Схемы с высоким разрешением используются при численном решении уравнений в частных производных, где требуется высокая точность при наличии ударов или разрывов. У них есть следующие свойства:
- Пространственная точность второго или более высокого порядка достигается на гладких участках решения.
- В решениях отсутствуют паразитные колебания или колебания.
- Высокая точность достигается при ударах и неоднородностях.
- Количество узлов сетки, содержащих волну, мало по сравнению со схемой первого порядка с аналогичной точностью.
Общие методы часто не подходят для точного разрешения явлений крутого градиента; они обычно вызывают нефизические эффекты, такие как размытие раствора или паразитные колебания . После публикации теоремы Годунова о порядковом барьере , которая доказала, что линейные методы не могут дать неосциллирующих решений выше первого порядка (Годунов 1954, Годунов 1959), эти трудности привлекли большое внимание, и был разработан ряд методов, которые в значительной степени решают эти проблемы. . Чтобы избежать паразитных или нефизических колебаний при наличии ударов, схемы, которые демонстрируют уменьшение общей вариации(TVD) характеристики особенно привлекательны. Два метода, которые оказались особенно эффективными: MUSCL ( Монотонные схемы, ориентированные на восходящий поток для законов сохранения ), метод ограничения потока / наклона (van Leer 1979, Hirsch 1990, Tannehill 1997, Laney 1998, Toro 1999) и WENO ( Weighted Практически не колеблющийся ) метод (Shu 1998, Shu 2009). Оба метода обычно называют схемами высокого разрешения (см. Диаграмму).
Методы MUSCL обычно имеют второй порядок точности в гладких областях (хотя их можно сформулировать для более высоких порядков) и обеспечивают хорошее разрешение, монотонные решения вокруг разрывов. Они просты в реализации и эффективны в вычислительном отношении.
Для проблем, включающих как удары, так и сложную гладкую структуру решения, схемы WENO могут обеспечить более высокую точность, чем схемы второго порядка, наряду с хорошим разрешением вокруг разрывов. Большинство приложений, как правило, используют схему WENO пятого порядка точности, тогда как схемы более высокого порядка могут использоваться там, где проблема требует повышения точности в гладких областях.
Метод целостной дискретизации систематически анализирует динамику подсеточного масштаба для алгебраического построения замыканий для числовых дискретизаций, которые точны до любого указанного порядка ошибок в гладких областях и автоматически адаптируются к быстрым изменениям сетки посредством алгебраического обучения подсеточных структур (Робертс, 2003). ). Веб-сервис анализирует любой PDE в классе, который может быть отправлен .
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Годунов, Сергей К. (1954), канд. Экон. Диссертация: Различные методы для ударных волн , МГУ.
- Годунов, Сергей К. (1959). «Разностная схема численного решения разрывных решений гидродинамических уравнений». Мат. Сборник . 47 : 271–306.переведено US Joint Publ. Res. Сервис, JPRS 7226, 1969.
- Хартен, А. (1983). «Схемы высокого разрешения для гиперболических законов сохранения». J. Comput. Phys . 49 (3): 357–393. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (83) 90136-5 . ЛВП : 2060/19830002586 .
- Хирш, Чарльз (1991). Вычислительные методы для невязких и вязких течений . Численный расчет внутренних и внешних потоков. 2 . Вайли. ISBN 978-0-471-92452-4.
- Лэйни, Калберт Б. (1998). Вычислительная газодинамика . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-39360-8.
- Робертс, AJ (2003). «Целостный подход конечных разностей последовательно моделирует линейную динамику». Математика вычислений . 72 (241): 247–262. arXiv : математика / 0003135 . DOI : 10.1090 / S0025-5718-02-01448-5 .
- Шу, CW. (1998). "По существу не колеблющиеся и взвешенные основные не колебательные схемы для гиперболических законов сохранения. В: Кокберн". В Quarteroni, Альфио (ред.). Расширенная численная аппроксимация нелинейных гиперболических уравнений . Конспект лекций по математике. 1697 . Springer. С. 325–432. DOI : 10.1007 / BFb0096355 . ЛВП : 2060/19980007543 . ISBN 978-3-540-49804-9.
- Шу, CW. (2009). «Взвешенные по существу не колебательные схемы высокого порядка для задач с преобладанием конвекции». SIAM Обзор . 51 (1): 82–126. DOI : 10.1137 / 070679065 .
- Андерсон, Дейл; Таннехилл, Джон С.; Плетчер, Ричард Х. (2016). Вычислительная механика жидкости и теплопередача (3-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-1-4665-7830-2.
- Элеутерио Ф. Торо (2013). Решатели Римана и численные методы для динамики жидкости: практическое введение (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3-662-03915-1. Торо, EF (1999), Решатели Римана и численные методы для гидродинамики, Springer-Verlag.
- Ван Леер, Б. (1979). «К окончательной консервативной разностной схеме V. Продолжение второго порядка метода Годунова». J. Comp. Phys . 32 (1): 101–136. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (79) 90145-1 .
