Маккормак метод

В вычислительной гидродинамики , то метод Маккормак широко используется схема дискретизации для численного решения гиперболических уравнений с частными производными . Этот метод конечных разностей второго порядка был введен Робертом В. Маккормаком в 1969 году. ^[1] Метод МакКормака элегантен, прост для понимания и программирования. ^[2]

Алгоритм [ править ]

Метод MacCormack представляет собой разновидность двухэтапной схемы Лакса – Вендроффа, но гораздо проще в применении. Чтобы проиллюстрировать алгоритм, рассмотрим следующее гиперболическое уравнение первого порядка

${\ displaystyle \ qquad {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + a {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = 0.}$

Применение метода МакКормака к приведенному выше уравнению происходит в два этапа; этап прогнозирования , который следует за шагом корректор .

Шаг предиктора: на этапе предиктора "предварительное" значение на временном уровне (обозначено ) оценивается следующим образом.${\ displaystyle u}$${\ displaystyle n + 1}$${\ Displaystyle и_ {я} ^ {\ overline {п + 1}}}$

${\ displaystyle u_ {i} ^ {\ overline {n + 1}} = u_ {i} ^ {n} -a {\ frac {\ Delta t} {\ Delta x}} \ left (u_ {i + 1 } ^ {n} -u_ {i} ^ {n} \ right)}$

Вышеупомянутое уравнение получено путем замены пространственных и временных производных в предыдущем гиперболическом уравнении первого порядка с использованием прямых разностей .

Шаг корректора: на этапе корректора прогнозируемое значение корректируется в соответствии с уравнением ${\ Displaystyle и_ {я} ^ {\ overline {п + 1}}}$

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n+1/2}-a{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i}^{\overline {n+1}}-u_{i-1}^{\overline {n+1}}\right)}$

Обратите внимание, что шаг корректора использует обратные конечно-разностные аппроксимации для пространственной производной. Шаг по времени, используемый на шаге корректора, отличается от шага предсказателя.${\displaystyle \Delta t/2}$${\displaystyle \Delta t}$

Замена срока на временное среднее${\displaystyle u_{i}^{n+1/2}}$

${\displaystyle u_{i}^{n+1/2}={\frac {u_{i}^{n}+u_{i}^{\overline {n+1}}}{2}}}$

чтобы получить шаг корректора как

${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {u_{i}^{n}+u_{i}^{\overline {n+1}}}{2}}-a{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i}^{\overline {n+1}}-u_{i-1}^{\overline {n+1}}\right)}$

Некоторые замечания [ править ]

Метод Маккормака хорошо подходит для нелинейных уравнений (невязкое уравнение Бюргерса , уравнения Эйлера , и т.д.) порядка разностным может быть отменена для временного шага (т.е., вперед / назад , затем вперед / назад). Для нелинейных уравнений эта процедура дает наилучшие результаты. Для линейных уравнений схема Мак-Кормака эквивалентна методу Лакса – Вендроффа . ^[3]

В отличие от схемы встречного ветра первого порядка , MacCormack не вносит диффузных ошибок в решение. Однако известно, что в области высокого градиента возникают дисперсионные ошибки ( явление Гиббса ).

См. Также [ править ]

• Метод Лакса – Вендроффа
• Схема против ветра
• Гиперболические уравнения в частных производных

Ссылки [ править ]