Представление в пространстве состояний

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В контрольной техники , A Пространство состояний представляет собой математическую модель физической системы в виде набора входных, выходных и переменных состояния , связанные с первого порядка дифференциальных уравнений или разностных уравнений . Переменные состояния - это переменные, значения которых со временем меняются в зависимости от значений, которые они имеют в любой момент времени, и от внешних значений входных переменных. Значения выходных переменных зависят от значений переменных состояния.

« Пространство состояний » является евклидово пространства ^{[ править ]} , в которой переменные по осям являются переменными состояниями. Состояние системы может быть представлено как вектор состояния в этом пространстве. Чтобы абстрагироваться от количества входов, выходов и состояний, эти переменные выражаются в виде векторов .

Если динамическая система является линейной, неизменной во времени и конечномерной, то дифференциальные и алгебраические уравнения могут быть записаны в матричной форме. ^{[1] [2]} Метод пространства состояний характеризуется значительной алгебраизацией общей теории систем , что делает возможным использование векторно-матричных структур Кронекера. Возможности этих структур могут быть эффективно применены к исследовательским системам с модуляцией или без нее. ^[3] Представление в пространстве состояний (также известное как « подход во временной области ») обеспечивает удобный и компактный способ моделирования и анализа систем с несколькими входами и выходами. С входами и${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$В противном случае нам пришлось бы записывать преобразования Лапласа для кодирования всей информации о системе. В отличие от подхода в частотной области , использование представления в пространстве состояний не ограничивается системами с линейными компонентами и нулевыми начальными условиями.${\ displaystyle q \ times p}$

Модель пространства состояний может применяться в таких предметах, как экономика ^[4] статистика ^[5] информатика и электротехника ^[6] и нейробиология. ^[7] В эконометрике , например, модели пространства состояний могут использоваться для разложения временного ряда на тренд и цикл, составления отдельных показателей в составной индекс, ^[8] определения поворотных точек бизнес-цикла и оценки ВВП с использованием скрытых и ненаблюдаемые временные ряды. ^{[9] [10]} Многие приложения полагаются на фильтр Калмана для получения оценок текущих неизвестных переменных состояния с использованием своих предыдущих наблюдений. ^[11][12]

Переменные состояния [ править ]

Переменные внутреннего состояния - это наименьшее возможное подмножество системных переменных, которое может представлять все состояние системы в любой момент времени. ^[13] Минимальное количество переменных состояния, необходимых для представления данной системы,${\ displaystyle n}$, обычно равна порядку определяющего дифференциального уравнения системы, но не обязательно. Если система представлена ​​в форме передаточной функции, минимальное количество переменных состояния равно порядку знаменателя передаточной функции после того, как оно было уменьшено до надлежащей дроби. Важно понимать, что преобразование реализации пространства состояний в форму передаточной функции может привести к потере некоторой внутренней информации о системе и может предоставить описание системы, которая является стабильной, когда реализация в пространстве состояний нестабильна в определенных точках. В электрических цепях количество переменных состояния часто, хотя и не всегда, совпадает с количеством элементов накопления энергии в цепи, таких как конденсаторы и катушки индуктивности.. Определенные переменные состояния должны быть линейно независимыми, т. Е. Никакая переменная состояния не может быть записана как линейная комбинация других переменных состояния, иначе система не сможет быть решена.

Линейные системы [ править ]

Наиболее общее представление линейной системы с входами, выходами и переменными состояния в пространстве состояний записывается в следующей форме: ^[14]${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ mathbf {A} (t) \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {B} (t) \ mathbf {u} (t )}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {C} (t) \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {D} (t) \ mathbf {u} (t)}$

куда:

${\ Displaystyle \ mathbf {х} (\ cdot)}$называется «вектором состояния»  ,;${\ Displaystyle \ mathbf {х} (т) \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {у} (\ cdot)}$называется "выходным вектором"  ,;${\ displaystyle \ mathbf {y} (t) \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {и} (\ cdot)}$называется «входным (или управляющим) вектором»  ,;${\ Displaystyle \ mathbf {и} (т) \ в \ mathbb {R} ^ {p}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} (\ cdot)}$это «состояние (или системы) матрица»,  ,${\displaystyle \operatorname {dim} [\mathbf {A} (\cdot )]=n\times n}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\cdot )}$является «входной матрицей»,  ,${\displaystyle \operatorname {dim} [\mathbf {B} (\cdot )]=n\times p}$

${\displaystyle \mathbf {C} (\cdot )}$является «выход матрицы»,  ,${\displaystyle \operatorname {dim} [\mathbf {C} (\cdot )]=q\times n}$

${\displaystyle \mathbf {D} (\cdot )}$является «проходная (или упреждение) матрица» (в тех случаях , когда модель системы не имеет прямого проходных, нулевая матрица),  ,${\displaystyle \mathbf {D} (\cdot )}$${\displaystyle \operatorname {dim} [\mathbf {D} (\cdot )]=q\times p}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t):={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\mathbf {x} (t)}$.

В этой общей формулировке все матрицы могут изменяться во времени (т.е. их элементы могут зависеть от времени); однако в общем случае LTI матрицы будут инвариантными во времени. Временная переменная может быть непрерывной (например ) или дискретной (например ). В последнем случае вместо . Гибридные системы позволяют использовать временные области, которые имеют как непрерывную, так и дискретную части. В зависимости от сделанных предположений представление модели в пространстве состояний может принимать следующие формы:${\displaystyle t}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle t}$

Тип системы	Модель пространства состояний
Непрерывный инвариантный во времени	${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)}$
Непрерывный временной вариант	${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {D} (t)\mathbf {u} (t)}$
Явный дискретный инвариантный во времени	${\displaystyle \mathbf {x} (k+1)=\mathbf {A} \mathbf {x} (k)+\mathbf {B} \mathbf {u} (k)}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (k)=\mathbf {C} \mathbf {x} (k)+\mathbf {D} \mathbf {u} (k)}$
Явный дискретный временной вариант	${\displaystyle \mathbf {x} (k+1)=\mathbf {A} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {B} (k)\mathbf {u} (k)}$ ${\displaystyle \mathbf {y} (k)=\mathbf {C} (k)\mathbf {x} (k)+\mathbf {D} (k)\mathbf {u} (k)}$
Лаплас домен из непрерывного времени инварианта	${\displaystyle s\mathbf {X} (s)-\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (s)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s)}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} \mathbf {X} (s)+\mathbf {D} \mathbf {U} (s)}$
Z-домен из дискретного времени инварианта	${\displaystyle z\mathbf {X} (z)-z\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (z)+\mathbf {B} \mathbf {U} (z)}$ ${\displaystyle \mathbf {Y} (z)=\mathbf {C} \mathbf {X} (z)+\mathbf {D} \mathbf {U} (z)}$

Пример: случай LTI с непрерывным временем [ править ]

Характеристики устойчивости и естественного отклика системы LTI с непрерывным временем (т. Е. Линейной с матрицами, постоянными по времени) могут быть изучены по собственным значениям матрицы . Стабильность неизменной во времени модели в пространстве состояний может быть определена путем рассмотрения передаточной функции системы в факторизованной форме. Тогда это будет выглядеть примерно так:${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\textbf {G}}(s)=k{\frac {(s-z_{1})(s-z_{2})(s-z_{3})}{(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})(s-p_{4})}}.}$

Знаменатель передаточной функции равна характеристического полинома найденных принимая определитель из ,${\displaystyle s\mathbf {I} -\mathbf {A} }$

${\displaystyle \lambda (s)=|s\mathbf {I} -\mathbf {A} |.}$

Корни этого многочлена ( собственные значения ) являются полюсами передаточной функции системы (т. Е. Особенностями, в которых величина передаточной функции неограничена). Эти полюса можно использовать для анализа того, является ли система асимптотически устойчивой или предельно устойчивой . Альтернативный подход к определению устойчивости, не связанный с вычислением собственных значений, заключается в анализе устойчивости системы по Ляпунову .

Нули, найденные в числителе, аналогичным образом можно использовать для определения того, является ли система минимальной фазой .${\displaystyle {\textbf {G}}(s)}$

Система может оставаться стабильной по входу-выходу (см. BIBO stable ), даже если она внутренне нестабильна. Это может иметь место, если нестабильные полюса компенсируются нулями (т. Е. Если эти особенности в передаточной функции устранимы ).

Управляемость [ править ]

Условие управляемости состояния подразумевает, что можно - с помощью допустимых входов - управлять состояниями от любого начального значения к любому конечному значению в течение некоторого конечного временного окна. Непрерывная инвариантная во времени линейная модель в пространстве состояний управляема тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}\mathbf {B} &\mathbf {A} \mathbf {B} &\mathbf {A} ^{2}\mathbf {B} &\dots &\mathbf {A} ^{n-1}\mathbf {B} \end{bmatrix}}=n,}$

где rank - количество линейно независимых строк в матрице, а n - количество переменных состояния.

Наблюдаемость [ править ]

Наблюдаемость - это мера того, насколько хорошо внутренние состояния системы могут быть выведены на основе информации о ее внешних выходных данных. Наблюдаемость и управляемость системы являются математическими двойниками (т. Е. Поскольку управляемость обеспечивает доступность входа, который переводит любое начальное состояние в любое желаемое конечное состояние, наблюдаемость обеспечивает, что знание выходной траектории дает достаточно информации для прогнозирования начального состояния системы. ).

Непрерывная инвариантная во времени линейная модель в пространстве состояний наблюдаема тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}\mathbf {C} \\\mathbf {C} \mathbf {A} \\\vdots \\\mathbf {C} \mathbf {A} ^{n-1}\end{bmatrix}}=n.}$

Передаточная функция [ править ]

« Передаточная функция » непрерывной неизменной во времени линейной модели в пространстве состояний может быть получена следующим образом:

Во- первых, беря преобразование Лапласа от

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

дает

${\displaystyle s\mathbf {X} (s)-\mathbf {x} (0)=\mathbf {A} \mathbf {X} (s)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s).}$

Далее мы упрощаем для , давая${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$

${\displaystyle (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )\mathbf {X} (s)=\mathbf {x} (0)+\mathbf {B} \mathbf {U} (s)}$

и поэтому

${\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \mathbf {U} (s).}$

Подставляя в выходное уравнение${\displaystyle \mathbf {X} (s)}$

${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} \mathbf {X} (s)+\mathbf {D} \mathbf {U} (s),}$

давая

${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {C} ((s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} \mathbf {U} (s))+\mathbf {D} \mathbf {U} (s).}$

Предполагая нулевые начальные условия и систему с одним входом и одним выходом (SISO) , передаточная функция определяется как соотношение выхода и входа . Однако для системы с множеством входов и множеством выходов (MIMO) это соотношение не определено. Следовательно, при нулевых начальных условиях матрица передаточной функции получается из${\displaystyle \mathbf {x} (0)=\mathbf {0} }$${\displaystyle G(s)=Y(s)/U(s)}$

${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {G} (s)\mathbf {U} (s)}$

используя метод приравнивания коэффициентов, который дает

${\displaystyle \mathbf {G} (s)=\mathbf {C} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {B} +\mathbf {D} }$.

Следовательно, это матрица с размерностью, которая содержит передаточные функции для каждой комбинации ввода-вывода. Из-за простоты этой матричной записи представление в пространстве состояний обычно используется для систем с множеством входов и множеством выходов. Матричная система Розенбрка обеспечивает мост между пространством состояний представлением и его передачей функцией .${\displaystyle \mathbf {G} (s)}$${\displaystyle q\times p}$

Канонические реализации [ править ]

Любую заданную передаточную функцию, которая является строго правильной, можно легко перенести в пространство состояний с помощью следующего подхода (этот пример для 4-мерной системы с одним входом и одним выходом):

Для данной передаточной функции разверните ее, чтобы отобразить все коэффициенты как в числителе, так и в знаменателе. Это должно привести к следующей форме:

${\displaystyle {\textbf {G}}(s)={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}.}$

Теперь коэффициенты можно вставить непосредственно в модель пространства состояний с помощью следующего подхода:

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\-d_{4}&-d_{3}&-d_{2}&-d_{1}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\\\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}n_{4}&n_{3}&n_{2}&n_{1}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t).}$

Эта реализация в пространстве состояний называется управляемой канонической формой, потому что результирующая модель гарантированно управляема (т. Е. Поскольку элемент управления входит в цепочку интеграторов, он может перемещать каждое состояние).

Коэффициенты передаточной функции также могут быть использованы для построения канонической формы другого типа

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}0&0&0&-d_{4}\\1&0&0&-d_{3}\\0&1&0&-d_{2}\\0&0&1&-d_{1}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}n_{4}\\n_{3}\\n_{2}\\n_{1}\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t).}$

Эта реализация в пространстве состояний называется наблюдаемой канонической формой, потому что результирующая модель гарантированно будет наблюдаемой (т. Е. Поскольку выход выходит из цепочки интеграторов, каждое состояние оказывает влияние на выход).

Правильные передаточные функции [ править ]

Функции передачи, которые являются только правильными (а не строго правильными ), также могут быть реализованы довольно легко. Хитрость здесь в том, чтобы разделить передаточную функцию на две части: строго правильную и постоянную.

${\displaystyle {\textbf {G}}(s)={\textbf {G}}_{\mathrm {SP} }(s)+{\textbf {G}}(\infty ).}$

Затем строго правильная передаточная функция может быть преобразована в каноническую реализацию в пространстве состояний с использованием методов, показанных выше. Реализация константы в пространстве состояний тривиальна . Вместе мы затем получаем реализацию в пространстве состояний с матрицами A , B и C, определяемыми строго правильной частью, и матрицей D, определяемой константой.${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\textbf {G}}(\infty ){\textbf {u}}(t)}$

Вот пример, чтобы немного прояснить ситуацию:

${\displaystyle {\textbf {G}}(s)={\frac {s^{2}+3s+3}{s^{2}+2s+1}}={\frac {s+2}{s^{2}+2s+1}}+1}$

что дает следующую управляемую реализацию

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-2&-1\\1&0\\\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}$

Обратите внимание на то, что вывод также напрямую зависит от ввода. Это связано с константой в передаточной функции.${\displaystyle {\textbf {G}}(\infty )}$

Отзыв [ править ]

Общий метод для обратной связи, чтобы умножить выходную матрицу K и установкой этого в качестве входа в систему: . Поскольку значения K не ограничены, значения могут быть легко отменены для отрицательной обратной связи . Наличие отрицательного знака (общепринятое обозначение) является чисто условным, и его отсутствие не влияет на конечный результат.${\displaystyle \mathbf {u} (t)=K\mathbf {y} (t)}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$

становится

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+BK\mathbf {y} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+DK\mathbf {y} (t)}$

решение выходного уравнения и подстановка в уравнение состояния приводит к${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I-DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)}$

Преимущество этого состоит в том , что собственные значения из A можно регулировать путем установки K соответственно через eigendecomposition из . Это предполагает , что замкнутая система является управляемой или что неустойчивым собственными значениями А можно сделать устойчивый путем надлежащего выбора K .${\displaystyle \left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)}$

Пример [ править ]

Для строго правильной системы D равно нулю. Другая довольно распространенная ситуация - когда все состояния являются выходами, т.е. y = x , что дает C = I , матрицу идентичности . Тогда это привело бы к более простым уравнениям

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\right)\mathbf {x} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {x} (t)}$

Это сокращает необходимое собственное разложение до всего .${\displaystyle A+BK}$

Обратная связь с входом уставки (задания) [ редактировать ]

Помимо обратной связи, можно добавить ввод, такой, что .${\displaystyle r(t)}$${\displaystyle \mathbf {u} (t)=-K\mathbf {y} (t)+\mathbf {r} (t)}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$

становится

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)-BK\mathbf {y} (t)+B\mathbf {r} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)-DK\mathbf {y} (t)+D\mathbf {r} (t)}$

решение выходного уравнения и подстановка в уравнение состояния приводит к${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BK\left(I+DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)+B\left(I-K\left(I+DK\right)^{-1}D\right)\mathbf {r} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I+DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)+\left(I+DK\right)^{-1}D\mathbf {r} (t)}$

Одним из довольно распространенных упрощений этой системы является удаление D , что сводит уравнения к

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A-BKC\right)\mathbf {x} (t)+B\mathbf {r} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)}$

Пример движущегося объекта [ править ]

Классическая линейная система - это система одномерного движения объекта (например, тележки). Законы движения Ньютона для объекта, движущегося горизонтально на плоскости и прикрепленного к стене с помощью пружины:

${\displaystyle m{\ddot {y}}(t)=u(t)-b{\dot {y}}(t)-ky(t)}$

куда

• ${\displaystyle y(t)}$это позиция; скорость; это ускорение${\displaystyle {\dot {y}}(t)}$${\displaystyle {\ddot {y}}(t)}$
• ${\displaystyle u(t)}$ это приложенная сила
• ${\displaystyle b}$ коэффициент вязкого трения
• ${\displaystyle k}$ жесткость пружины
• ${\displaystyle m}$ масса объекта

Тогда уравнение состояния станет

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\mathbf {{\dot {x}}_{1}} (t)\\\mathbf {{\dot {x}}_{2}} (t)\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\mathbf {x_{1}} (t)\\\mathbf {x_{2}} (t)\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{matrix}}\right]\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\mathbf {x_{1}} (t)\\\mathbf {x_{2}} (t)\end{matrix}}\right]}$

куда

• ${\displaystyle x_{1}(t)}$ представляет положение объекта
• ${\displaystyle x_{2}(t)={\dot {x}}_{1}(t)}$ это скорость объекта
• ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)={\ddot {x}}_{1}(t)}$ это ускорение объекта
• вывод - это положение объекта${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$

Затем проводится проверка управляемости.

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}B&AB\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\left[{\begin{matrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{matrix}}\right]&\left[{\begin{matrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&{\frac {1}{m}}\\{\frac {1}{m}}&-{\frac {b}{m^{2}}}\end{matrix}}\right]}$

который имеет полное звание для всех и . Это означает, что если начальное состояние системы , как известно ( , , ), а если и являются постоянными, то есть пружина , которая может переместить тележку в другое положение в системе.${\displaystyle b}$${\displaystyle m}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle {\dot {y}}(t)}$${\displaystyle {\ddot {y}}(t)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$

Тогда тест на наблюдаемость

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}C\\CA\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\\\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}0&1\\-{\frac {k}{m}}&-{\frac {b}{m}}\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right]}$

который также имеет полный ранг. Следовательно, эта система и управляема, и наблюдаема.

Нелинейные системы [ править ]

Более общую форму модели пространства состояний можно записать в виде двух функций.

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {f} (t,x(t),u(t))}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {h} (t,x(t),u(t))}$

Первое - это уравнение состояния, а второе - выходное уравнение. Если функция представляет собой линейную комбинацию состояний и входов, тогда уравнения могут быть записаны в матричной записи, как указано выше. Аргумент функции может быть отброшен , если система невынужденных (т.е. не имеет входов).${\displaystyle f(\cdot ,\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle u(t)}$

Пример маятника [ править ]

Классическая нелинейная система - это простой невынужденный маятник.

${\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}(t)=-m\ell g\sin \theta (t)-k\ell {\dot {\theta }}(t)}$

куда

• ${\displaystyle \theta (t)}$ угол маятника относительно направления силы тяжести
• ${\displaystyle m}$ - масса маятника (масса стержня маятника принимается равной нулю)
• ${\displaystyle g}$ это ускорение свободного падения
• ${\displaystyle k}$ коэффициент трения в точке поворота
• ${\displaystyle \ell }$- радиус маятника (до центра тяжести массы )${\displaystyle m}$

Тогда уравнения состояния имеют вид

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}(t)=x_{2}(t)}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)=-{\frac {g}{\ell }}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m\ell }}{x_{2}}(t)}$

куда

• ${\displaystyle x_{1}(t)=\theta (t)}$ угол маятника
• ${\displaystyle x_{2}(t)={\dot {x}}_{1}(t)}$ - скорость вращения маятника
• ${\displaystyle {\dot {x}}_{2}={\ddot {x}}_{1}}$ - вращательное ускорение маятника

Вместо этого уравнение состояния можно записать в общем виде

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left({\begin{matrix}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\end{matrix}}\right)=\mathbf {f} (t,x(t))=\left({\begin{matrix}x_{2}(t)\\-{\frac {g}{\ell }}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m\ell }}{x_{2}}(t)\end{matrix}}\right).}$

В равновесные / стационарные точки из системы являются , когда и так равновесные точки маятника являются те , которые удовлетворяют условию${\displaystyle {\dot {x}}=0}$

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}n\pi \\0\end{matrix}}\right)}$

для целых n .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Функции языка Вольфрама для линейных моделей пространства состояний , аффинных моделей пространства состояний и нелинейных моделей пространства состояний .