В теории категории , ветвь математики , А откат (также называемый Волокнистый продукт , Волокнистый продукт , расслаивается продукт или декартовым квадратом ) является пределом из диаграммы , состоящей из двух морфизмов F : X → Z и г : Y → Z с общий кодомен. Часто пишут откат
- P = X × Z Y
и оснащен двумя естественными морфизмов Р → X и P → Y . Обратный вызов двух морфизмов f и g может не существовать, но если он существует, он по существу однозначно определяется этими двумя морфизмами. Во многих ситуациях X × Z Y можно интуитивно представить как состоящий из пар элементов ( x , y ), где x находится в X , y в Y и f ( x ) = g ( y ) . Для общего определения используется универсальное свойство , которое по существу выражает тот факт, что обратный вызов - это «самый общий» способ дополнить два данных морфизма до коммутативного квадрата .
Двойное понятие о откате является Кодекартов Квадрат .
Универсальная собственность
Явно обратный образ морфизмов f и g состоит из объекта P и двух морфизмов p 1 : P → X и p 2 : P → Y, для которых диаграмма
ездит на работу . Причем откат ( P , p 1 , p 2 ) должен быть универсальным по отношению к этой диаграмме. [1] То есть для любой другой такой тройки ( Q , q 1 , q 2 ), где q 1 : Q → X и q 2 : Q → Y - морфизмы с f q 1 = g q 2 , должен существовать единственный u : Q → P такая, что
Эта ситуация проиллюстрирована следующей коммутативной диаграммой.
Как и все универсальные конструкции, откат, если он существует, уникален с точностью до изоморфизма . Фактически, учитывая два отката ( A , a 1 , a 2 ) и ( B , b 1 , b 2 ) одного и того же коспана X → Z ← Y , существует единственный изоморфизм между A и B относительно структуры обратного вызова .
Откат и продукт
Откат похож на товар , но не такой. Можно получить продукт с помощью «забывает» , что морфизмы е и г существует, и забывает , что объект Z существует. Затем остается дискретная категория, содержащая только два объекта X и Y , без стрелок между ними. Эта дискретная категория может использоваться в качестве набора индексов для построения обычного двоичного произведения. Таким образом, откат можно рассматривать как обычное (декартово) произведение, но с дополнительной структурой. Вместо того , чтобы «забывчивости» Z , ф , и г , можно также «упрощать» их за счет специализации Z , чтобы быть терминалом объекта (если он существует). е и г тогда определяется однозначно и , следовательно , не несут никакой информации, и откат этого cospan можно видеть, что произведение X и Y .
Примеры
Коммутативные кольца
В категории коммутативных колец (с единицей) подъём называется расслоенным произведением. Пусть , В и С будут коммутативные кольца (с единицей) и α : → C и β : B → C (идентичность с сохранением) гомоморфизмы колец . Затем откат этой диаграммы существует и дается подкольцом в кольце продукта × B , определенном
вместе с морфизмами
дано а также для всех . Тогда у нас есть
Группы, модули
Совершенно аналогично приведенному выше примеру коммутативных колец можно показать, что все обратные вызовы существуют в категории групп и в категории модулей над некоторым фиксированным кольцом.
Наборы
В категории множеств возврат функций f : X → Z и g : Y → Z всегда существует и задается множеством
вместе с ограничениями в проекции карты π 1 и π 2 , чтобы X × Z Y .
В качестве альтернативы можно увидеть откат в Set асимметрично:
где является несвязным объединением множеств (вовлеченные множества не являются дизъективными сами по себе, если f, соответственно, g не инъективно ). В первом случае, проекция тг 1 извлекает й индекс во П 2 забывает индекс, в результате чего элементов Y .
Этот пример побуждает еще один способ , характеризующий откате: как эквалайзер морфизмов ф ∘ р 1 , г ∘ р 2 : Х × Y → Z , где X × Y представляет собой бинарное произведение из X и Y и р 1 и р 2 являются естественные проекции. Это показывает, что откаты существуют в любой категории с бинарными продуктами и эквалайзерами. Фактически, согласно теореме существования пределов , все конечные пределы существуют в категории с бинарными произведениями и уравнителями; эквивалентно, все конечные ограничения существуют в категории с конечным объектом и откатами (в силу того факта, что двоичный продукт = откат для конечного объекта, а эквалайзер - это откат, включающий двоичный продукт).
Пучки волокон
Другой пример обратного образа исходит из теории расслоений : для данного отображения расслоения π : E → B и непрерывного отображения f : X → B обратный образ (сформированный в категории топологических пространств с непрерывными отображениями ) X × B E - расслоение над X, называемое обратным расслоением . Соответствующая коммутативная диаграмма является морфизмом расслоений.
Прообразы и пересечения
Прообразы множеств под функциями можно охарактеризовать как откаты следующим образом:
Пусть F : → B , B 0 ⊆ B . Пусть г будет отображение включения B 0 ↪ B . Тогда обратный образ f и g (в Set ) задается прообразом f −1 [ B 0 ] вместе с включением прообраза в A
- f −1 [ B 0 ] ↪ A
и ограничение f на f −1 [ B 0 ]
- f −1 [ B 0 ] → B 0 .
Из - за этого , например, в общей категории прообраз морфизма F и мономорфизм г можно рассматривать как «прообраз» под F от подобъекта указанного г . Точно так же обратные вызовы двух мономорфизмов можно рассматривать как «пересечение» двух подобъектов.
Наименьший общий множитель
Рассмотрим мультипликативный моноид натуральных чисел Z + как категорию с одним объектом. В этой категории возврат двух натуральных чисел m и n - это просто пара (НОК ( т ; п )/м, НОК ( т ; п )/п) , Где числители являются как наименьшее общее кратное из м и н . Эта же пара также является пушаутом.
Характеристики
- В любой категории с терминальным объектом T , прообраз Х × Т У есть обычное продукт Х × Y . [2]
- Мономорфизмы устойчивы относительно обратного вызова: если стрелка f на диаграмме моническая, то стрелка p 2 тоже . Аналогично, если g монический, то p 1 тоже . [3]
- Изоморфизмы также стабильны, и, следовательно, например, X × X Y ≅ Y для любого отображения Y → X (где подразумеваемое отображение X → X является тождественным).
- В абелевой категории существуют все обратные образы [4], и они сохраняют ядра в следующем смысле: если
- - обратная диаграмма, то индуцированный морфизм ker ( p 2 ) → ker ( f ) является изоморфизмом, [5], как и индуцированный морфизм ker ( p 1 ) → ker ( g ) . Таким образом, каждая обратная диаграмма порождает коммутативную диаграмму следующего вида, где все строки и столбцы точны :
- Кроме того, в абелевой категории, если X → Z - эпиморфизм, то также и ее пулбэк P → Y , и симметрично: если Y → Z - эпиморфизм, то его пулбэк P → X тоже . [6] В этих ситуациях квадрат отката также является квадратом выталкивания. [7]
- Существует естественный изоморфизм ( × C B ) × B D ≅ × C D . В явном виде это означает:
- если даны отображения f : A → C , g : B → C и h : D → B и
- обратный вызов f и g задается формулами r : P → A и s : P → B , и
- обратный образ s и h задается формулами t : Q → P и u : Q → D ,
- то прообраз F и GH задается к.т. : Q → A и U : Q → D .
- Графически это означает, что два квадрата отката, помещенные рядом и разделяющие один морфизм, образуют больший квадрат отката при игнорировании внутреннего общего морфизма.
- В любой категории с откатами и товарами есть эквалайзеры.
Слабые откаты
Слабый откат из cospan X → Z ← Y представляет собой конус над cospan , что является лишь слабо универсальным , то есть, опосредовании морфизм у : Q → P выше, не требуется , чтобы быть уникальным.
Смотрите также
- Откаты в дифференциальной геометрии
- Equijoin в реляционной алгебре
- Волоконный продукт схем
Заметки
- ^ Митчелл, стр. 9
- ^ Адамек, стр. 197.
- ^ Митчелл, стр. 9
- ^ Митчелл, стр. 32
- ^ Митчелл, стр. 15
- ^ Митчелл, стр. 34
- ^ Митчелл, стр. 39
Рекомендации
- Adámek, Jiří, Herrlich, Horst , & Strecker, George E .; (1990). Абстрактные и конкретные категории (4,2 МБ PDF). Первоначально опубл. Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-60922-6 . (теперь бесплатная онлайн-версия).
- Кон, Пол М .; Универсальная алгебра (1981), D. Reidel Publishing, Голландия, ISBN 90-277-1213-1 (Первоначально опубликовано в 1965 г. компанией Harper & Row) .
- Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Академическая пресса.
Внешние ссылки
- Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры откатов в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн.
- откат в nLab