В математике , в частности алгебраической топологии , то отображение цилиндра [1] из непрерывной функции между топологическими пространствами а также это частное
где обозначает несвязные , а \ является отношение эквивалентности генерируется путем
То есть цилиндр отображения получается склейкой одного конца к через карту . Обратите внимание, что «верх» цилиндраявляется гомеоморфно к, а «дно» - это пробел . Обычно пишут для , и использовать обозначения или же для построения отображающего цилиндра. То есть пишут
с нижним индексом чашки, обозначающим эквивалентность. Цилиндр отображения обычно используется для построения конуса отображения , полученный путем сжатия одного конца цилиндра в точку. Отображение цилиндров занимает центральное место в определении кофибраций .
Основные свойства
Нижняя Y является деформационным ретрактом из. Проекция разделяется (через ), а деформационный ретракт дан кем-то:
(где точки в оставаться на месте, потому что для всех ).
Карта является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда «вершина» сильный деформационный отвод . [2] Может быть получена явная формула для сильной деформации ретракции. [3]
Примеры
Отображающий цилиндр пучка волокон
Для пучка волокон с волокном цилиндр отображения
имеет отношение эквивалентности
для . Затем есть каноническая карта, отправляющая точку к точке , давая пучок волокон
чье волокно - конус . Чтобы увидеть это, обратите внимание на волокно над точкой факторпространство
где каждая точка в эквивалентно.
Интерпретация
Цилиндр отображения можно рассматривать как способ заменить произвольное отображение эквивалентным слоем в следующем смысле:
Учитывая карту цилиндр отображения - это пространство , Вместе с корасслоениеми сюръективная гомотопическая эквивалентность ( на самом деле, Y является деформационным ретрактом из), так что композиция равно f .
Таким образом, пространство Y заменяется гомотопически эквивалентным пространством, а отображение f с приподнятым отображением. Эквивалентно диаграмма
заменяется диаграммой
вместе с гомотопической эквивалентностью между ними.
Конструкция служит для замены любого отображения топологических пространств гомотопически эквивалентным корасслоением.
Обратите внимание, что поточечное расслоение является замкнутым включением .
Приложения
Картографические цилиндры - довольно распространенные гомотопические инструменты. Одно из применений цилиндров отображения - применение теорем о включениях пространств к общим отображениям, которые могут быть не инъективными .
Следовательно, теоремы или методы (такие как гомология , когомология или теория гомотопий ), которые зависят только от гомотопического класса пространств и задействованных отображений, могут быть применены к с предположением, что и это фактически является включением подпространства .
Другая, более интуитивная привлекательность конструкции состоит в том, что она согласуется с обычным мысленным представлением о функции как о «отправляющих» точках к пунктам и, следовательно, вложения в несмотря на то, что функция не обязательно должна быть однозначной.
Категориальное применение и интерпретация
Цилиндр отображения можно использовать для построения гомотопических копределов : [ цитата необходима ] это следует из общего утверждения, что любая категория со всеми выталкивающими элементами и коэквалайзерами имеет все копределы . То есть, учитывая диаграмму, замените карты кофибрациями (используя цилиндр отображения), а затем воспользуйтесь обычным поточечным пределом (нужно проявить немного больше осторожности, но цилиндры отображения являются компонентом).
И наоборот, цилиндр отображения является гомотопическим выталкиванием диаграммы, где а также .
Картографический телескоп
Учитывая последовательность карт
картографический телескоп - это прямой гомотопический предел . Если все карты уже являются кофибрациями (например, для ортогональных групп ), то прямым пределом является объединение, но в общем случае необходимо использовать картографический телескоп. Картографический телескоп представляет собой последовательность картографических цилиндров, соединенных встык. На картинке конструкция выглядит как стопка все более крупных цилиндров, как телескоп.
Формально это определяется как
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Хэтчер, Аллен (2003). Алгебраическая топология . Кембридж: Cambridge Univ. Пр. п. 2 . ISBN 0-521-79540-0.
- ^ Хэтчер, Аллен (2003). Алгебраическая топология . Кембридж: Cambridge Univ. Пр. п. 15 . ISBN 0-521-79540-0.
- ^ Агуадо, Алекс. «Краткое замечание по нанесению на карту цилиндров». arXiv : 1206.1277 [ math.AT ].
- Мэй, JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-2265-1183-2.