Топологические гомологии Хохшильда

В математике топологические гомологии Хохшильда - это топологическое уточнение гомологий Хохшильда, которое устраняет некоторые технические проблемы с вычислениями в характеристике . Например, если мы рассматриваем -алгебру, то${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$

${\ displaystyle HH_ {k} (\ mathbb {F} _ {p} / \ mathbb {Z}) \ cong {\ begin {cases} \ mathbb {F} _ {p} & k {\ text {even}} \ \ 0 & k {\ text {odd}} \ end {case}}}$

но если рассматривать кольцевую структуру на

${\ displaystyle {\ begin {align} HH _ {*} (\ mathbb {F} _ {p} / \ mathbb {Z}) & = \ mathbb {F} _ {p} \ langle u \ rangle \\ & = \ mathbb {F} _ {p} [u, u ^ {2} / 2!, u ^ {3} / 3!, \ ldots] \ end {выровнено}}}$

(как структура алгебры разделенных степеней ), то возникает существенная техническая проблема: если мы установим , so , и так далее, мы получим из разрешения алгебры над , ^[1] т.е.${\ Displaystyle и \ в ЧЧ_ {2} (\ mathbb {F} _ {p} / \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle и ^ {2} \ в ЧЧ_ {4} (\ mathbb {F} _ {p} / \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle u ^ {p} = 0}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p} \ otimes ^ {\ mathbf {L}} \ mathbb {F} _ {p}}$

${\displaystyle HH_{k}(\mathbb {F} _{p}/\mathbb {Z} )=H_{k}(\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {F} _{p}\otimes ^{\mathbf {L} }\mathbf {F} _{p}}\mathbb {F} _{p})}$

Этот расчет более подробно рассматривается на странице гомологии Хохшильда , но ключевым моментом является патологическое поведение кольцевой структуры на гомологии Хохшильда . Напротив, кольцо топологических гомологий Хохшильда обладает изоморфизмом${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle THH_{*}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}[u]}$

давая менее патологическую теорию. Более того, это вычисление лежит в основе многих других вычислений THH, например, для гладких алгебр${\displaystyle A/\mathbb {F} _{p}}$

Строительство [ править ]

Напомним, что спектр Эйленберга – Маклейна может быть вложен кольцевыми объектами в производной категории целых чисел в кольцевой спектр над кольцевым спектром стабильной гомотопической группы сфер . Это позволяет взять коммутативное кольцо и построить комплекс, аналогичный комплексу Хохшильда, используя моноидальное произведение в кольцевых спектрах, а именно, действует формально как производное тензорное произведение над целыми числами. Мы определяем топологический комплекс Хохшильда (который может быть коммутативной дифференциальной градуированной алгеброй или просто коммутативной алгеброй) как симплициальный комплекс, ^{[2] стр. 33-34,} называемый комплексом Бара.${\displaystyle D(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \wedge _{\mathbb {S} }}$${\displaystyle \otimes ^{\mathbf {L} }}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \cdots \to HA\wedge _{\mathbb {S} }HA\wedge _{\mathbb {S} }HA\to HA\wedge _{\mathbb {S} }HA\to HA}$

спектров (обратите внимание, что стрелки неправильные из-за форматирования Википедии ...). Поскольку симплициальные объекты в спектрах имеют реализацию в виде спектра, мы формируем спектр

${\displaystyle THH(A)\in {\text{Spectra}}}$

который имеет гомотопические группы, определяющие топологические гомологии Хохшильда кольцевого объекта .${\displaystyle \pi _{i}(THH(A))}$${\displaystyle A}$

См. Также [ править ]

• Возвращаясь к THH (F_p)
• Топологические циклические гомологии целых чисел