Закон сохранения

В физике , а закон сохранения гласит , что конкретное измеримое свойство изолированной физической системы не меняется , как система эволюционирует с течением времени. Точные законы сохранения включают сохранение энергии , сохранение количества движения , сохранение момента количества движения и сохранение электрического заряда . Также существует множество приближенных законов сохранения, которые применяются к таким величинам, как масса , четность , лептонное число , барионное число , странность , гиперзаряд.и т. д. Эти величины сохраняются в некоторых классах физических процессов, но не во всех.

Локальный закон сохранения обычно выражается математически как уравнение неразрывности, уравнение в частных производных, которое устанавливает связь между количеством количества и «переносом» этой величины. В нем говорится, что количество сохраняемого количества в точке или внутри объема может изменяться только на величину количества, которое течет в объем или из него.

Из теоремы Нётер , каждый закон сохранения связан с симметрией в базовой физике.

Законы сохранения как фундаментальные законы природы [ править ]

Законы сохранения имеют фундаментальное значение для нашего понимания физического мира, поскольку они описывают, какие процессы могут или не могут происходить в природе. Например, закон сохранения энергии гласит, что общее количество энергии в изолированной системе не меняется, хотя может менять форму. В общем, общее количество собственности, регулируемой этим законом, остается неизменным во время физических процессов. Что касается классической физики, законы сохранения включают сохранение энергии, массы (или материи), количества движения, момента количества движения и электрического заряда. Что касается физики элементарных частиц, частицы не могут быть созданы или уничтожены, кроме как парами, где одна обычная, а другая античастица. Что касается принципов симметрии и инвариантности, были описаны три специальных закона сохранения:связаны с инверсией или обращением пространства, времени и заряда.

Законы сохранения считаются фундаментальными законами природы, широко применяемыми в физике, а также в других областях, таких как химия, биология, геология и инженерия.

Большинство законов сохранения точны или абсолютны в том смысле, что они применимы ко всем возможным процессам. Некоторые законы сохранения частичны в том смысле, что они верны для одних процессов, но не для других.

Одним особенно важным результатом, касающимся законов сохранения, является теорема Нётер , которая утверждает, что существует взаимно однозначное соответствие между каждым из них и дифференцируемая симметрия природы. Например, сохранение энергии следует из временной инвариантности физических систем, а сохранение углового момента возникает из того факта, что физические системы ведут себя одинаково независимо от того, как они ориентированы в пространстве.

Точные законы [ править ]

Частичный список физических уравнений сохранения из-за симметрии , которые считаются точными законами , или, точнее , никогда не доказано, что они нарушаются:

Закон сохранения	Соответствующая инвариантность симметрии Нётер		Количество измерений
Сохранение массы-энергии	Инвариантность перевода времени	Пуанкаре инвариантность	1	перевод по оси времени
Сохранение количества движения	Инвариантность переноса пространства		3	перевод по х , у , г направления
Сохранение углового момента	Инвариантность вращения		3	вращение вокруг осей x , y , z
Сохранение скорости ЦМ (центра импульса)	Лоренц-буст-инвариантность		3	Лоренц-наддув по х , у , г направления
Сохранение электрического заряда	U (1) Калибровочная инвариантность		1⊗4	скалярное поле (1D) в 4D пространстве-времени ( x , y , z + временная эволюция)
Сохранение цветового заряда	SU (3) Калибровочная инвариантность		3	г , г , б
Сохранение слабого изоспина	SU (2) _L Калибровочная инвариантность		1	слабый заряд
Сохранение вероятности	Вероятностная инвариантность ^[1]		1 ⊗ 4	полная вероятность всегда = 1 во всем пространстве x , y , z , во время эволюции

Примерные законы [ править ]

Также существуют приблизительные законы сохранения. Это приблизительно верно в определенных ситуациях, таких как низкие скорости, короткие временные рамки или определенные взаимодействия.

Сохранение механической энергии
Сохранение массы покоя
Сохранение барионного числа (см. Киральную аномалию и сфалерон )
Сохранение лептонного числа (в стандартной модели )
Сохранение аромата (нарушается при слабом взаимодействии )
Сохранение паритета
Инвариантность относительно зарядового сопряжения
Инвариантность относительно обращения времени
CP-симметрия , комбинация зарядового сопряжения и четности (эквивалентно обращению времени, если выполняется CPT)

Глобальные и местные законы сохранения [ править ]

Общая сумма некоторого количества сохраняющегося во Вселенной может оставаться неизменным , если равное количество должны были появиться в одной точке А и одновременно исчезают из другой отдельной точки B . Например, некоторое количество энергии могло появиться на Земле без изменения общего количества во Вселенной, если бы такое же количество энергии исчезло из отдаленной области Вселенной. Эта слабая форма «глобального» сохранения на самом деле не является законом сохранения, потому что она не лоренц-инвариантна , поэтому явления, подобные описанным выше, не возникают в природе. ^[2]^[3] Из специальной теории относительности , если внешний вид энергии при А и исчезновение энергии при Bодновременны в одной инерциальной системе отсчета , они не будут одновременными в других инерциальных системах отсчета, движущихся относительно первой. В движущемся кадре одно будет предшествовать другому; либо энергия в точке A появится до, либо после того, как энергия в точке B исчезнет. В обоих случаях в течение интервала энергия не сохраняется.

Более сильная форма закона сохранения требует, чтобы количество сохраняемой величины в точке изменилось, должен существовать поток или поток количества в точку или из точки. Например, количество электрического заряда в точке никогда не изменится без электрического тока в точку или из точки, которая несет разницу в заряде. Поскольку он включает только непрерывные локальные изменения, этот более сильный тип закона сохранения является лоренц-инвариантным ; величина, сохраняемая в одной системе отсчета, сохраняется во всех движущихся системах отсчета. ^[2]^[3] Это называется локальным законом сохранения . ^[2]^[3] Локальное сохранение также подразумевает глобальное сохранение; что общее количество сохраняющейся величины во Вселенной остается постоянным. Все перечисленные выше законы сохранения являются локальными законами сохранения. Локальный закон сохранения математически выражается уравнением неразрывности , которое гласит, что изменение количества в объеме равно общему чистому «потоку» количества через поверхность объема. В следующих разделах обсуждаются общие уравнения неразрывности.

Дифференциальные формы [ править ]

В механике сплошной среды наиболее общая форма точного закона сохранения дается уравнением неразрывности . Например, сохранение электрического заряда q равно

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {j} \,}

где ∇⋅ - оператор дивергенции , ρ - плотность q (количество на единицу объема), j - поток q (количество, пересекающее единицу площади в единицу времени), а t - время.

Если предположить, что движение заряда u является непрерывной функцией положения и времени, то

{\ Displaystyle \ mathbf {j} = \ rho \ mathbf {u}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot (\ rho \ mathbf {u}) \ ,.}

В одном пространственном измерении это можно представить в виде однородного квазилинейного гиперболического уравнения первого порядка : ^[4]

{\ displaystyle y_ {t} + A (y) y_ {x} = 0}

где зависимые переменные у называются плотность из сохраняющегося количества и ( у ) называется током Якобиан , а нижний индекс для обозначения частных производных было использовано. Более общий неоднородный случай:

{\ displaystyle y_ {t} + A (y) y_ {x} = s}

не уравнение сохранения, а общий вид уравнения баланса, описывающего диссипативную систему . Зависимая переменная y называется несохраняемой величиной , а неоднородный член s ( y , x , t ) - источником или диссипацией . Например, уравнения баланса такого типа - это уравнения Навье-Стокса для импульса и энергии или баланс энтропии для общей изолированной системы .

В одномерном пространстве уравнение сохранения представляет собой квазилинейное гиперболическое уравнение первого порядка, которое можно представить в форме переноса :

{\ Displaystyle у_ {т} + а (у) у_ {х} = 0}

где зависимая переменная y ( x , t ) называется плотностью сохраняемой (скалярной) величины, а a ( y ) называется текущим коэффициентом , обычно соответствующим частной производной в сохраняющейся величине плотности тока сохраняемой количество j ( y ): ^[4]

{\ Displaystyle а (у) = j_ {у} (у)}

В этом случае, поскольку применяется цепное правило :

{\ Displaystyle j_ {x} = j_ {y} (y) y_ {x} = a (y) y_ {x}}

уравнение сохранения можно записать в виде плотности тока:

{\ displaystyle y_ {t} + j_ {x} (y) = 0}

В пространстве с более чем одним измерением первое определение может быть расширено до уравнения, которое можно представить в форме:

{\ displaystyle y_ {t} + \ mathbf {a} (y) \ cdot \ nabla y = 0}

где сохраняющаяся величина - y ( r , t ), обозначает скалярное произведение , ∇ - оператор набла , здесь указывающий градиент , а a ( y ) - вектор коэффициентов тока, аналогично соответствующий дивергенции векторной плотности тока связанный с сохраняющейся величиной j ( y ): ${\ displaystyle \ cdot}$

{\ displaystyle y_ {t} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} (y) = 0}

Так обстоит дело с уравнением неразрывности :

\rho _{t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0

Здесь сохраняющейся величиной является масса с плотностью ρ ( r , t ) и плотностью тока ρ u , идентичной плотности количества движения , а u ( r , t ) - скорость потока .

В общем случае уравнение сохранения также может быть системой такого рода уравнений ( векторным уравнением ) в виде: ^[4]

\mathbf {y} _{t}+\mathbf {A} (\mathbf {y} )\cdot \nabla \mathbf {y} =\mathbf {0}

где y называется сохраняющейся ( векторной ) величиной, ∇ y - ее градиентом , 0 - нулевым вектором , а A ( y ) называется якобианом плотности тока. Фактически, как и в предыдущем скалярном случае, также и в векторном случае A ( y ), обычно соответствующем якобиану матрицы плотности тока J ( y ):

\mathbf {A} (\mathbf {y} )=\mathbf {J} _{\mathbf {y} }(\mathbf {y} )

а уравнение сохранения можно записать в виде:

\mathbf {y} _{t}+\nabla \cdot \mathbf {J} (\mathbf {y} )=\mathbf {0}

Например, это относится к уравнениям Эйлера (гидродинамика). В простом несжимаемом случае это:

{\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {u} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} +\nabla s&=\mathbf {0} ,\end{aligned}}

где:

u - вектор скорости потока с компонентами в N-мерном пространстве u ₁ , u ₂ ,… u _N ,
s - удельное давление (давление на единицу плотности ), определяющее исходный член ,

Можно показать, что сохраняющаяся (векторная) величина и матрица плотности тока для этих уравнений соответственно равны:

{\mathbf {y} }={\begin{pmatrix}1\\\mathbf {u} \end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {J} }={\begin{pmatrix}\mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +s\mathbf {I} \end{pmatrix}};\qquad

где обозначает внешний продукт . $\otimes$

Целостные и слабые формы [ править ]

Уравнения сохранения также могут быть выражены в интегральной форме: преимущество последнего состоит в том, что оно требует меньшей гладкости решения, что открывает путь к слабой форме , расширяющей класс допустимых решений за счет включения разрывных решений. ^[5] Интегрируя в любой пространственно-временной области форму плотности тока в одномерном пространстве:

y_{t}+j_{x}(y)=0

и, используя теорему Грина , интегральная форма имеет следующий вид:

\int _{-\infty }^{\infty }y\,dx+\int _{0}^{\infty }j(y)\,dt=0

Аналогичным образом для скалярного многомерного пространства интегральная форма имеет следующий вид:

\oint \left[y\,d^{N}r+j(y)\,dt\right]=0

где линейное интегрирование производится по границе области против часовой стрелки. ^[5]

Более того, определяя пробную функцию φ ( r , t ), непрерывно дифференцируемую как во времени, так и в пространстве с компактной опорой, можно получить слабую форму , поворачиваясь на начальном условии . В одномерном пространстве это:

\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\phi _{t}y+\phi _{x}j(y)\,dx\,dt=-\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,0)y(x,0)\,dx

Обратите внимание, что в слабой форме все частные производные плотности и плотности тока были переданы в тестовую функцию, которая в соответствии с предыдущей гипотезой является достаточно гладкой, чтобы допускать эти производные. ^[5]

См. Также [ править ]

Инвариант (физика)
Консервативная система
Сохраненное количество
- Некоторые виды спиральности сохраняются в бездиссипативном пределе: гидродинамическая спиральность , магнитная спиральность , перекрестная спиральность .
Принцип изменчивости
Закон Сохранения от тензора энергии-импульса
Инвариант Римана
Философия физики
Тоталитарный принцип
Уравнение конвекции – диффузии

Примеры и приложения [ править ]

Адвекция
Сохранение массы или уравнение непрерывности
Сохранение заряда
Уравнения Эйлера (гидродинамика)
невязкое уравнение Бюргерса
Кинематическая волна
Сохранение энергии
Транспортный поток

Заметки [ править ]

^ "Калибровочная инвариантность вероятностного тока" . Обмен физическими стеками . Архивировано 18 августа 2017 года . Дата обращения 4 мая 2018 .
^ a b c Эйчисон, Ян-младший; Привет, Энтони Дж. Г. (2012). Калибровочные теории в физике элементарных частиц: практическое введение: от релятивистской квантовой механики к КЭД, четвертое издание, т. 1 . CRC Press. п. 43. ISBN 978-1466512993. Архивировано 4 мая 2018 года.
^ a b c Уилл, Клиффорд М. (1993). Теория и эксперимент в гравитационной физике . Cambridge Univ. Нажмите. п. 105. ISBN 978-0521439732. Архивировано 20 февраля 2017 года.
^ a b c см. Торо, стр. 43
^ a b c см. Торо, стр.62-63.

Ссылки [ править ]

Филипсон, Шустер, Моделирование нелинейными дифференциальными уравнениями: диссипативные и консервативные процессы , World Scientific Publishing Company 2009.
Виктор Дж. Стенгер , 2000. Вневременная реальность: симметрия, простота и множественность вселенных . Буффало Нью-Йорк: Книги Прометея. Гл. 12 - это легкое введение в законы симметрии, инвариантности и сохранения.
Торо, EF (1999). «Глава 2. Понятия о гиперболических частных производных». Решатели Римана и численные методы гидродинамики . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65966-2.
Э. Годлевски, П.А. Равиарт, Гиперболические системы законов сохранения, Эллипсы, 1991.

Внешние ссылки [ править ]

Законы сохранения - гл. 11-15 в онлайн-учебнике

[1] "Калибровочная инвариантность вероятностного тока" . Обмен физическими стеками . Архивировано 18 августа 2017 года . Дата обращения 4 мая 2018 .

[Aitchison-2] Эйчисон, Ян-младший; Привет, Энтони Дж. Г. (2012). Калибровочные теории в физике элементарных частиц: практическое введение: от релятивистской квантовой механики к КЭД, четвертое издание, т. 1 . CRC Press. п. 43. ISBN 978-1466512993. Архивировано 4 мая 2018 года.

[Will-3] Уилл, Клиффорд М. (1993). Теория и эксперимент в гравитационной физике . Cambridge Univ. Нажмите. п. 105. ISBN 978-0521439732. Архивировано 20 февраля 2017 года.

[To24-4] см. Торо, стр. 43

[ToroInt-5] см. Торо, стр.62-63.