В ударной адиабате , называемая также условия скачка Ренкин-Гюгонио или отношения Ренкина-Гюгонио , описывает взаимосвязь между состояниями на оба сторонах ударной волны или волны горения ( дефлаграция или детонацию ) в одномерном потоке в жидкости или одномерная деформация в твердых телах. Они названы в честь работы, проделанной шотландским инженером и физиком Уильямом Джоном Маккорном Рэнкином [1] и французским инженером Пьером Анри Гюгонио . [2] [3]
В системе координат, которая движется вместе с разрывом, условия Ренкина – Гюгонио могут быть выражены как: [4]
где m - массовый расход на единицу площади, ρ 1 и ρ 2 - массовая плотность жидкости до и после волны, u 1 и u 2 - скорость жидкости до и после волны, p 1 и p 2 - давления в двух областях, а h 1 и h 2 - удельные (в расчете на единицу массы ) энтальпии в двух областях. Если, кроме того, поток является реактивным, то уравнения сохранения видов требуют, чтобы
чтобы исчезнуть как до, так и после неоднородности. Здесь,- скорость массового производства i- го вида из общего количества азота, участвующего в реакции. Сочетание сохранения массы и импульса дает нам
который определяет прямую линию, известную как линия Рэлея, названная в честь лорда Рэлея , которая имеет отрицательный наклон (поскольку всегда положительный) в самолет. Используя уравнения Ренкина – Гюгонио для сохранения массы и импульса, чтобы исключить u 1 и u 2 , уравнение сохранения энергии можно выразить как уравнение Гюгонио:
Обратное значение плотности также можно выразить как удельный объем ,. Наряду с этим необходимо указать соотношение между уравнениями состояния до и после.
где - массовая доля вида. Наконец, теплотворное уравнение состояния считается известным, т. е.
Упрощенные соотношения Ренкина – Гюгонио [5]
Следующие предположения сделаны для упрощения уравнений Ренкина – Гюгонио. Предполагается, что смесь подчиняется закону идеального газа , так что связь между уравнениями состояния на выходе и вверх по потоку может быть записана как
где это универсальная газовая постоянная , а средняя молекулярная масса предполагается постоянным (в противном случае будет зависеть от массовой доли всех видов). Если предположить, что удельная теплоемкость при постоянном давлении также постоянна по длине волны, изменение энтальпий (теплотворное уравнение состояния) можно просто записать как
где первый член в приведенном выше выражении представляет количество тепла, выделяемого волной на единицу массы находящейся выше по потоку смеси, а второй член представляет собой ощутимый нагрев. Исключая температуру с помощью уравнения состояния и подставляя приведенное выше выражение для изменения энтальпий в уравнение Гюгонио, мы получаем уравнение Гюгонио, выраженное только в терминах давления и плотности,
где - удельная теплоемкость . Кривая Гюгонио без тепловыделения () часто называют шоковым гюгонио. Наряду с уравнением линии Рэлея это уравнение полностью определяет состояние системы. Эти два уравнения можно записать компактно, введя следующие безразмерные масштабы:
Уравнение линии Рэлея и уравнение Гюгонио затем упрощается до
Учитывая условия восходящего потока, пересечение двух приведенных выше уравнений в самолет определяет условия ниже по потоку. Если тепловыделения не происходит, например, ударные волны без химической реакции, то. Кривые Гюгонио асимптоты к прямым а также , т.е. скачок давления на волне может принимать любые значения между , но удельный объемный коэффициент ограничен интервалом (оценка сверху выведена для случая потому что давление не может принимать отрицательные значения). Условие Чепмена-Жуге , где Рэлея линия является касательной к кривой Гюгоньо.
Если (двухатомный газ без возбуждения колебательной моды) интервал равен , другими словами, ударная волна может увеличить плотность не более чем в 6 раз. Для одноатомного газа , поэтому соотношение плотностей ограничено интервалом . Для двухатомных газов с возбужденной колебательной модой имеем ведущий к интервалу . В действительности отношение теплоемкости не является постоянным в ударной волне из-за диссоциации и ионизации молекул, но даже в этих случаях отношение плотностей в целом не превышает коэффициент. [6]
Вывод из уравнений Эйлера
Рассмотрим газ в одномерном контейнере (например, в длинной тонкой трубке). Предположим, что жидкость невязкая (т. Е. Не проявляет эффектов вязкости, таких как, например, трение о стенки трубы). Кроме того, предположим, что теплопередача за счет теплопроводности или излучения отсутствует и что ускорением свободного падения можно пренебречь. Такая система может быть описана следующей системой законов сохранения , известной как одномерные уравнения Эйлера , которая в форме сохранения имеет вид:
где
- массовая плотность жидкости ,
- скорость жидкости ,
- удельная внутренняя энергия жидкости,
- давление жидкости , и
- - полная плотность энергии жидкости, [Дж / м 3 ], а e - ее удельная внутренняя энергия.
Предположим далее, что газ калорически идеален и, следовательно, политропное уравнение состояния простой формы
действительно, где постоянное соотношение удельных теплоемкостей . Эта величина также появляется как показатель политропы политропного процесса, описываемого формулой
Подробный список уравнений сжимаемого потока и т. Д. См. В отчете NACA 1135 (1953). [7]
Примечание: для идеального с точки зрения калорийности газа является константой и для термически идеального газа является функцией температуры. В последнем случае зависимость давления от плотности массы и внутренней энергии может отличаться от той, которая дается уравнением (4).
Условие перехода
Прежде чем продолжить, необходимо ввести понятие условия скачка - условия, которое выполняется при разрыве или резком изменении.
Рассмотрим одномерную ситуацию, когда происходит скачок скалярной сохраняющейся физической величины , который подчиняется интегральному закону сохранения
для любой , , , и, следовательно, уравнением в частных производных
для плавных решений. [8]
Пусть решение имеет скачок (или удар) при , где а также , тогда
Индексы 1 и 2 указывают условия непосредственно перед и сразу после скачка соответственно, т. Е. а также .
Отметим, что для получения уравнения (8) мы использовали тот факт, что а также .
Теперь позвольте а также , когда у нас есть а также , а в пределе
где мы определили ( характеристика системы или скорость удара ), которая простым делением определяется как
Уравнение (9) представляет собой условие скачка закона сохранения (6). Ситуация шока возникает в системе, где ее характеристики пересекаются, и в этих условиях требование единственного однозначного решения состоит в том, чтобы решение удовлетворяло условию допустимости или условию энтропии . Для физически реальных приложений это означает, что решение должно удовлетворять условию энтропии Лакса
где а также представляют собой характеристические скорости на входе и выходе соответственно.
Состояние шока
В случае гиперболического закона сохранения (6) мы видели, что скорость скачка уплотнения может быть получена простым делением. Однако для одномерных уравнений Эйлера (1), (2) и (3) мы имеем векторную переменную состояния и условия перехода становятся
Уравнения (12), (13) и (14) известны как условия Ренкина – Гюгонио для уравнений Эйлера и выводятся путем применения законов сохранения в интегральной форме для контрольного объема, включающего скачок уплотнения. Для этой ситуациине может быть получен простым делением. Однако это можно показать, преобразовав задачу в движущуюся систему координат (установка, , удалять ) и некоторые алгебраические манипуляции (включая устранение из преобразованного уравнения (13) с использованием преобразованного уравнения (12)), скорость удара определяется выражением
где - скорость звука в жидкости на входе в поток. [9] [10] [11] [12] [13] [14]
Ударная волна Гюгонио и линия Рэлея в твердых телах
Для ударов в твердых телах выражение в замкнутой форме, такое как уравнение (15), не может быть получено из первых принципов. Вместо этого экспериментальные наблюдения [15] показывают, что вместо этого можно использовать линейное соотношение [16] (называемое ударным гюгонио в плоскости u s - u p ), которое имеет вид
где c 0 - объемная скорость звука в материале (при одноосном сжатии), s - параметр (наклон ударной волны Гюгонио), полученный из подгонки к экспериментальным данным, а u p = u 2 - скорость частицы внутри сжатого область за фронтом ударной волны.
Вышеупомянутое соотношение в сочетании с уравнениями Гюгонио для сохранения массы и импульса можно использовать для определения ударной волны Гюгонио в плоскости p - v , где v - удельный объем (на единицу массы): [17]
Альтернативные уравнения состояния, такие как уравнение состояния Ми – Грюнайзена, также могут использоваться вместо приведенного выше уравнения.
Ударная волна Гюгонио описывает геометрическое место всех возможных термодинамических состояний, в которых материал может существовать за ударной волной, спроецированной на двумерную плоскость состояния-состояния. Следовательно, это набор состояний равновесия, и он не представляет конкретно путь, по которому материал претерпевает преобразование.
Слабые удары являются изоэнтропическими, и эта изоэнтропа представляет собой путь, по которому материал нагружается от начального до конечного состояния волной сжатия со сходящимися характеристиками. В случае слабых толчков Гюгонио, следовательно, упадет прямо на изэнтропу, и его можно будет использовать непосредственно в качестве эквивалентного пути. В случае сильного толчка мы больше не можем делать это упрощение напрямую. Однако для инженерных расчетов считается, что изэнтропа достаточно близка к Гюгонио, чтобы можно было сделать такое же предположение.
Если Гюгонио представляет собой приблизительно путь нагружения между состояниями для "эквивалентной" волны сжатия, то условия скачка для пути ударного нагружения можно определить, проведя прямую линию между начальным и конечным состояниями. Эта линия называется линией Рэлея и имеет следующее уравнение:
Предел упругости Гюгонио
Большинство твердых материалов при сильных ударах подвергаются пластической деформации. Точка на скачке Гюгонио, в которой материал переходит из чисто упругого состояния в упруго-пластическое состояние, называется пределом упругости Гюгонио (HEL), а давление, при котором происходит этот переход, обозначается p HEL . Значения p HEL могут находиться в диапазоне от 0,2 до 20 ГПа. Выше HEL материал теряет большую часть своей прочности на сдвиг и начинает вести себя как жидкость.
Смотрите также
- Уравнения Эйлера (гидродинамика)
- Ударная полярная
- Уравнение состояния Ми – Грюнайзена.
- Викибук по инженерной акустике
Рекомендации
- ^ Рэнкин, WJM (1870). «К термодинамической теории волн конечных продольных возмущений» . Философские труды Лондонского королевского общества . 160 : 277–288. DOI : 10,1098 / rstl.1870.0015 .
- ^ Гюгонио, Х. (1887). "Воспоминания о распространении движений в корпусах и специальных элементах в газах (première partie) [Воспоминания о распространении движений в телах, особенно в идеальных газах (первая часть)]" . Journal de l'École Polytechnique (на французском языке). 57 : 3–97.См. Также: Hugoniot, H. (1889) «Mémoire sur la distribution des mouvements dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits (deuxième partie)» [Воспоминания о распространении движений в телах, особенно в идеальных газах (вторая часть)], Journal de l'École Polytechnique , vol. 58, страницы 1–125.
- ^ Салас, доктор медицины (2006). «Любопытные события, ведущие к теории ударных волн, приглашенная лекция, 17-й симпозиум по взаимодействию ударных волн , Рим , 4–8 сентября» (PDF) .
- ^ Уильямс, FA (2018). Теория горения. CRC Press.
- ^ Уильямс, FA (2018). Теория горения. CRC Press.
- ^ Зельдович, Ю. Б., и Райзер Ю.П. (2012). Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. Курьерская корпорация.
- ^ Ames Research Staff (1953 г.), «Уравнения, таблицы и диаграммы для сжимаемого потока» (PDF) , отчет 1135 Национального консультативного комитета по аэронавтике
- ^ Отметим, что интегральный закон сохранения в общем случае не может быть получено из дифференциального уравнения интегрированием по так как справедливо только для гладких решений.
- ^ Liepmann, HW, и Рошко, А. (1957). Элементы газодинамики. Курьерская корпорация.
- ^ Ландау, LD (1959). Лифшиц Е.М., Механика жидкости. Курс теоретической физики, 6.
- ^ Шапиро, AH (1953). Динамика и термодинамика течения сжимаемой жидкости. Джон Вили и сыновья.
- Перейти ↑ Anderson, JD (1990). Современный сжимаемый поток: с исторической точки зрения (Том 12). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
- ^ Whitham, GB (1999). Линейные и нелинейные волны . Вайли. ISBN 978-0-471-94090-6.
- Перейти ↑ Courant, R., & Friedrichs, KO (1999). Сверхзвуковое течение и ударные волны (Том 21). Springer Science & Business Media.
- ^ Аренс, Т.Дж. (1993), «Уравнение состояния» (PDF) , Ударное сжатие твердых тел под высоким давлением, ред. JR Асей и М. Shahinpoor , Springer-Verlag, Нью - Йорк: 75-113, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0911-9_4 , ISBN 978-1-4612-6943-4
- ^ Хотя широко предполагается, что линейная зависимость имеет место, экспериментальные данные показывают, что почти 80% испытанных материалов не удовлетворяют этому широко принятому линейному поведению. См. Kerley, G.I, 2006, «Линейное соотношение США и США в физике ударных волн», arXiv : 1306.6916 ; для подробностей.
- ^ Пуарье, JP. (2008) «Введение в физику недр Земли», Cambridge University Press.