Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , то гомотопическая категория является категорией построена из категории топологических пространств , которые в некотором смысле определяет два пространства , которые имеют такую же форму. Эта фраза фактически используется для двух разных (но связанных) категорий, как обсуждается ниже.

В более общем плане, вместо того, чтобы начинать с категории топологических пространств, можно начать с любой модельной категории и определить связанную с ней гомотопическую категорию с конструкцией, введенной Квилленом в 1967 году. Таким образом, теория гомотопии может быть применена ко многим другим категориям в геометрия и алгебра.

Категория наивных гомотопий [ править ]

Категория топологических пространств Top имеет объекты топологических пространств и морфизмам в непрерывных отображений между ними. Старое определение гомотопической категории hTop , названное наивной гомотопической категорией [1] для ясности в этой статье, имеет те же объекты, а морфизм - это гомотопический класс непрерывных отображений. То есть два непрерывных отображения f : X → Y считаются одинаковыми в категории наивных гомотопий, если одно можно непрерывно деформировать в другое. Есть функтор от Top до hTopкоторый отправляет пространства себе и морфизмы в их гомотопические классы. Отображение f : X → Y называется гомотопической эквивалентностью, если оно становится изоморфизмом в наивной гомотопической категории. [2]

Пример: окружность S 1 , плоскость R 2 без начала координат и лента Мёбиуса гомотопически эквивалентны, хотя эти топологические пространства не гомеоморфны .

Обозначение [ X , Y ] часто используется для набора морфизмов из пространства X в пространство Y в категории наивных гомотопий (но оно также используется для связанных категорий, обсуждаемых ниже).

Категория гомотопии, следуя Квиллену [ править ]

Квиллен (1967) подчеркнул другую категорию, которая еще больше упрощает категорию топологических пространств. Теоретикам гомотопии время от времени приходится работать с обеими категориями, но все согласны с тем, что версия Квиллена более важна, и поэтому ее часто называют просто «гомотопической категорией». [3]

Сначала определяется слабая гомотопическая эквивалентность : непрерывное отображение называется слабой гомотопической эквивалентностью, если оно индуцирует биекцию на множествах компонентов пути и биекцию на гомотопических группах с произвольными базовыми точками. Тогда (истинная) гомотопическая категория определяется путем локализациикатегория топологических пространств относительно слабых гомотопических эквивалентностей. То есть объекты по-прежнему являются топологическими пространствами, но для каждой слабой гомотопической эквивалентности добавляется обратный морфизм. Это приводит к тому, что непрерывное отображение становится изоморфизмом в гомотопической категории тогда и только тогда, когда оно является слабой гомотопической эквивалентностью. Существуют очевидные функторы из категории топологических пространств в наивную гомотопическую категорию (как определено выше), а оттуда в гомотопическую категорию.

Результаты Дж. Х. К. Уайтхеда , в частности теорема Уайтхеда и существование CW-аппроксимаций, [4] дают более явное описание гомотопической категории. А именно, гомотопическая категория эквивалентна в полную подкатегорию наивной гомотопической категории , которая состоит из ХО комплексов . В этом отношении гомотопическая категория снимает большую часть сложности с категорией топологических пространств.

Пример: пусть X будет набором натуральных чисел {0, 1, 2, ...} и пусть Y будет набором {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}, оба с топология подпространства от реальной прямой . Определите f :  X  →  Y , сопоставив 0 с 0 и n с 1 / n для положительных целых чисел n . Тогда f непрерывно и фактически является слабой гомотопической эквивалентностью, но не гомотопической эквивалентностью. Таким образом, наивная гомотопическая категория различает такие пространства, как X и Y , тогда как они становятся изоморфными в гомотопической категории.

Для топологических пространств X и Y обозначение [ X , Y ] может использоваться для набора морфизмов из X в Y либо в наивной гомотопической категории, либо в истинной гомотопической категории, в зависимости от контекста.

Пространства Эйленберга – Маклейна [ править ]

Одна из причин появления этих категорий состоит в том, что многие инварианты топологических пространств определены на наивной гомотопической категории или даже на истинной гомотопической категории. Например, для слабой гомотопической эквивалентности топологических пространств f : X → Y связанный гомоморфизм f * : H i ( X , Z ) → H i ( Y , Z ) групп особых гомологий является изоморфизмом для всех натуральных чисел i . [5] Отсюда следует, что для каждого натурального числа i особые гомологии Hi можно рассматривать как функтор из гомотопической категории в категорию абелевых групп. В частности, два гомотопических отображения из X в Y индуцируют один и тот же гомоморфизм на особых группах гомологий.

Особые когомологии обладают еще лучшим свойством: они являются представимым функтором в гомотопической категории. То есть для каждой абелевой группы A и натурального числа i существует CW-комплекс K ( A , i ), называемый пространством Эйленберга – Маклейна, и класс когомологий u в H i ( K ( A , i ), A ) такие, что результирующая функция

(давая потянув U обратно в X ) биективен для всех топологических пространств X . [6] Здесь [ X , Y ] следует понимать набор карт в подлинной гомотопической категории, если кто -то хочет это утверждение трюма для всех топологических пространств X . Это верно в наивной гомотопической категории, если X - комплекс CW.

Остроконечная версия [ править ]

Один из полезных вариантов - гомотопическая категория точечных пространств . Точечное пространство означает пару ( X , x ), где X - топологическое пространство, а x - точка в X , называемая базовой точкой. Категория Top * отмеченных пространств имеет объекты - отмеченные пространства, а морфизм f : X → Y - это непрерывное отображение, которое переводит базовую точку X в базовую точку Y. Наивная гомотопическая категория точечных пространств имеет те же объекты, а морфизмы - это гомотопические классы точечных отображений (что означает, что базовая точка остается фиксированной на протяжении всей гомотопии). Наконец, «истинная» гомотопическая категория отмеченных пространств получается из категории Top * инвертированием отмеченных отображений, которые являются слабыми гомотопическими эквивалентностями.

Для точечных пространств X и Y [ X , Y ] может обозначать набор морфизмов из X в Y в любой версии гомотопической категории точечных пространств, в зависимости от контекста.

Некоторые базовые конструкции в теории гомотопий естественным образом определяются на категории отмеченных пространств (или на соответствующей гомотопической категории), а не на категории пространств. Например, надстройка Σ X и пространство петель Ω X определены для точечного пространства X и образуют другое точечное пространство. Кроме того , разбивали продукт X ∧ Y представляет собой важный функтор заостренных пространств X и Y . Например, приостановка может быть определена как

Функторы надстройки и пространства петель образуют присоединенную пару функторов в том смысле, что существует естественный изоморфизм

для всех пространств X и Y.

Конкретные категории [ править ]

В то время как объекты гомотопической категории являются множествами (с дополнительной структурой), морфизмы - это не фактические функции между ними, а скорее классы функций (в категории наивных гомотопий) или «зигзаги» функций (в категории гомотопий). Действительно, Фрейд показал, что ни наивная гомотопическая категория точечных пространств, ни гомотопическая категория точечных пространств не являются конкретной категорией . То есть нет точного функтора из этих категорий в категорию множеств . [7]

Категории моделей [ править ]

Основная статья: Категория модели

Есть более общее понятие: гомотопическая категория модельной категории . Модельная категория - это категория C с тремя выделенными типами морфизмов, называемыми расслоениями , кофибрациями и слабыми эквивалентностями , удовлетворяющими нескольким аксиомам. Соответствующая гомотопическая категория определяется путем локализации C относительно слабых эквивалентностей.

Эта конструкция, примененная к модельной категории топологических пространств с ее стандартной модельной структурой (иногда называемой модельной структурой Квиллена), дает гомотопическую категорию, определенную выше. Многие другие модельные структуры были рассмотрены в категории топологических пространств, в зависимости от того, насколько нужно упростить категорию. Например, в структуре модели Гуревича на топологических пространствах ассоциированной гомотопической категорией является наивная гомотопическая категория, определенная выше. [8]

Одна и та же гомотопическая категория может возникнуть из многих различных категорий моделей. Важным примером является стандартная структура модели на симплициальных множествах : ассоциированная гомотопическая категория эквивалентна гомотопической категории топологических пространств, даже несмотря на то, что симплициальные множества являются комбинаторно определенными объектами, лишенными какой-либо топологии. Некоторые топологи предпочитают вместо этого работать с компактно порожденными слабыми хаусдорфовыми пространствами ; опять же, при стандартной структуре модели соответствующая гомотопическая категория эквивалентна гомотопической категории всех топологических пространств. [9]

В качестве более алгебраического примера модельной категории пусть A будет абелевой категорией Гротендика , например категорией модулей над кольцом или категорией пучков абелевых групп на топологическом пространстве. Тогда существует модельная структура на категории цепных комплексов объектов в A , причем слабые эквивалентности являются квазиизоморфизмами . [10] Полученная гомотопическая категория называется производной категорией D ( A ).

Наконец, стабильная гомотопическая категория определяется как гомотопическая категория, связанная с модельной структурой в категории спектров . Были рассмотрены различные категории спектров, но все принятые определения дают одну и ту же гомотопическую категорию.

Заметки [ править ]

  1. ^ Мэй и Понто (2012), стр. 395.
  2. ^ Хэтчер (2002), стр. 3.
  3. Перейти ↑ May & Ponto (2012), pp. Xxi – xxii.
  4. ^ Хэтчер (2002), теорема 4.5 и предложение 4.13.
  5. ^ Хэтчер (2002), предложение 4.21.
  6. ^ Хэтчер (2002), теорема 4.57.
  7. ^ Фрейд (1970).
  8. ^ Мэй и Понто (2012), раздел 17.1.
  9. ^ Хови (1999), теоремы 2.4.23 и 2.4.25.
  10. ^ Беке (2000), предложение 3.13.

Ссылки [ править ]

  • Беке, Тибор (2000), «Категории гомотопических моделей, которые можно объединить в пучок», Математические слушания Кембриджского философского общества , 129 (3): 447–473, arXiv : math / 0102087 , Bibcode : 2000MPCPS.129..447B , doi : 10.1017 / S0305004100004722 , МР  1780498 , S2CID  16563879
  • Дуайер, Уильям Дж .; Spaliński, J. (1995), "Гомотопические теории и категории моделей" (PDF) , Справочник по алгебраической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 73–126, MR  1361887
  • Фрейд, Питер (1970), «Гомотопия не конкретна» , Алгебра Стинрода и ее приложения , Лекционные заметки по математике, 168 , Springer-Verlag , MR  0276961
  • Хэтчер, Аллен (2001), алгебраическая топология , Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, MR  1867354
  • Хови, Марк (1999), Категории моделей (PDF) , Американское математическое общество , ISBN 0-8218-1359-5, Руководство по ремонту  1650134
  • May, JP ; Понто, К. (2012), Более краткая алгебраическая топология. Категории локализации, завершения и модели (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-51178-8, Руководство по ремонту  2884233