В численном анализе и вычислительной гидродинамики , схема Годунова является консервативным численная схема , предложенная С. К. Годунова в 1959 г. для решения дифференциальных уравнений в частных . Этот метод можно рассматривать как консервативный метод конечных объемов, который решает точные или приближенные задачи Римана на каждой межячеечной границе. В своей базовой форме метод Годунова имеет точность первого порядка как в пространстве, так и во времени, но может использоваться в качестве базовой схемы для разработки методов более высокого порядка.
Базовая схема
Следуя классической структуре метода конечных объемов , мы стремимся отслеживать конечный набор дискретных неизвестных,
где а также образуют дискретный набор точек для гиперболической задачи:
где индексы а также указывают производные во времени и пространстве соответственно. Если мы интегрируем гиперболическую задачу по контрольному объемумы получаем формулировку метода линий (MOL) для пространственных средних ячеек:
которое является классическим описанием метода конечных объемов первого порядка с обратной связью. (см. Левек - Методы конечных объемов для гиперболических задач)
Интеграция точного времени по приведенной выше формуле по времени ко времени дает точную формулу обновления:
Метод Годунова заменяет интеграл по времени каждого
с методом прямого Эйлера, который дает полностью дискретную формулу обновления для каждого из неизвестных. То есть мы аппроксимируем интегралы с помощью
где является приближением к точному решению проблемы Римана. Для согласованности предполагается, что
и это увеличивается в первом аргументе и уменьшается во втором аргументе. Для скалярных задач, где, можно использовать простую схему Upwind , которая определяет.
Полная схема Годунова требует определения приближенного или точного решателя Римана , но в своей основной форме она определяется следующим образом:
Линейная задача
В случае линейной задачи, где , и без ограничения общности будем считать, что обратный метод Годунова дает:
что дает классическую схему конечного объема первого порядка с перевернутой сверткой, устойчивость которой требует .
Трехэтапный алгоритм
Следуя Хиршу , схема включает три различных шага для получения решения на из известного решения при , следующим образом:
Шаг 1 Определите кусочно-постоянную аппроксимацию решения при. Поскольку кусочно-постоянная аппроксимация представляет собой среднее значение решения по ячейке размера, пространственная ошибка порядка , а значит, полученная схема будет иметь пространственную точность первого порядка. Обратите внимание, что это приближение соответствует представлению метода конечного объема, в котором дискретные значения представляют собой средние значения переменных состояния по ячейкам. Точные соотношения для усредненных значений ячеек можно получить из интегральных законов сохранения.
Шаг 2 Получите решение локальной проблемы Римана на границах раздела ячеек. Это единственный физический этап всей процедуры. Разрывы на границах раздела разрешаются в суперпозиции волн, локально удовлетворяющих уравнениям сохранения. Оригинальный метод Годунова основан на точном решении задач Римана. Однако в качестве альтернативы можно применять приближенные решения.
Шаг 3 Усредните переменные состояния через временной интервал.. Переменные состояния, полученные после шага 2, усредняются по каждой ячейке, определяя новое кусочно-постоянное приближение, полученное в результате распространения волны в течение интервала времени. Чтобы быть последовательным, временной интервалдолжен быть ограничен таким образом, чтобы волны, исходящие от границы раздела, не взаимодействовали с волнами, создаваемыми на соседних границах раздела. В противном случае на ситуацию внутри клетки повлияли бы взаимодействующие задачи Римана. Это приводит к условию КЛЛ где - максимальная скорость волны, полученная из собственных значений ячейки локальной матрицы Якоби .
Первый и третий этапы имеют исключительно числовую природу и могут рассматриваться как этап проекции , независимый от второго, физического этапа, этапа эволюции . Следовательно, они могут быть изменены, не влияя на физический вход, например, путем замены кусочно-постоянной аппроксимации кусочно-линейной вариацией внутри каждой ячейки, что приводит к определению схем второго порядка пространственной точности, таких как схема MUSCL .
Смотрите также
Рекомендации
- Годунов, С.К. (1959). Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Мат. Сборник . 47 : 271–306. Руководство по ремонту 0119433 . Zbl 0171.46204 .Переведено US Joint Publ. Res. Сервис, JPRS 7226, 1969.
- Хирш, К. (1990). Численный расчет внутренних и внешних потоков . том 2. Wiley. ISBN 0-471-92452-0.
|volume=
имеет дополнительный текст ( справка ) - Левек, Рэнди Дж. (2002). Методы конечных объемов для гиперболических задач . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-81087-6.
дальнейшее чтение
- Лэйни, Калберт Б. (1998). Вычислительная газодинамика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-57069-7.
- Торо, EF (1999). Решатели Римана и численные методы гидродинамики . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
- Таннехилл, Джон С.; и другие. (1997). Вычислительная механика жидкости и теплопередача (2-е изд.). Вашингтон: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 1-56032-046-X.
- Весселинг, Питер (2001). Принципы вычислительной гидродинамики . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-67853-0.