В математике теорема Брауна о представимости в теории гомотопий [1] дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы контравариантный функтор F на гомотопической категории Hotc точечно связных CW-комплексов в категорию множеств Set был представимым функтором .
В частности, нам дается
- F : Hotc op → Установить ,
и существуют некоторые, очевидно, необходимые условия для того, чтобы F имела тип Hom (-, C ), где C - точечно-связный CW-комплекс, который может быть выведен только из теории категорий . Формулировка основной части теоремы состоит в том, что этих необходимых условий тогда достаточно. По техническим причинам теорема часто формулируется для функторов категории отмеченных множеств ; другими словами, наборы также получают базовую точку.
Теорема Брауна о представимости комплексов CW
Теорема Представимость для CW комплексов, в связи с Эдгаром Г. Браун , [2] , состоит в следующем. Предположим, что:
- Функтор F отображает копроизведения (то есть суммы клина ) в Hotc на продукты в Set :
- Функтор F сопоставляет гомотопические выталкивания в Hotc со слабыми откатами . Это часто формулируется как аксиома Майера – Виеториса : для любого CW-комплекса W, покрываемого двумя подкомплексами U и V , и любых элементов u ∈ F ( U ), v ∈ F ( V ), таких что u и v ограничиваются одним и тем же элементом в F ( U ∩ V ) существует элемент w ∈ F ( W ), сужающийся на u и v соответственно.
Тогда F представимо некоторым CW-комплексом C , т. Е. Существует изоморфизм
- F ( Z ) ≅ Hom Hotc ( Z , C )
для любого CW-комплекса Z , что естественно в Z тем, что для любого морфизма из Z в другой CW-комплекс Y индуцированные отображения F ( Y ) → F ( Z ) и Hom Hot ( Y , C ) → Hom Hot ( Z , C ) согласованы с этими изоморфизмами.
Верно и обратное утверждение: любой функтор, представленный комплексом CW, удовлетворяет двум указанным выше свойствам. Это направление является непосредственным следствием базовой теории категорий, поэтому более глубокая и интересная часть эквивалентности - это другое следствие.
Можно показать, что представляющий объект C выше функториально зависит от F : любое естественное преобразование из F в другой функтор, удовлетворяющее условиям теоремы, обязательно индуцирует отображение представляющих объектов. Это следствие леммы Йонеды .
Принимая F ( X ) , чтобы быть сингулярной гомологии группы Н я ( Х , ) с коэффициентами в данной абелевой группе А , при фиксированном I > 0; тогда представляющим пространством для F является пространство Эйленберга – Маклейна K ( A , i ). Это дает возможность показать существование пространств Эйленберга-Маклейна.
Варианты
Поскольку гомотопическая категория CW-комплексов эквивалентна локализации категории всех топологических пространств в слабых гомотопических эквивалентностях , теорема может быть эквивалентно сформулирована для функторов в категории, определенной таким образом.
Однако теорема неверна без ограничения на связные отмеченные пространства, и аналогичное утверждение для неточечных пространств также неверно. [3]
Однако аналогичное утверждение верно для спектров вместо комплексов CW. Браун также доказал общекатегальную версию теоремы о представимости [4], которая включает как версию для точечно-связных комплексов CW, так и версию для спектров.
Версия теоремы о представимости в случае триангулированных категорий принадлежит Амнону Ниману. [5] Вместе с предыдущим замечанием он дает критерий (ковариантного) функтора F : C → D между триангулированными категориями, удовлетворяющего определенным техническим условиям наличия правого сопряженного функтора . А именно, если C и D - триангулированные категории с компактно порожденным C и F - триангулированным функтором, коммутирующим с произвольными прямыми суммами, то F - сопряженный слева. Нееман применил это к доказательству теоремы двойственности Гротендика в алгебраической геометрии.
Яков Лурье доказал версию теоремы Брауна представимости [6] для гомотопической категории заостренного quasicategory с компактным набором генераторов , которые являются объектами cogroup в гомотопической категории. Например, это относится к гомотопической категории точечно-связанных комплексов CW, а также к неограниченной производной категории абелевой категории Гротендика (с учетом более высокого категориального уточнения производной категории Лурье).
Рекомендации
- ^ Свитцер, Роберт М. (2002), Алгебраическая топология --- гомотопия и гомология , Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 152–157, ISBN 978-3-540-42750-6, Руководство по ремонту 1886843
- ^ Браун, Эдгар H. (1962), "Когомологические теории", Анналы математики , второй серии, 75 : 467-484, DOI : 10,2307 / 1970209 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970209 , MR 0138104
- ^ Фрейд, Питер; Геллер, Алекс (1993), ". Расщепление гомотопических идемпотенты II" Журнал теоретических и прикладная алгебра , 89 (1-2): 93-106, DOI : 10.1016 / 0022-4049 (93) 90088-б
- ^ Браун, Эдгар H. (1965), "Абстрактная теория Гомотопический" , Труды Американского математического общества , 119 (1): 79-85, DOI : 10,2307 / 1994231
- ^ Нееман, Амнон (1996), «Теорема двойственности Гротендик с помощью методов Боусфилд и коричневой представимости» , журнал Американского математического общества , 9 (1): 205-236, да : 10.1090 / S0894-0347-96-00174-9 , ISSN 0894-0347 , MR 1308405
- ^ Лурье, Якоб (2011), Высшая алгебра (PDF) , архивировано из оригинала (PDF) 09.06.2011