Метод снятия шока

В вычислительной гидродинамике , ударные методы захвата представляют собой класс методов для вычисления невязких течения с ударными волнами . Расчет потока, содержащего ударные волны, является чрезвычайно сложной задачей, поскольку такие потоки приводят к резким, прерывистым изменениям переменных потока, таких как давление, температура, плотность и скорость в скачке уплотнения.

Метод [ править ]

В методах захвата ударных волн управляющие уравнения невязких потоков (т. Е. Уравнения Эйлера ) приводятся в форме сохранения, и любые ударные волны или разрывы вычисляются как часть решения. Здесь не используется никакой специальной обработки, чтобы позаботиться о самих толчках, в отличие от метода ударной подгонки, где ударные волны явно вводятся в решение с использованием соответствующих соотношений ударных нагрузок (соотношений Ренкина – Гюгонио ). Ударные волны, предсказываемые методами улавливания скачков уплотнения, обычно не резкие и могут размазываться по нескольким элементам сетки. Кроме того, классические методы улавливания ударных волн имеют недостаток, заключающийся в том, что нефизические колебания ( явление Гиббса ) могут развиваться вблизи сильных толчков.

Уравнения Эйлера [ править ]

Уравнения Эйлера являются основными уравнениями для невязкого течения. Для реализации методов улавливания ударов используется форма сохранения уравнений Эйлера. Для потока без внешнего теплообмена и передачи работы (изоэнергетический поток) форма сохранения уравнения Эйлера в декартовой системе координат может быть записана как

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathbf {U}}} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial {\ mathbf {F}}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial {\ mathbf {G}}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial {\ mathbf {H}}} {\ partial z}} = 0}$

где векторы U , F , G и H задаются формулами

${\displaystyle {\mathbf {U} }=\left[{\begin{array}{c}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\\rho e_{t}\\\end{array}}\right]\quad {\mathbf {F} }=\left[{\begin{array}{c}\rho u\\\rho u^{2}+p\\\rho uv\\\rho uw\\(\rho e_{t}+p)u\\\end{array}}\right]\quad {\mathbf {G} }=\left[{\begin{array}{c}\rho v\\\rho vu\\\rho v^{2}+p\\\rho vw\\(\rho e_{t}+p)v\\\end{array}}\right]\quad {\mathbf {H} }=\left[{\begin{array}{c}\rho w\\\rho wu\\\rho wv\\\rho w^{2}+p\\(\rho e_{t}+p)w\\\end{array}}\right]\qquad }$

где - полная энергия (внутренняя энергия + кинетическая энергия + потенциальная энергия) на единицу массы. Это${\displaystyle e_{t}}$

${\displaystyle e_{t}=e+{\frac {u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2}}+gz}$

Уравнения Эйлера могут быть интегрированы с любым из доступных методов улавливания ударных волн для получения решения.

Классические и современные методы захвата шока [ править ]

С исторической точки зрения, методы улавливания шока можно разделить на две общие категории: классические методы и современные методы улавливания шоков (также называемые схемами высокого разрешения). Современные методы захвата ударных волн обычно смещены против ветра, в отличие от классических симметричных или центральных дискретизаций. В схемах дифференцирования, смещенных против ветра, предпринимаются попытки дискретизировать уравнения в частных производных гиперболического типа с помощью дифференцирования, основанного на направлении потока. С другой стороны, симметричные или центральные схемы не учитывают никакой информации о направлении распространения волны.

Независимо от используемой схемы захвата ударных волн, устойчивый расчет в присутствии ударных волн требует некоторой численной диссипации, чтобы избежать образования нефизических числовых колебаний. В случае классических методов улавливания скачков числовые параметры диссипации обычно линейны, и одинаковое количество равномерно применяется во всех точках сетки. Классические методы улавливания скачков дают точные результаты только в случае гладких и слабых скачков уплотнения, но когда в растворе присутствуют сильные скачки уплотнения, на неоднородностях могут возникать нелинейные неустойчивости и колебания. Современные методы улавливания ударов обычно используют нелинейное численное рассеяние, когда механизм обратной связи регулирует количество добавляемого искусственного рассеяния в соответствии с особенностями решения. Идеально,искусственное численное рассеяние необходимо добавлять только в непосредственной близости от толчков или других резких деталей, а области плавного течения следует оставлять неизменными. Эти схемы доказали свою устойчивость и точность даже для задач, содержащих сильные ударные волны.

Некоторые из хорошо известных классических методов захвата толчков включают метод МакКормака (использует схему дискретизации для численного решения гиперболических уравнений в частных производных), метод Лакса – Вендроффа (основанный на конечных разностях, использует численный метод для решения гиперболических уравнений в частных производных). уравнения в частных производных ) и метод Бима – Уорминга . Примеры современных схем улавливания ударов включают схемы уменьшения общей вариации (TVD) более высокого порядка, впервые предложенные Хартеном , транспортную схему с поправкой на поток, представленную Борисом и Книгом , монотонные схемы для законов сохранения, центрированные вверх по течению (MUSCL), основанные наГодунова, предложенный ван Лиром , различные существенно не колебательные схемы (ENO), предложенные Хартеном и др., И кусочно-параболический метод (PPM), предложенный Колеллой и Вудвордом. Другой важный класс схем с высоким разрешением принадлежит приближенным решателям Римана, предложенным Роу и Ошером . Схемы, предложенные Джеймсоном и Бейкером, в которых линейные численные члены диссипации зависят от нелинейных функций переключения, находятся между классическими и современными методами захвата ударных волн.

Ссылки [ править ]

Книги [ править ]

• Андерсон, Дж. Д. , «Современный сжимаемый поток с исторической точки зрения», McGraw-Hill (2004).
• Хирш, К., "Численный расчет внутренних и внешних потоков", Vol. II, 2-е изд., Баттерворт-Хайнеманн (2007).
• Лэйни, CB, "Вычислительная газовая динамика", Cambridge Univ. Press 1998).
• Левек, Р.Дж. , "Численные методы определения законов сохранения", Birkhauser-Verlag (1992).
• Таннехилл, Дж. К., Андерсон, Д. А. и Плетчер, Р. Х., «Вычислительная гидродинамика и теплопередача», 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис (1997).
• Торо, EF, "Решатели Римана и численные методы для динамики жидкости", 2-е изд., Springer-Verlag (1999).

Технические документы [ править ]

• Борис, Дж. П. и Бук, Д. Л., "Транспортировка с поправкой на поток III. Алгоритмы FCT с минимальной ошибкой", J. Comput. Phys. 1976 , 20 , с. 397–431.
• Колелла П. и Вудворд П. "Кусочно-параболический метод (PPM) для газодинамического моделирования", J. Comput. Phys. 1984. Т. 54. С. 174–201.
• Годунов С.К. "Разностная схема для численного вычисления разрывного решения гиперболических уравнений", Матем. Сборник, 47 (1959), с. 271–306.
• Хартен, А. , "Схемы высокого разрешения для гиперболических законов сохранения", J. Comput. Phys. 1983. Т. 49. С. 357–293.
• Хартен, А., Энгквист, Б. , Ошер, С. , и Чакраварти, С.Р., "Точные, практически не колеблющиеся схемы высокого порядка III", J. Comput. Phys., 71 , 231–303 (1987).
• Джеймсон А. и Бейкер Т. "Решение уравнений Эйлера для сложных конфигураций", AIAA Paper, 83–1929 (1983).
• МакКормак, Р.У., "Влияние вязкости на образование кратеров при сверхскоростном ударе", AIAA Paper, 69–354 (1969).
• Роу, П.Л. , " Приближенные решатели Римана, векторы параметров и разностные схемы ", J. Comput. Phys. 43 , 357–372 (1981).
• Шу, Ч.-В. , Ошер, С., "Эффективная реализация схем захвата практически не колеблющегося удара", J. Comput. Физ ., 77 , 439–471 (1988).
• ван Леер, Б. , "К предельной консервативной схеме различий V; продолжение второго порядка к сиквелу Годунова", J. Comput. Phys., 32 , 101–136, (1979).