Явные и неявные методы

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Явные и неявные методы»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Явные и неявные методы являются подходами , используемыми в численном анализе для получения численных приближений к решениям , зависящие от времени обыкновенных и дифференциальных уравнений с частными , как это требуется в компьютерном моделировании из физических процессов . Явные методы вычисляют состояние системы в более позднее время из состояния системы в текущий момент времени, в то время как неявные методы находят решение, решая уравнение, включающее как текущее состояние системы, так и более позднее. Математически, если это текущее состояние системы и состояние в более позднее время (${\ Displaystyle Y (т)}$${\ Displaystyle Y (t + \ Delta t)}$${\ displaystyle \ Delta t}$ - малый шаг по времени), то для явного метода

${\ Displaystyle Y (T + \ Delta t) = F (Y (t)) \,}$

а для неявного метода решается уравнение

${\ Displaystyle G {\ Big (} Y (t), Y (t + \ Delta t) {\ Big)} = 0 \ qquad (1) \,}$

найти ${\displaystyle Y(t+\Delta t).}$

Неявные методы требуют дополнительных вычислений (решения вышеуказанного уравнения), и их может быть намного сложнее реализовать. Неявные методы используются, потому что многие проблемы, возникающие на практике, являются жесткими , для которых использование явного метода требует непрактично малых временных шагов, чтобы сохранить ошибку в результате ограниченной (см. Численную стабильность ). Для таких задач для достижения заданной точности требуется гораздо меньше вычислительного времени для использования неявного метода с большими временными шагами, даже с учетом того, что необходимо решать уравнение вида (1) на каждом временном шаге. Тем не менее, следует ли использовать явный или неявный метод, зависит от решаемой проблемы.${\displaystyle \Delta t}$

Поскольку неявный метод не может быть реализован для каждого типа дифференциального оператора, иногда рекомендуется использовать так называемый метод разделения операторов, что означает, что дифференциальный оператор переписывается как сумма двух дополнительных операторов

${\displaystyle Y(t+\Delta t)=F(Y(t+\Delta t))+G(Y(t)),\,}$

в то время как один обрабатывается явно, а другой - неявно. Для обычных приложений неявный член выбирается линейным, а явный член может быть нелинейным. Эта комбинация первого метода называется неявно-явным методом (сокращенно IMEX, ^{[1] [2]} ).

Иллюстрация с использованием прямого и обратного методов Эйлера [ править ]

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (2)}$

с начальным условием Рассмотрим сетку для 0 ≤  k  ≤  n , то есть шаг по времени равен и обозначим для каждого . Дискретизируйте это уравнение, используя простейшие явные и неявные методы, которыми являются прямой метод Эйлера и обратный метод Эйлера (см. Численные обыкновенные дифференциальные уравнения ), и сравните полученные схемы.${\displaystyle y(0)=1.}$${\displaystyle t_{k}=a{\frac {k}{n}}}$${\displaystyle \Delta t=a/n,}$${\displaystyle y_{k}=y(t_{k})}$${\displaystyle k}$

Прямой метод Эйлера

В результате применения различных методов интеграции в оду с .${\displaystyle y'=-y^{2},\;t\in [0,5],\;y_{0}=1}$${\displaystyle \Delta t=5/10}$

Вперед метод Эйлера

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k}^{2}}$

дает

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}-\Delta ty_{k}^{2}\quad \quad \quad (3)\,}$

для каждого Это явная формула для .${\displaystyle k=0,1,\dots ,n.}$${\displaystyle y_{k+1}}$

Обратный метод Эйлера

С обратным методом Эйлера

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k+1}^{2}}$

находится неявное уравнение

${\displaystyle y_{k+1}+\Delta ty_{k+1}^{2}=y_{k}}$

для (сравните это с формулой (3), где было дано явно, а не как неизвестное в уравнении).${\displaystyle y_{k+1}}$${\displaystyle y_{k+1}}$

Это квадратное уравнение , имеющее один отрицательный и один положительный корень . Положительный корень выбирается, потому что в исходном уравнении начальное условие положительно, а затем на следующем временном шаге задается выражением${\displaystyle y}$

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {-1+{\sqrt {1+4\Delta ty_{k}}}}{2\Delta t}}.\quad \quad (4)}$

В подавляющем большинстве случаев уравнение, которое необходимо решить при использовании неявной схемы, намного сложнее, чем квадратное уравнение, и аналитического решения не существует. Затем для нахождения численного решения используются алгоритмы поиска корней , такие как метод Ньютона .

Кривошипный метод Николсона

По методу Кранка-Николсона

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{2}}y_{k+1}^{2}-{\frac {1}{2}}y_{k}^{2}}$

находится неявное уравнение

${\displaystyle y_{k+1}+{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k+1}^{2}=y_{k}-{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k}^{2}}$

для (сравните это с формулой (3), где было дано явно, а не как неизвестное в уравнении). Это можно решить численно, используя алгоритмы поиска корней , такие как метод Ньютона , чтобы получить .${\displaystyle y_{k+1}}$${\displaystyle y_{k+1}}$${\displaystyle y_{k+1}}$

Кривошипные Николсона можно рассматривать как одну из форм более общего IMEX ( Im plicit- Ех яв ный ) схемы.

Вперед-назад метод Эйлера

Результат применения как метода Эйлера вперед-назад, так и метода Эйлера вперед-назад и .${\displaystyle a=5}$${\displaystyle n=30}$

Чтобы применить IMEX-схему, рассмотрим несколько иное дифференциальное уравнение:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=y-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (5)}$

Следует, что

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx y_{k+1}-y_{k}^{2},\ t\in [0,a]}$

и поэтому

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {y_{k}(1-y_{k}\Delta t)}{1-\Delta t}}\quad \quad (6)}$

для каждого ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n.}$

См. Также [ править ]

• Условие Куранта – Фридрихса – Леви.
• SIMPLE алгоритм , полунеявный метод для уравнений, связанных с давлением

Источники [ править ]