Схема балки и утепления

В вычислительной математике неявная схема Beam and Warming или неявная схема Beam – Warming, введенная в 1978 году Ричардом М. Бимом и Р.Ф. Уормингом, ^[1]^[2] является неявной схемой второго порядка точности , в основном используемой для решения нелинейного гиперболического уравнения. В настоящее время он мало используется.

Введение [ править ]

Эта схема представляет собой неитеративную схему ADI с пространственным факторизацией и использует неявную схему Эйлера для выполнения интегрирования по времени. Алгоритм имеет дельта-форму , линеаризованную посредством реализации ряда Тейлора . Следовательно, наблюдается как приращение сохраняемых переменных. В этом случае эффективный факторизованный алгоритм получается путем явного вычисления пространственных кросс-производных. Это позволяет напрямую вывести схему и эффективное решение с использованием этого вычислительного алгоритма. Эффективность заключается в том, что хотя это трехуровневая схема, но требует только двух временных уровней хранения данных. Это приводит к безусловной стабильности. Он центрирован и требует оператора искусственной диссипации, чтобы гарантировать численную стабильность.^[1]

Дельта-форма полученного уравнения имеет преимущество стабильности (если она существует) независимо от размера временного шага. ^[3]

Метод [ править ]

Рассмотрим невязкое уравнение Бюргерса в одном измерении.

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = - и {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ quad {\ text {with}} x \ in R}

Уравнение Бюргерса в форме сохранения,

{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial E}{\partial x}}

где : $E={\frac {u^{2}}{2}}$

Расширение серии Тейлора [ править ]

Расширение: $u_{i}^{n+1}$

u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+{\frac {1}{2}}\left[\left.{\frac {\partial u}{\partial t}}\right|_{i}^{n}+\left.{\frac {\partial u}{\partial t}}\right|_{i}^{n+1}\right]\,\Delta t+O(\Delta t^{3})

Это также известно как формула трапеции .

\therefore {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{2}}\left(\left.{\frac {\partial E}{\partial x}}\right|_{i}^{n+1}+\left.{\frac {\partial E}{\partial x}}\right|_{i}^{n}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[A(u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n})\right]\right)

\because {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial E}{\partial x}}

Обратите внимание, что для этого уравнения

A={\frac {\partial E}{\partial u}}=u

Трехдиагональная система [ править ]

Полученная трехдиагональная система:

{\begin{aligned}&-{\frac {\Delta t}{4\,\Delta x}}\left(A_{i-1}^{n}u_{i-1}^{n+1}\right)+u_{i}^{n+1}+{\frac {\Delta t}{4\,\Delta x}}\left(A_{i+1}^{n}u_{i+1}^{n+1}\right)\\[6pt]={}&u_{i}^{n}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left(E_{i+1}^{n}-E_{i-1}^{n}\right)+{\frac {\Delta t}{4\,\Delta x}}\left(A_{i+1}^{n}u_{i+1}^{n}-A_{i-1}^{n}u_{i-1}^{n}\right)\end{aligned}}

Полученная система линейных уравнений может быть решена с использованием модифицированного алгоритма трехдиагональной матрицы , также известного как алгоритм Томаса. ^[4]

Срок рассеивания [ править ]

В условиях ударной волны для таких нелинейных гиперболических уравнений , как это, требуется диссипативный член . Это делается для того, чтобы держать решение под контролем и поддерживать сходимость решения.

D=-\varepsilon _{e}(u_{i+2}^{n}-4u_{i+1}^{n}+6u_{i}^{n}-4u_{i-1}^{n}+u_{i-2}^{n})

Этот термин явно добавлен на уровне с правой стороны. Это всегда используется для успешных вычислений, когда наблюдаются частые колебания, которые необходимо подавить. $n$

Сглаживающий термин [ править ]

Если требуется только устойчивое решение, то в уравнение справа добавляется сглаживающий член второго порядка на неявном слое. Другой член в том же уравнении может быть второго порядка, потому что он не влияет на устойчивое решение, если

\nabla ^{n}(U)=0

Добавление члена сглаживания увеличивает количество необходимых шагов на три.

Свойства [ править ]

Эта схема создается путем комбинирования формулы трапеции, линеаризации, факторизации, пространственной разности Падта, однородности векторов потоков (где применимо) и гибридной пространственной разности и наиболее подходит для нелинейных систем в форме закона сохранения. Алгоритм ADI сохраняет порядок точности и свойство установившегося состояния при уменьшении пропускной способности системы уравнений. ^[5] Устойчивость уравнения

L^{2}

-стабильно под КЛЛ:

|a|\,\Delta t\leq 2\,\Delta x

Порядок ошибки усечения:

O((\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2})

Результат плавный, со значительным перерегулированием (которое не сильно увеличивается со временем).

Ссылки [ править ]

^ ^a ^b Ричард М. Бим, RF Warming (сентябрь 1976 г.). "Неявный конечно-разностный алгоритм для гиперболических систем в форме закона сохранения". Журнал вычислительной физики . 22 (1): 87–110. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (76) 90110-8 .
^ Ричард М. Бим; RF Warming (апрель 1978 г.). "Неявная факторизованная схема для сжимаемых уравнений Навье – Стокса". Журнал AIAA . 16 (4). DOI : 10.2514 / 3.60901 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Ричард Х. Плетчер (2012). Вычислительная механика жидкости и теплопередача, третье издание . CRC Press. ISBN 978-1591690375.
Перейти ↑ Chung, TJ (2010). Вычислительная гидродинамика, 2-е издание . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521769693.
↑ Ли, Джон (январь 1992 г.). «Упрощение неявной схемы Бима и Уорминга для двумерных сжимаемых течений». Журнал AIAA . 30 : 266–268. DOI : 10.2514 / 3.10908 .

[An_Implicit_Finite-Difference_Algorithm_for_Hyperbolic_Systems_in_Conservation-Law_Form-1] Ричард М. Бим, RF Warming (сентябрь 1976 г.). "Неявный конечно-разностный алгоритм для гиперболических систем в форме закона сохранения". Журнал вычислительной физики . 22 (1): 87–110. DOI : 10.1016 / 0021-9991 (76) 90110-8 .

[An_Implicit_Factored_Scheme_for_the_Compressible_Navier–Stokes_Equations-2] Ричард М. Бим; RF Warming (апрель 1978 г.). "Неявная факторизованная схема для сжимаемых уравнений Навье – Стокса". Журнал AIAA . 16 (4). DOI : 10.2514 / 3.60901 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[Computational_Fluid_Mechanics_and_Heat_Transfer,_Third_Edition-3] Ричард Х. Плетчер (2012). Вычислительная механика жидкости и теплопередача, третье издание . CRC Press. ISBN 978-1591690375.

[Computational_Fluid_Dynamics-4] Перейти ↑ Chung, TJ (2010). Вычислительная гидродинамика, 2-е издание . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521769693.

[Simplification_of_Beam_and_Warming's_implicit_scheme_for_two-dimensional_compressible_flows-5] Ли, Джон (январь 1992 г.). «Упрощение неявной схемы Бима и Уорминга для двумерных сжимаемых течений». Журнал AIAA . 30 : 266–268. DOI : 10.2514 / 3.10908 .

[1]