководство по ремонту 0505692
Мэй, Дж. Питер (1972), Геометрия итерированных пространств петель , Конспект лекций по математике, 271 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0067491 , ISBN 978-3-540-05904-2, Руководство по ремонту 0420610

[may-1] May, JP (1999), Краткий курс алгебраической топологии (PDF) , U. Chicago Press, Чикаго , получено 27 августа 2016 г. (См. Главу 8, раздел 2)

[2] Topospaces wiki - Пространство петель основанного топологического пространства

[1]