В теории категорий , в копроизведении или категорической сумме , представляет собой конструкция , которая включает в себя в качестве примеров несвязной из множеств и топологических пространств , в свободное произведение из групп , а также прямую сумма из модулей и векторных пространств . Копродукт семейства объектов - это, по сути, «наименее специфический» объект, по отношению к которому каждый объект в семействе допускает морфизм . Это категория теоретико- двойное понятие к категорическому продукту, что означает, что определение такое же, как и у продукта, но с перевернутыми стрелками . Несмотря на это, казалось бы, безобидное изменение названия и обозначений, побочные продукты могут сильно отличаться от продуктов и обычно сильно отличаются от них.
Определение
Пусть C будет категория и пусть X 1 и X 2 объектами C . Объект называется копроизведением X 1 и X 2 , записывается X 1 ∐ X 2 или X 1 ⊕ X 2 , или иногда просто X 1 + X 2 , если существуют морфизмы i 1 : X 1 → X 1 ∐ X 2. и i 2 : X 2 → X 1 ∐ X 2, удовлетворяющие следующему универсальному свойству : для любого объекта Y и любых морфизмов f 1 : X 1 → Y и f 2 : X 2 → Y существует единственный морфизм f : X 1 ∐ X 2 → Y такое, что f 1 = f ∘ i 1 и f 2 = f ∘ i 2 . То есть коммутирует следующая диаграмма :
Единственная стрелка f , коммутирующая эту диаграмму, может быть обозначена как f 1 ∐ f 2 , f 1 ⊕ f 2 , f 1 + f 2 или [ f 1 , f 2 ]. Морфизмы i 1 и i 2 называются каноническими инъекциями , хотя они не обязательно должны быть инъекциями или даже моническими .
Определение копроизведения может быть продлено до произвольного семейства объектов , индексированных множество J . Копроизведение семейства { X j : j ∈ J } - это объект X вместе с набором морфизмов i j : X j → X такой, что для любого объекта Y и любого набора морфизмов f j : X j → Y , существует единственный морфизм f из X в Y такой, что f j = f ∘ i j . То есть следующая диаграмма коммутирует для каждого j в J :
Копроизведение X семейства { X j } часто обозначают или же
Иногда морфизм f: X → Y можно обозначитьчтобы указать его зависимость от индивидуального f j s.
Примеры
Копроизведение в категории множеств - это просто несвязное объединение с отображениями i j, являющимися отображениями включения . В отличие от прямых продуктов , не все сопродукции в других категориях, очевидно, основаны на понятии множеств, потому что союзы плохо себя ведут в отношении операций сохранения (например, объединение двух групп не обязательно должно быть группой), и поэтому сопродукты в разных категории могут кардинально отличаться друг от друга. Например, копроизведение в категории групп , называемое бесплатным продуктом , довольно сложно. С другой стороны, в категории абелевых групп (и в равной степени для векторных пространств ) копроизведение, называемое прямой суммой , состоит из элементов прямого произведения, которые имеют лишь конечное число ненулевых членов. (Следовательно, оно точно совпадает с прямым произведением в случае конечного числа множителей.)
Для коммутативного кольца R копроизведение в категории коммутативных R -алгебр является тензорным произведением . В категории (некоммутативных) R -алгебр копроизведение является фактором тензорной алгебры (см. Свободное произведение ассоциативных алгебр ).
В случае топологических пространств копроизведения - это дизъюнктные объединения с их дизъюнктными объединенными топологиями . То есть это несвязное объединение базовых множеств, а открытые множества - это множества, открытые в каждом из пространств , в довольно очевидном смысле. В категории заостренных пространств , фундаментальной в теории гомотопий , копроизведение - это сумма клина (которая сводится к соединению набора пространств с базовыми точками в общей базовой точке).
Несмотря на все это несходство, в основе всего этого лежит несвязное объединение: прямая сумма абелевых групп - это группа, порожденная "почти" несвязным объединением (несвязным объединением всех ненулевых элементов вместе с общим ноль), аналогично для векторных пространств: пространство, натянутое на «почти» дизъюнктное объединение; бесплатный продукт для групп генерируется набором всех букв из подобного «почти непересекающегося» объединения, где никаким двум элементам из разных наборов не разрешено коммутировать.
Копродуктом категории poset является операция соединения.
Обсуждение
Приведенная выше конструкция копроизведения на самом деле является частным случаем копредела в теории категорий. Копродукт в категорииможно определить как копредел любого функтора из дискретной категории в . Не в каждой семье будет иметь копроизведение в целом, но если это так, то копроизведение уникально в сильном смысле: если а также два продукта семьи , то (по определению копроизведений) существует единственный изоморфизм такой, что для каждого .
Как и любое универсальное свойство , копроизведение можно понимать как универсальный морфизм. Позволятьбыть в диагональный функторе , который присваивает каждый объектупорядоченная пара и каждому морфизму пара . Тогда побочный продукт в задается универсальным морфизмом функтору от объекта в .
Копродукт, проиндексированный пустым набором (то есть пустой копродукт ), совпадает с исходным объектом в.
Если - это набор такой, что все копроизведения для семейств, проиндексированных с существуют, то можно выбрать продукты совместимым образом, так что копроизведение превращается в функтор . Копродукт семьи тогда часто обозначается как
и карты известны как естественные инъекции .
Сдача обозначим множество всех морфизмов из к в (то есть гом-множество в) имеем естественный изоморфизм
заданной биекцией, отображающей каждый набор морфизмов
(продукт в Set , категория множеств , которая является декартовым произведением , поэтому это набор морфизмов) к морфизму
То, что это отображение является сюръекцией, следует из коммутативности диаграммы: любой морфизм является копроизведением кортежа
То, что это инъекция, следует из универсальной конструкции, обуславливающей единственность таких отображений. Естественность изоморфизма также является следствием диаграммы. Таким образом, контравариантный гом-функтор превращает копроизведения в продукты. Другими словами, гом-функтор, рассматриваемый как функтор из противоположной категории чтобы набор непрерывно; он сохраняет пределы (попутный продукт в продукт в ).
Если это конечное множество , скажем, то копроизведение объектов часто обозначается как . Предположим , что существуют все конечные копроизведения в C , копроизведение функторы были выбраны , как описано выше, и 0 обозначает исходный объект из C , соответствующий пустой копроизведением. Тогда у нас есть естественные изоморфизмы
Эти свойства формально аналогичны свойствам коммутативного моноида ; Категория с конечными копроизведениями является примером симметричной моноидальной категории .
Если в категории есть нулевой объект , то мы имеем уникальный морфизм (поскольку является терминальным ) и, следовательно, морфизм. С также начальный, имеем канонический изоморфизм как в предыдущем абзаце. Таким образом, у нас есть морфизмы а также , по которому мы выводим канонический морфизм . Это может быть расширено индукцией до канонического морфизма от любого конечного копроизведения к соответствующему произведению. Этот морфизм, вообще говоря, не обязательно должен быть изоморфизмом; в Grp это собственный эпиморфизм, а в Set * (категория отмеченных множеств ) - собственный мономорфизм . В любой предаддитивной категории этот морфизм является изоморфизмом, и соответствующий объект известен как бипроизведение . Категория со всеми конечными бипроизведениями называется полуаддитивной категорией .
Если все семейства объектов проиндексированы иметь побочные продукты в , то копроизведение содержит функтор . Обратите внимание, что, как и произведение, этот функтор ковариантен .
Смотрите также
- Продукт
- Пределы и коллимиты
- Соэквалайзер
- Прямой лимит
Рекомендации
- Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 .
Внешние ссылки
- Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры копродуктов в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн .