Фибрация

В топологии , разделе математики, расслоение - это обобщение понятия расслоения . Расслоение слоев уточняет идею о том, что одно топологическое пространство (называемое слоем) "параметризуется" другим топологическим пространством (называемым базой). Расслоение похоже на пучок волокон, за исключением того, что волокна не обязательно должны быть в одном пространстве и даже гомеоморфны ; скорее, они просто гомотопически эквивалентны . Слабые расслоения отбрасывают даже эту эквивалентность из-за более технического свойства.

Волокна не обязательно имеют локальную декартову структуру произведения, которая определяет более ограниченный случай пучка волокон, но что-то более слабое, что позволяет «боковое» движение от волокна к волокну. Связки волокон имеют особенно простую теорию гомотопии, которая позволяет выводить топологическую информацию о пучке из информации об одном или обоих этих составляющих пространства. Расслоение удовлетворяет дополнительному условию ( свойство гомотопического подъема ), гарантирующему, что оно будет вести себя как расслоение с точки зрения теории гомотопий.

Слоения двойственны кофибрациям , с соответствующим двойственным понятием свойства гомотопического расширения ; это широко известно как двойственность Экмана – Хилтона .

Формальное определение [ править ]

Расслоение (или расслоение Гуревича или Гуревичи расслоение , названное так по имени Витольда Гуревича ) является непрерывным отображением , удовлетворяющее Накрывающую Гомотопии относительно любого пространства. Пучки волокон (поверх паракомпактных оснований) являются важными примерами. В теории гомотопий любое отображение «не хуже» расслоения, т. Е. Любое отображение может быть разложено как гомотопическая эквивалентность на « пространство путей отображения », за которым следует расслоение на гомотопические слои . ${\ displaystyle p \ двоеточие E \ to B}$

Эти волокна , по определению подпространство $Е$ , которые являются прообразами точек $Ь$ из $B$ . Если базовое пространство $B$ подключается путь, это следует из определения , что волокна двух различных точек и в $B$ являются гомотопически эквивалентны . Поэтому, как правило , один говорит о «волокно» $F$ . ${\ displaystyle b_ {1}}$ ${\ displaystyle b_ {2}}$

Расслоения Серра [ править ]

Непрерывное отображение со свойством гомотопического подъема для комплексов CW (или, что то же самое, просто кубов ) называется расслоением Серра или слабым расслоением в честь той роли , которую это понятие играет в тезисе Жан-Пьера Серра . Этот тезис прочно утвердил в алгебраической топологии использование спектральных последовательностей и четко отделил понятия расслоений и расслоений от понятия пучка (оба понятия вместе неявно присутствовали в пионерской трактовке Жана Лере ). Поскольку пучок (рассматриваемый как этальное пространство ) можно рассматривать как локальный гомеоморфизм ${\ displaystyle I ^ {n}}$ , понятия в то время были тесно взаимосвязаны. Одним из основных желательных свойств спектральной последовательности Серра является для учета действия фундаментальной группы базового $B$ на гомологии «общая площадь» $Е$ .

Обратите внимание, что расслоения Серра строго слабее расслоений в целом: свойство гомотопического подъема должно выполняться только на кубах (или комплексах CW), а не на всех пространствах в целом. В результате волокна могут даже не быть гомотопически эквивалентными; явный пример приведен ниже.

Примеры [ править ]

В следующих примерах расслоение обозначается

F \to E \to B

,

где первое отображение является включение «в» волокна $F$ в общем пространстве $Е$ , а второй карте является расслоением на основе $B$ . Это также называется последовательностью расслоений.

Карта проекции из пространства продукта очень легко увидеть как расслоение.
Расслоения волокон имеют локальную тривиализацию, т. Е. Декартовы структуры произведения существуют локально на $B$ , и этого обычно достаточно, чтобы показать, что расслоение слоев является расслоением. Точнее если существует локальные тривиализации над исчислимой открытой крышкой из $B$ , расслоение является расслоением. Любая открытая крышка паракомпактного пространства имеет бесчисленное множество изысков. Например, любое открытое покрытие метрического пространства имеет локально конечное измельчение , поэтому любое расслоение над таким пространством является расслоением. Из локальной тривиальности следует также существование корректно определенного слоя (с точностью до гомеоморфизма), По меньшей мере , на каждом компоненте связности из $B$ .
Расслоение Хопфа $S 1 \to S 3 \to S 2$ было исторически одним из самых ранних нетривиальных примеров расслоения.
Расслоения Хопфа обобщаются на расслоения над комплексным проективным пространством с расслоением $S 1 \to S 2 n +1 \to CP n$ . Приведенный выше пример является частным случаем, при п = 1, так как СР - 1 гомеоморфно $S$ $2$ .
Расслоения Хопфа обобщаются на расслоения над кватернионным проективным пространством с расслоением $Sp 1 \to S 4 n +3 \to HP n$ . Слой здесь - это группа единичных кватернионов Sp ¹ .
Расслоение Серра $SO (2) \to SO (3) \to S 2$ происходит от действия группы вращений SO (3) на 2-сфере $S 2$ . Заметим, что $SO (3)$ гомеоморфно реальному проективному пространству $R P 3$ , поэтому $S 3$ является двойным покрытием $SO (3)$ , а значит, расслоение Хопфа является универсальным покрытием.
Предыдущий пример также можно обобщить на расслоение $SO (n) \to SO (n +1) \to S n$ для любого неотрицательного целого числа $n$ (хотя у них есть только слой, который не является точкой, когда $n > 1$ ) которое возникает в результате действия специальной ортогональной группы SO ( n +1) на $n$ -сфере.

Превращение карты в расслоение [ править ]

Любое непрерывное отображение может быть факторизовано как составное ^[1], где - расслоение и является гомотопической эквивалентностью . Обозначая пространство отображений (используя компактно-открытую топологию ), пространство расслоений строится как ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ ${\ displaystyle X \ hookrightarrow E_ {f} \ twoheadrightarrow Y}$ ${\ displaystyle E_ {f} \ twoheadrightarrow Y}$ ${\ displaystyle X \ hookrightarrow E_ {f}}$ ${\ displaystyle Y ^ {I} = {\ text {Map}} (I, Y)}$

{\ displaystyle E_ {f} = \ {(x, \ gamma) \ in X \ times Y ^ {I}: \ gamma (0) = f (x) \}}

с отправкой структурной карты . ${\ displaystyle p: E_ {f} \ to Y}$ ${\ Displaystyle (х, \ гамма) \ longmapsto \ гамма (1)}$

Проверка свойства подъема гомотопии подтверждает, что эта карта действительно образует расслоение.

Карта впрыска дается формулой где - постоянный путь. ${\ displaystyle i: X \ hookrightarrow E_ {f}}$ ${\ Displaystyle х \ longmapsto (х, \ гамма _ {е (х)})}$ ${\ Displaystyle \ gamma _ {е (х)}}$

Происходит деформационный отвод гомотопических волокон.

{\ displaystyle E_ {f} | _ {y} = \ {(x, \ gamma) \ in X \ times Y ^ {I}: \ gamma (0) = f (x) {\ text {and}} \ гамма (1) = y \}}

этому включению, давая гомотопическую эквивалентность . ${\ displaystyle X \ simeq E_ {f}}$

Пример слабого расслоения [ править ]

Все предыдущие примеры имеют волокна, которые гомотопически эквивалентны. Это должно иметь место для расслоений в целом, но не обязательно для слабых расслоений. Понятие слабого расслоения строго слабее, чем расслоение, как показывает следующий пример: слои могут даже не иметь одного и того же гомотопического типа .

Рассмотрим подмножество реальной плоскости, заданное формулой ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

E=\{(x,y):x=y,x\in I\}\cup \bigcup _{n\in \mathbb {N} \atop n>0}\{(x,y):x\in I,y=1+1/n\}

и базовое пространство, заданное единичным интервалом , проекция . Легко видеть, что это расслоение Серра. Однако волокно и волокно at не являются гомотопически эквивалентными. Пространство имеет очевидную инъекцию в общее пространство и имеет очевидную гомотопию (постоянную функцию) в базовом пространстве ; однако его нельзя поднять, и поэтому пример не может быть расслоением в целом. $B=I=\{x:0\leq x\leq 1\}$ $p(x,y)=x$ $p^{-1}(0)$ $p^{-1}(1)$ $p^{-1}(1)\times I$ $E$ $B$

Длинная точная последовательность гомотопических групп [ править ]

Выбрать базовую точку $б 0 \in B$ . Пусть $F$ относится к слою над $b 0$ , т. Е. $F = p -1 ({b 0})$ ; и пусть $я$ быть включение $F \to E$ . Выберем базовую точку $f 0 \in F$ и положим $e 0 = i (f 0)$ . С точки зрения этих базовых точек последовательность Puppe может использоваться, чтобы показать, что существует длинная точная последовательность.

\cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(E).

Он построен из гомотопических групп волокна $F$ , общего пространства $Е$ , и базового пространства $B$ . Гомоморфизмы $π n (F) \to π n (E)$ и $π n (E) \to π n (B)$ - это просто индуцированные гомоморфизмы из $i$ и $p$ соответственно. Отображения, содержащие π ₀ , не являются гомоморфизмами групп, поскольку π ₀ не являются группами, но они точны в том смысле, что изображение равно ядру (здесь «нейтральный элемент» - это компонент связности, содержащий базовую точку).

Эта последовательность верна как для расслоений, так и для слабых, хотя доказательства этих двух случаев немного различаются.

Доказательство [ править ]

Один из возможных способов продемонстрировать, что приведенная выше последовательность четко определена и точна, избегая контакта с последовательностью Puppe, - это действовать напрямую, как показано ниже. Третий набор гомоморфизмов $β n : π n (B) \to π n -1 (F)$ (называемый «соединяющими гомоморфизмами» (ссылаясь на лемму о змее ) или «граничными отображениями») не является индуцированным отображением и является определяется непосредственно в соответствующих гомотопических группах с помощью следующих шагов.

Во-первых, немного терминологии: пусть $δ n : S n \to D n +1$ - включение граничной n -сферы в ( n +1) -шар . Пусть $γ n : D n \to S n$ - отображение, которое сворачивает образ $δ n -1$ в $D n$ в точку.
Пусть $φ : S n \to B$ - отображающее отображение для элемента $π n (B)$ .
Поскольку $D п$ гомеоморфно $п$ - мерный куб, мы можем применить Накрывающую Гомотопию построить подъемную $Л : D п \to Е$ из $ф \circ & gamma п$ (т.е. отображение $λ$ таких , что $р \circ λ = ф \circ & gamma п$ ) с начальным условием $f$ $0$ .
Поскольку $γ n \circ δ n -1$ - точечное отображение (в дальнейшем именуемое « $pt$ »), $pt = φ \circ γ n \circ δ n -1 = p \circ λ \circ δ n -1$ , из чего следует, что изображение $λ \circ & delta ; н -1$ в $F$ . Следовательно, существует отображение $ψ : S n -1 \to F$ такое, что $i \circ ψ = λ \circ δ n -1$ .
Определим $β n [φ] = [ψ]$ .

Сказанное выше кратко изложено в следующей коммутативной диаграмме :

Повторное применение свойства гомотопического подъема используется для доказательства того, что $β n$ корректно определено (не зависит от конкретного подъема), зависит только от гомотопического класса своего аргумента, является гомоморфизмом и что длинная последовательность точна.

В качестве альтернативы можно использовать относительные гомотопические группы, чтобы получить длинную точную последовательность по гомотопии расслоения из длинной точной последовательности по относительной гомотопии ^[2] пары . Один использует, что n-я гомотопическая группа относительно изоморфна n-й гомотопической группе базы . $F\subseteq E$ $E$ $F$ $B$

Пример [ править ]

Можно поступить и в обратном направлении. Когда расслоение является отображающим слоем (двойственным к отображающему конусу , корасслоение ), тогда получается точная последовательность Puppe . По сути, длинная точная последовательность гомотопических групп следует из того факта, что гомотопические группы могут быть получены как надстройки или двойные пространства петель .

Эйлерова характеристика [ править ]

Характеристикой Эйлера $χ$ мультипликативен для расслоений с определенными условиями.

Если $p : E \to B$ - расслоение со слоем $F$ , с линейно связной базой $B$ и ориентируемым над полем $K$ , то эйлерова характеристика с коэффициентами в поле $K$ удовлетворяет свойству произведения: ^[3]

χ (E) = χ (F) \cdot χ (B)

.

Сюда входят пространства произведений и накрывающие пространства как частные случаи, и это может быть доказано спектральной последовательностью Серра на гомологиях расслоения.

Для расслоений это также можно понять в терминах отображения переноса $τ : H * (B) \to H * (E) -$ обратите внимание, что это подъем и идет «не в ту сторону» - чья композиция с отображением проекции $p * : H * (E) \to H * (B)$ - это умножение на эйлерову характеристику слоя: ^[4] $p * \circ τ = χ (F) \cdot 1$ .

Волокна в закрытых категориях моделей [ править ]

Расслоения топологических пространств укладываются в более общие рамки, так называемые закрытые категории моделей , следующие из теоремы об ациклических моделях . В таких категориях выделяются классы морфизмов, так называемые расслоения , кофибрации и слабые эквивалентности . Некоторые аксиомы , такие как устойчивость расслоений при композиции и откаты, факторизация каждого морфизма в композицию ациклического кофибрирования, за которым следует расслоение, или кофибрация, за которой следует ациклическое расслоение, где слово «ациклический» указывает, что соответствующая стрелка также является слабой эквивалентностью, и установлены другие требования, позволяющие абстрактная трактовка теории гомотопии. (В первоначальной трактовке, благодаря Дэниелу Квиллену , слово «тривиальный» использовалось вместо «ациклический».)

Можно показать, что категория топологических пространств на самом деле является модельной категорией, где (абстрактные) расслоения - это просто расслоения Серра, введенные выше, а слабые эквивалентности - это слабые гомотопические эквивалентности . ^[5]

См. Также [ править ]

Кофибрация
Гомотопический копредел
Гомотопическое волокно
Квази-расслоение
Расслоение Хопфа
Смена клетчатки
G-расслоение

Ссылки [ править ]

^ Хэтчер, Аллен. Введение в алгебраическую топологию . п. 407.
^ Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология (PDF)
^ Spanier, Эдвин Генри (1982), Алгебраическая топология , Springer, ISBN 978-0-387-94426-5, Приложения спектральной последовательности гомологий, с. 481
^ Готлиб, Даниэль Генри (1975), "Пучки волокон и характеристика Эйлера" (PDF) , Журнал дифференциальной геометрии , 10 (1): 39-48, DOI : 10,4310 / Jdg / 1214432674
^ Дуайер, Уильям Г .; Spaliński, J. (1995), "теории Гомотопических и модель категория" , Справочник по алгебраической топологии , Амстердам: Северная Голландия, С. 73-126,. Дои : 10.1016 / B978-044481779-2 / 50003-1 , ISBN 9780444817792, Руководство по ремонту 1361887

[1] Хэтчер, Аллен. Введение в алгебраическую топологию . п. 407.

[2] Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология (PDF)

[3] Spanier, Эдвин Генри (1982), Алгебраическая топология , Springer, ISBN 978-0-387-94426-5, Приложения спектральной последовательности гомологий, с. 481

[4] Готлиб, Даниэль Генри (1975), "Пучки волокон и характеристика Эйлера" (PDF) , Журнал дифференциальной геометрии , 10 (1): 39-48, DOI : 10,4310 / Jdg / 1214432674

[5] Дуайер, Уильям Г .; Spaliński, J. (1995), "теории Гомотопических и модель категория" , Справочник по алгебраической топологии , Амстердам: Северная Голландия, С. 73-126,. Дои : 10.1016 / B978-044481779-2 / 50003-1 , ISBN 9780444817792, Руководство по ремонту 1361887